Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
$8^{a}+8^{b}+8^{c}\geq 2^{a}+2^{b}+2^{c}$
Cho a,b,c thỏa mãn đk: a+b+c=0.điều kiện
Bắt đầu bởi Dell Inspiron, 03-07-2012 - 00:11
#2
Đã gửi 03-07-2012 - 00:26
nucnt772
-
- Thành viên
-
- 209 Bài viết
Thượng sĩ
Đặt: x = $2^{a}$, y = $2^{b}$, z = $2^{c}$ thì x,y,z>0
và xyz=$2^{a+b+c}$=$2^{0}=1$
ta cần CM: $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x+y+z$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta có:
x + y + z $\geq 3.\sqrt[3]{xyz}$=3
$x^{3}+1+1\geq 3.\sqrt[3]{x^{3}}=3x$ $\Rightarrow x^{3}\geq 3x-2$
tương tự: $y^{3}\geq 3y-2$
$z^{3}\geq 3z-2$
do đó:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}$$\geq 3(x+y+z)-6=x+y+z+2(x+y+z-3)\geq x+y+z$
dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=0\Leftrightarrow a=b=c=0$
và xyz=$2^{a+b+c}$=$2^{0}=1$
ta cần CM: $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq x+y+z$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta có:
x + y + z $\geq 3.\sqrt[3]{xyz}$=3
$x^{3}+1+1\geq 3.\sqrt[3]{x^{3}}=3x$ $\Rightarrow x^{3}\geq 3x-2$
tương tự: $y^{3}\geq 3y-2$
$z^{3}\geq 3z-2$
do đó:
$x^{3}+y^{3}+z^{3}$$\geq 3(x+y+z)-6=x+y+z+2(x+y+z-3)\geq x+y+z$
dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=0\Leftrightarrow a=b=c=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 03-07-2012 - 00:29
- donghaidhtt yêu thích
cnt
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
