Chủ đề này có 11 trả lời

[alex_hoang]

Một tuyển tập các bài toán hay về Đa Thức sẽ được mình và bạn Trần Nguyễn Quốc Cường tổng hợp dựa trên chủ đề này mình mong muốn được các thành viên của diễn đàn ta giúp đỡ rất mong các bạn post những bài toán hay về đa thức (kèm lời giải nếu có) vào chủ đề này để chúng mình tuyển tập lại .Rất mong đây sẽ là vấn đề được các bạn quan tâm giúp đỡ.Mình chân thành cảm ơn

[Crystal]

Sao em không dùng ngay topic này luôn.

[PSW]

Để anh ủng hộ Hoàng nhé :

Bài 1 : Xét đa thức $ \mathbb{Q}(x) = (p-1) \cdot x^p - x -1 $ trong đó $p$ là số nguyên tố lẻ

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên $a$ sao cho : $ p^{p} | \mathbb{Q}(a)$

Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 12-07-2012 - 12:47

[beestyde]

Em xin đóng góp 1 bài nhé :
Bài 2: Cho$ p(x)$ có hệ số hữu tỉ ,p(x)>0 với mọi x$\epsilon$R
Chứng minh :$\exists Q(x),P(x)$ sao cho $P(x)=Q(x)^2+R(x)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 10-07-2012 - 22:50

[Karl Heinrich Marx]

Để anh ủng hộ Hoàng nhé :

Bài 1 : Xét đa thức $ \mathbb{Q}(x) = (p-1) \cdot x^p - x -1 $ trong đó $p$ là số nguyên tố lẻ

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên $a$ sao cho : $ p^{p} | \mathbb{Q}(a)$

Giả sử tồn tại $0<a,b \le p^p$ mà $Q(a) \equiv Q(b) (mod p^p)$ khi đó ta có $Q(a)-Q(b)=(p-1)(a^p-b^p)-(a-b) \equiv (p-2)(a-b) (mod p) \Rightarrow a-b \equiv 0 (modp)$. Ngoài ra ta dễ dàng nhận thấy $v_p(a^p-b^p)>v_p(a-b)$ do đó ta có $v_p((p-1)(a^p-b^p)-(a-b))=v_p(a-b)$ suy ra $a-b \vdots p^p$. Điều này mâu thuẫn. Vậy với $A$ là một hệ thặng dư đầy đủ của $p^p$ thì $Q(x)|x \in A$ cũng là một hệ thặng dư đầy đủ của $p^p$, suy ra đpcm.

[Karl Heinrich Marx]

Em xin đóng góp 1 bài nhé :
Cho$ p(x)$ có hệ số hữu tỉ ,p(x)>0 với mọi x$\epsilon$R
Chứng minh :$\exists Q(x),P(x)$ sao cho $P(x)=Q(x)^2+R(x)^2$

Với tam thức bậc 2 thì đơn giản là ta phân tích đc thành dạng $(ax+b)^2+c=U(x)^2+c,c>0$. Giải quyết bài này bằng quy nạp, sử dụng định lí mọi đa thức không có nghiệm thực luôn biểu diễn dưới dạng các tam thức bậc 2 vô nghiệm. Sau đó sử dụng $(Q(x)^2+R(x)^2)(U(x)^2+c)=(Q(x)U(x)-cR(x))^2+(cQ(x)+U(x)R(x))^2$ là có đpcm.

[alex_hoang]

Tốt lắm em ,anh sẽ post tiếp :)Bài toán này không biết có được coi là tổng quát hơn bài trên không
Bài 3:
Chứng minh rằng nếu đa thức $P(x)$ với hệ số thực chỉ nhận các giá trị không âm với mọi $x \in R$ thì có biểu diễn sau
\[P(x) = Q_1^2(x) + Q_2^2(x) + ............. + Q_n^2(x)\]
Với $Q_1(x);Q_2(x)....;Q_n(x)$ là các đa thức có hệ số thực

[anh qua]

Một tuyển tập các bài toán hay về Đa Thức sẽ được mình và bạn Trần Nguyễn Quốc Cường tổng hợp dựa trên chủ đề này mình mong muốn được các thành viên của diễn đàn ta giúp đỡ rất mong các bạn post những bài toán hay về đa thức (kèm lời giải nếu có) vào chủ đề này để chúng mình tuyển tập lại .Rất mong đây sẽ là vấn đề được các bạn quan tâm giúp đỡ.Mình chân thành cảm ơn

Cộng thêm cái Pic kia nữa chắc cũng đk nhiều.
Em ủng hộ hai đại ca phát.
Bài 4: : Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ hệ số nguyên và $p$ là môt số nguyên tố. Giả sử phương trình $P(x) \equiv 0 (mod p)$ có đúng $m$ nghiệm $x_1;x_2;...;x_m$ thỏa mãn $(P(x_i)) \equiv 0 (mod p)$ với mọi $ i = 1,2,..,m$. Hỏi phương trình $P(x) \equiv 0 (mod p^{2012})$ có bao nhiêu nghiệm trong $[1;p^{2012}]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 10-07-2012 - 23:36

[alex_hoang]

Một số bài toán đa thức trong đề dự tuyển Olympic sinh viên 2009 mình thấy phù hợp nên post vào đây vì không có đáp án nên các bạn cứ chém thoải mái
Bài 5:Cho $a_1;a_2;a_3;.........;a_n$ là các số thực không âm và không đồng thời bằng $0$.
a)Chứng minh rằng phương trình
\[{x^n} - {a_1}{x^{n - 1}} - {a_2}{x^{n - 2}} - .... - {a_{n - 1}}x - {a_n} = 0\]
có đúng là một nghiệm dương duy nhất.
b)
Giả sử $R$ là nghiệm dương của phương trình trên và
\[A = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_j}} ;B = \sum\limits_{j = 1}^n {j{a_j}} \]
Chứng minh rằng
\[{A^A} \le {R^B}\]
Bài 6:Cho hai đa thức $P(x) = {(x - a)^{2n}} + {(x - 3a)^{2n}};Q(x) = {(x - a)^2}{(x - 3a)^2}$ với $n \in N*;a \in R*$.Xác định đa thức dư trong phép chia $P(x)$ cho $Q(x)$
Bài 7:Cho $P(x)$ là một đa thức bậc $n \ge 1$ với các hệ số thực và có $n$ nghiệm thực.Chứng minh rằng
\[(n - 1){{\rm{[}}P'(x){\rm{]}}^2} \ge nP(x)P(x);\forall x \in R\]
Bài 8:Cho đa thức
\[{P_n}(x) = {x^n} - x - 2009(n \in N,n > 1)\]
Chứng minh rằng
1.Đa thức $P_n(x)$ có một nghiệm duy nhất trong khoảng $(1,2009)$ kí hiệu đó là nghiệm $x_n$
2.Dãy số ${x_n}$ là dãy số giảm
Bài 9:Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ có bậc $5$ biết đa thức $f(x)+1$ chia hết cho $(x-1)^3$ và đa thức $f(x)-1$ chia hết cho $(x+1)^3$
Bài 10:Cho $p(x)$ và $q(x)$ là hai đa thức với hệ số thực ,nguyên tố cùng nhau,có bậc dương làn lượt là $m$ và $n$.Giả sử $r(x)$ là một đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ thua $m+n$.Chứng minh rằng tồn tại hai đa thức với hệ số thực $f$ và$g$ sao cho $deg(f) <n$ và $deg(g) <m$ và $pf+qg=r$
Tạm thế nhé

[Karl Heinrich Marx]

Một số bài toán đa thức trong đề dự tuyển Olympic sinh viên 2009 mình thấy phù hợp nên post vào đây vì không có đáp án nên các bạn cứ chém thoải mái
Bài 5:Cho $a_1;a_2;a_3;.........;a_n$ là các số thực không âm và không đồng thời bằng $0$.
a)Chứng minh rằng phương trình
\[{x^n} - {a_1}{x^{n - 1}} - {a_2}{x^{n - 2}} - .... - {a_{n - 1}}x - {a_n} = 0\]
có đúng là một nghiệm dương duy nhất.
Bài 6:Cho hai đa thức $P(x) = {(x - a)^{2n}} + {(x - 3a)^{2n}};Q(x) = {(x - a)^2}{(x - 3a)^2}$ với $n \in N*;a \in R*$.Xác định đa thức dư trong phép chia $P(x)$ cho $Q(x)$

Ý a câu 5. Trước tiên là ta có $f(0)<0,f(x) \to +\infty$ khi $x \to +\infty$. Do đó đa thức luôn có nghiệm dương. Bây giờ ta chứng minh quy nạp.
Với $n=1$ thì hiển nhiên đúng.
Giả sử bài toán đúng đến $n=k$. Xét: $f(x)=x^k-a_1x^{k-1}-...-a_k$
khi đó ta có: $g(x)=\frac{f'(x)}{k}$ là một đa thức bậc $k-1$ và có các hệ số thỏa đề bài nên có nhiều nhất 1 nghiệm dương. Rõ ràng nếu $f(x)$ có nhiều hơn 1 nghiệm dương thì $f(x)$ phải có ít nhất 3 nghiệm dương. Điều này dẫn đến $f'(x)$ sẽ có ít nhất 2 nghiệm dương. Điều này mâu thuẫn nên ta có đpcm.

[Karl Heinrich Marx]

Bài 6 ta đặt $f(x)=(x-a)^{2n}+(x-3a)^{2n}$ và $f(x)=(x-a)^2(x-3a)^2.T(x)+R(x)$ với $degR \le 3$.
Nếu $n=1$ thì đa thức dư là $f(x)$
Nếu $a=0$ và $n \ge 2$ thì đa thức dư là $0$
Nếu $a \ne 0, n \ge 2$ .Đặt $G(x)=R(x)-2^{2n}.a^{2n}$, Vì $R'(a)=f'(a) \ne 0$ nên $R(x)$ không là hằng số và $G(a)=G(3a)=0$. Đặt $G(x)=(mx+n)(x-a)(x-3a)$ trong đó $m$ vẫn có thể bằng 0. Đến đây sử dụng 2 giả thiết $G'(a)=R'(a)=f'(a)=n.2^{2n}.(-a)^{2n-1},G'(3a)=R'(3a)=f'(3a)=n.2^{2n}.a^{2n-1}$. Giải ra tìm được $m,n$ là xác định được $R(x)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 13-07-2012 - 18:50

[alex_hoang]

Bài 11:Chứng minh rằng tồn tại các đa thức $T_1(x);T_2(x);........;T_n(x)$ với hệ số nguyên dương thoả mãn
$$T_1(x)=P_1(x).T_2(x);T_2(x)=P_2(x).T_3(x)..........;T_{n-1}(x)=P_{n-1}(x).T_n(x)$$
Trong đó $P_k(x)=x^2+a_kx+b_k$ với $a_1;b_1$ là các số nguyên; dãy $(a_n)$ và $(b_n)$ là các cấp số cộng;phương trình $P_1(x)=0;P_{n-1}(x)=0$ vô nghiệm và $n$ là một số nguyên dương cho trước lớn hơn $3$