Đến nội dung


Chú ý

Nút $f_x$ để gõ $\LaTeX$ hoạt động không được ổn định trong thời gian này. Tạm thời các bạn có thể vào trang này để gõ rồi copy vào bài viết. Mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm GTNN của: P = $\frac{cosx +cosy}{cos^2z}+\frac{cosy +cosz}{cos^2x}+\frac{cosz +cosx}{cos^2y}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2012 - 10:03

Cho tứ diện OABC vuông tại O.Gọi x, y, z lần lượt là góc giữa đg cao OH với OA, OB, OC. Tìm GTNN của:
P = $\frac{cosx +cosy}{cos^2z}+\frac{cosy +cosz}{cos^2x}+\frac{cosz +cosx}{cos^2y}$

#2 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 12-07-2012 - 23:56

Cho tứ diện OABC vuông tại O.Gọi x, y, z lần lượt là góc giữa đg cao OH với OA, OB, OC. Tìm GTNN của:
P = $\frac{cosx +cosy}{cos^2z}+\frac{cosy +cosz}{cos^2x}+\frac{cosz +cosx}{cos^2y}$(1)


Vẽ chiều cao OH, ta có $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$
$\Rightarrow cos^{2}x+cos^{2}y+ cos^{2}z =1$
Đặt cosx =a, cosy = b, cosz = c thì (1) trở thành: $P=\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+b}{a^{2}}+\frac{a+c}{b^{2}}$

Tìm GTNN như bạn le_hoang1995:

Theo BĐT AM-GM ta có $\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được $VT\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$.
Mà theo BĐT cauchy-schwarz ta có
$$ \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\geq \frac{2.9}{a+b+c}\geq \frac{18}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}=6\sqrt{3}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Thêm câu b: Tìm GTLN của $\frac{cos^{2}x}{sin^{2}y+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}y}{sin^{2}x+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}z}{sin^{2}x+sin^{2}y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 13-07-2012 - 00:06

Học là ..... hỏi ...............

#3 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-07-2012 - 07:40

Thêm câu b: Tìm GTLN của $\frac{cos^{2}x}{sin^{2}y+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}y}{sin^{2}x+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}z}{sin^{2}x+sin^{2}y}$
Vẽ chiều cao OH, ta có $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}$
$\Rightarrow cos^{2}x+cos^{2}y+ cos^{2}z =1$
Đặt cosx =a, cosy = b, cosz = c thì (1) trở thành: $P=\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+b}{a^{2}}+\frac{a+c}{b^{2}}$

Q = $\frac{cos^{2}x}{sin^{2}y+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}y}{sin^{2}x+sin^{2}z}+\frac{cos^{2}z}{sin^{2}x+sin^{2}y}$
$=\frac{a^{2}}{2 - b^{2}- c^{2}}+\frac{b^{2}}{2 - c^{2}- a^{2}}+\frac{c^{2}}{2 - a^{2}- b^{2}} $
= 3 - ($\frac{1}{2 - b^{2}- c^{2}}+\frac{1}{2 - c^{2}- a^{2}}+\frac{1}{2 - a^{2}- b^{2}}$)
$\le 3 - \frac{9}{4}= \frac{3}{4}$
Vậy MaxQ =$\frac{3}{4}$ <=> a = b = c = $\frac{1}{\sqrt 3} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 13-07-2012 - 09:09


#4 tolaphuy10a1lhp

tolaphuy10a1lhp

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Bình Định

Đã gửi 13-07-2012 - 23:47

Cho tứ diện OABC vuông tại O.


Câu c) Cho $OA+OB+OC+AB+AC+BC=m$ $(m > 0)$ và $V$ là thể tích tứ diện.
Chứng minh: $V \le \frac{{{m^3}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^3}}}{{162}}$. Khi nào dấu đẳng thức xảy ra.
Học là ..... hỏi ...............




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh