Đến nội dung


Hình ảnh

Viết phương trình đường viền tờ giấy!

Chu vi đường viền elip sin

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3245 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-07-2012 - 15:37

Một băng giấy mỏng hình chữ nhật có chiều dài là $x$ chiều rộng là $y$ được quấn quanh một hình trụ đứng (đường sinh song song với đoạn chiều rộng của băng giấy) có bán kính đáy bằng $1$ (Chẳng hạn như viên phấn:D).

"Chém đôi" hình trụ bằng một mặt phẳng không song song với đáy. (Bỏ viên phấn đi) Trải tờ giấy bị cắt ra mặt phẳng, lấy đoạn chiều dài $x$ (chưa bị cắt) làm trục hoành. Góc vuông phía dưới bên trái làm gốc tọa độ.

Viết phương trình đường viền bị cắt của tờ giấy ^_^
______________________________________________________________________________
p/s: Không biết để bài này vào đâu!
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#2 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3245 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-07-2012 - 20:13

Có ai thực nghiệm bài này chưa? (thí nghiệm thôi, chưa cần giải)
Nếu đã thí nghiệm rồi thì có nhận xét gì không? :D
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#3 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3245 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-07-2012 - 15:15

Đây là kết quả của thí nghiệm.
Mong các bạn tìm lời giải cho bài toán hoặc đặt câu hỏi :)
Tnghiem.png
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#4 daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Đã gửi 18-07-2012 - 20:57

Đây là kết quả của thí nghiệm.
Mong các bạn tìm lời giải cho bài toán hoặc đặt câu hỏi :)
Tnghiem.png


Em phỏng đoán: Là một trong các hình conic đổi dấu chăng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 18-07-2012 - 21:21


#5 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3245 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-07-2012 - 22:10

Một đánh giá về diện tích

- Coi độ dài băng giấy vừa đủ quấn một vòng quanh hình trụ có bán kính đáy bằng $1$, nghĩa là băng giấy có độ dài $2\pi$
- Chiều rộng nhỏ nhất (sau khi bị cắt) là $a$
- Chiều rộng lớn nhất (sau khi bị cắt) là $a+b;\;\;(a,b>0)$

Như vậy diện tích xung quanh của băng giấy trên là $S_{xq}=2\pi a+\pi b$
______________________________________________
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{b}{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+a+\dfrac{b}{2}$ trên đoạn $[0,2\pi]\quad(*)$
Rõ ràng
$\mathop \min\limits_{[0,2\pi]}f(x)=a\quad(\text{tại $x=0$ và $x=2\pi$})$

$\mathop \max\limits_{[0,2\pi]}f(x)=a+b\quad(\text{tại $x=\pi$})$

Diện tích chắn bởi trục hoành của đồ thị hàm số trên trên đoạn $[0,2\pi]$ là

$\int\limits_0^{2\pi}\left(\dfrac{b}{2}\sin \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+a+\dfrac{b}{2}\right) \;\mathrm dx = 2\pi a+\pi b$
:)

Tiếp theo sẽ đánh giá đến độ dài

Thiết diện bị cắt là một elip có bán trục nhỏ là $1$ bán trục lớn là $\dfrac{\sqrt{2^2+b^2}}{2}$
Vậy khi đặt elip trên vào tọa độ cực thì elip có phương trình tham số là
$\left\{\begin{array}{} x=\dfrac{\sqrt{4+b^2}}{2}\cos t\\ y=\sin t\end{array}\right.$

Khi đó thì chu vi của elip được tính bởi công thức
$p_E=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{x_t'^2+y_t'^2} \;\mathrm dt=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{\dfrac{4+b^2}{4}\cos^2t+\sin^2t} \;\mathrm dt = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{b^2\sin^2t+4} \;\mathrm dt$
________________________________________
Độ dài đường cong là đồ thị của hàm số $(*)$ trên đoạn $[0,2\pi]$ được tính bởi công thức:

$p_S=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{f_x'^2+1} \;\mathrm dx=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{\dfrac{b^2}{2^2}\cos^2\big(x-\dfrac{\pi}{2}\big)+1} \;\mathrm dx=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{b^2\sin^2x+4} \;\mathrm dx$
:D

Mời các bạn đặt tiếp câu hỏi!
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Google (1)