Đến nội dung

Hình ảnh

Đẳng thức khai triển tổ hợp và ứng dụng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#1
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Đẳng thức khai triển tổ hợp và ứng dụng

để sáng tạo các bất đẳng thức

kẹp giữa hai vế của một số bất đẳng thức kinh điển


Đào Thanh Oai - THPT Nguyễn Du, Thái Bình


1. Lời giới thiệu.


Phương pháp nhóm và tách hay nói cách khác là thêm và bớt cùng một lượng ít được quan tâm và chú ý trong việc chứng minh và sáng tạo Bất Đẳng Thức. Dùng phương pháp nhóm và tách đơn giản ta có thể chứng minh Bất đẳng thức Jensen, ChauChy, Holder, và Minskowki từ trường hợp $n=2$. Tuy nhiên trong bài báo này tác giả giới thiệu đến các bạn phương pháp nhóm và tách có dùng đến kiến thức tổ hợp để sáng tạo ra một loạt các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Jensen, Chauchy và Holder.


2. Đẳng thức khai triển tổ hợp và một số bất đẳng thức kinh điển

2.1 Đẳng thức khai triển tổ hợp

* Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử ${{a}_{1}},{{a}_{2}},.....,{{a}_{n}}$ ta gọi tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử của tập $A$ là một tập gồm $k$ phần tử bất kỳ của $A$ không kể thứ tự.

* Theo lý thuyết tổ hợp có $C_{n}^{k}$ tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử. Ta ký hiệu là ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{C_{n}^{k}}}$ , và có $C_{n}^{m}$ tổ hợp chập $m$ của $n$ phần tử của $A$ ký hiệu là ${{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{C_{n}^{m}}}$ giờ trong mỗi bộ ${{B}_{j}}\begin{matrix} , & j=1,2....,C_{n}^{m} \\\end{matrix}$ sẽ có $C_{m}^{k}$ tổ hợp gồm $k$ phần tử của , ta ký hiệu và liệt kê tất cả các tổ hợp gồm $k$ phần tử tách ra từ ${{B}_{j}}$ như sau:
\[{{B}_{11}},{{B}_{12}},....,{{B}_{1C_{m}^{k}}},{{B}_{21}},{{B}_{22}},....,{{B}_{2C_{m}^{k}}},...,{{B}_{C_{n}^{m}1}},{{B}_{C_{n}^{m}2}},....,{{B}_{C_{n}^{m}C_{m}^{k}}}\]
* Ta cũng nhắc lại khái niệm hai tập hợp trùng nhau nếu các phần tử trên mỗi tập là trùng nhau. Ta có thể dễ dàng nhận thấy một bộ ${{A}_{j}}$ sẽ trùng với $\frac{C_{n}^{m}C_{m}^{k}}{C_{n}^{k}}$ bộ ${{B}_{jh}}$

Qua những nhận xét trên ta thấy rằng với là một hàm số $k$ biến thì ta có định lý sau gọi là định lý khai triển tổ hợp sau:
\[\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{m}}{\sum\limits_{h=1}^{C_{m}^{k}}{{{H}_{k}}({{B}_{jh}})=\frac{C_{n}^{m}C_{m}^{k}}{C_{n}^{k}}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{{{H}_{k}}({{A}_{j}})}}}\]
\[\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{m}}{\prod\limits_{h=1}^{C_{m}^{k}}{{{H}_{k}}({{B}_{jh}})}}={{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left( {{H}_{k}}({{A}_{j}}) \right)}}^{\frac{C_{n}^{m}C_{m}^{k}}{C_{n}^{k}}}}\]
Trong bài báo này sẽ áp dụng khai triển trên với $m=k+1$
\[\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{\sum\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{H}_{k}}({{B}_{jh}})=\frac{C_{n}^{k+1}C_{k+1}^{k}}{C_{n}^{k}}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{{{H}_{k}}({{A}_{j}})}}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1.1a \right)\]
\[\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{\prod\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{H}_{k}}({{B}_{jh}})}}={{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left({{H}_{k}}({{A}_{j}}) \right)}}^{\frac{C_{n}^{k+1}C_{k+1}^{k}}{C_{n}^{k}}}}\,\,\,\,\,\,\,(1.1b)\]
2.2 Một số bất đẳng thức kinh điển

2.2.1 Bất đẳng thức Jensen

Hàm số $f(x)$ lồi trên $(a,b)$; ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in (a,b),\,\,{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},...,{{\lambda }_{n}}>0$, ta có:
\[({\lambda _1} + {\lambda _2} + ... + {\lambda _n})f\left( {\frac{{{\lambda _1}{x_1} + {\lambda _2}{x_2} + ... + {\lambda _n}{x_n}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _2} + ... + {\lambda _n}}}} \right) \le \]
\[ \le {\lambda _1}f({x_1}) + {\lambda _2}f({x_2}) + ... + {\lambda _n}f({x_n}){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\,(1.2)\]
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}=....={{x}_{n}}$

2.2.2 Bất đẳng thức Cauchy

Cho${{a}_{i}}>0,{{b}_{i}}>0,i=1,2,..n$ ta có bất đẳng thức:
\[{{\left( \frac{{{b}_{1}}{{a}_{1}}+{{b}_{2}}{{a}_{2}}+....+{{b}_{n}}{{a}_{n}}}{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+....+{{b}_{n}}} \right)}^{{{b}_{1}}+{{b}_{2}}+....+{{b}_{n}}}}\ge {{a}_{1}}^{{{b}_{1}}}{{a}_{2}}^{{{b}_{2}}}...{{a}_{n}}^{{{b}_{n}}}\,\, (1.3)\]
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow{{a}_{1}}={{a}_{2}}=....={{a}_{n}}$

2.2.3 Bất đẳng thức Holder

Bất đẳng thức Holder trên trường số thực được phát biểu là với $\forall {{a}_{i}},{{b}_{i}}\in R,i=1,2,...,n$ và $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Ta có:
\[\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{a_i}{b_i}} \right|} \le {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{a_i}} \right|}^p}} } \right)^{\frac{1}{p}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left| {{b_i}} \right|}^q}} } \right)^{\frac{1}{q}}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mkern 1mu} (1.4)\]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$

3. Ứng dụng định lý khai triển tổ hợp sáng tạo các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Jensen, Chauchy, và Holder

3.1. Các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Jensen

Định lý: Hàm $f(x)$ là hàm lồi trên miền $(a,b)$; các số ${{x}_{1}},{{x}_{2}},....,{{x}_{n}}$ thuộc khoảng $(a,b)$ ; các số thực dương ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},....,{{\lambda }_{n}}$. Đặt: ${{J}_{k}}=\frac{1}{kC_{n}^{k}}{{\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}}_{n}}$. Khi đó ta có bất đẳng thức: ${{J}_{k+1}}\le {{J}_{k}},\forall k=1,2,...,n-1\,\,\,\,\,\,(2.1)$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=....={{x}_{n}}$

Ví dụ cùng giả thiết như trên với $n=3$ ta có:
\[\left( {{\lambda _1} + {\lambda _2} + {\lambda _3}} \right)f\left( {\frac{{{\lambda _1}{x_1} + {\lambda _2}{x_2} + {\lambda _3}{x_3}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _2} + {\lambda _3}}}} \right) \le \]
\[ \le \frac{1}{2}\left\{ {({\lambda _1} + {\lambda _2})f\left( {\frac{{{\lambda _1}{x_1} + {\lambda _2}{x_2}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _2}}}} \right) + ({\lambda _1} + {\lambda _3})f\left( {\frac{{{\lambda _1}{x_1} + {\lambda _3}{x_3}}}{{{\lambda _1} + {\lambda _3}}}} \right) + ({\lambda _2} + {\lambda _3})f\left( {\frac{{{\lambda _2}{x_2} + {\lambda _3}{x_3}}}{{{\lambda _2} + {\lambda _3}}}} \right)} \right\} \]
\[ \le {\lambda _1}f({x_1}) + {\lambda _2}f({x_2}) + {\lambda _3}f({x_3})\]
Chứng minh:
$${{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}_{n}}=$$
$${{\left\{ \frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}f\left( \frac{{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}}{{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}} \right) \right\}}_{n}}\,\,\,\, (2.1a)$$
Áp dụng bất đẳng thức Jensen $(1.2)$ ta có:
$$VP(2.1a)\le \frac{1}{k}{{\left\{ {{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{1}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}} \right)+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}}} \right) \right\}}_{j}} \right\}}_{n}}$$
$$=\frac{1}{k}{{\left\{ \sum\limits_{h=1}^{k+1}{{{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right) \right\}}_{j}}} \right\}}_{n}}$$
Do đó:
$$\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}_{n}}}\le \frac{1}{k}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ \sum\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right) \right\}}_{j}}} \right\}}_{n}}}$$
Theo khai triển $(1.1a)$
$$\frac{1}{k}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ \sum\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left\{ {{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right) \right\}}_{j}}} \right\}}_{n}}}=\frac{1}{k}\frac{C_{n}^{k+1}C_{k+1}^{k}}{C_{n}^{k}}{{\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}}_{n}}$$
$$\Leftrightarrow {{J}_{k+1}}\le {{J}_{k}}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=....={{x}_{n}}$. Suy ra điều phải chứng minh.


Còn tiếp ...



#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
3.2. Các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Chauchy

Định lý: ${{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}}\ge 0$ và ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},....,{{\lambda }_{n}}>0$. Đặt: ${{C}_{k}}={{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{\frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}{kC_{n}^{k}}}} \right\}}}_{n}}$. Khi đó ta có bất đẳng thức sau: ${{C}_{k+1}}\ge {{C}_{k}},\forall k=1,2,...,n-1\,\,\,\,\,(2.2)$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=....={{a}_{n}}$

Chứng minh:
$${{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}_{n}}=$$
$${{\left( \frac{{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}}{{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}} \right)}_{n}}^{{{\left\{ \frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{1}}+....+{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}} \right\}}_{n}}}\,(2.2a)$$
Áp dụng bất đẳng thức Chauchy $(1.3)$ ta có:
$$VP(2.2a)={{\left\{ \prod\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right)}_{j}}^{\frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}} \right)}_{j}}}}. \right\}}_{n}}$$
Do vậy: $$\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}_{n}}}\ge \prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ \prod\limits_{h=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right)}_{j}}^{\frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}} \right)}_{j}}}} \right\}}_{n}}}$$
Theo khai triển $(1.1b)$
$$\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left\{ \prod\limits_{h=1}^{k+1}{{{\left( \frac{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{h}}}{{{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}}} \right)}_{j}}^{\frac{1}{k}{{\left( {{(\sum\limits_{1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{h}} \right)}_{j}}}} \right\}}_{n}}}={{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{\frac{(k+1)C_{n}^{k+1}}{kC_{n}^{k}}{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}}_{n}}$$
Do vậy: $${{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{{{(\sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}}_{n}}\ge {{\prod\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{a}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right)}^{\frac{(k+1)C_{n}^{k+1}}{kC_{n}^{k}}{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}}} \right\}}}_{n}}$$
$$ \Leftrightarrow {{C}_{k+1}}\ge {{C}_{k}}$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=....={{a}_{n}}$

3.3. Các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Holder

Định Lý: $\forall {{a}_{i}},{{b}_{i}}\in R,i=1,2,...,n$ và $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Đặt: ${{H}_{k}}=\frac{1}{kC_{n}^{k}}\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{j}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{j}}^{1/q}}$. Khi đó ta có bất đẳng thức sau: ${{H}_{k+1}}\le {{H}_{k}},\forall k=1,2,...,n-1\,\,\, (2.4)$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$

Chứng minh:
$${{\left( \sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{j}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{j}}^{1/q}=$$
$$=\frac{1}{k}{{\left( {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{1}}+...+{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}^{1/p}{{\left( {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{1}}+...+{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{C_{k+1}^{k}}} \right)}_{j}}^{1/q}$$
\[ = \frac{1}{k}{\left( {\left( {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{C_{k + 1}^k} {{{\left| {{a_i}} \right|}^p}} } \right)}^{1/p}}} \right)_1^p + ... + \left( {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{C_{k + 1}^k} {{{\left| {{a_i}} \right|}^p}} } \right)}^{1/p}}} \right)_{C_{k + 1}^k}^p} \right)_j}^{1/p}\]
\[{\left( {\left( {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{C_{k + 1}^k} {{{\left| {{b_i}} \right|}^q}} } \right)}^{1/p}}} \right)_1^p + ... + \left( {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^{C_{k + 1}^k} {{{\left| {{b_i}} \right|}^q}} } \right)}^{1/p}}} \right)_{C_{k + 1}^k}^p} \right)_j}^{1/q}(2.4a)\]
Áp dụng bất đẳng thức Holder $(1.4)$
$$VP(2.4)\le \frac{1}{k}{{\left\{ {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{1}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{1}}^{1/p}+...+\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k}\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k} \right\}}_{j}}$$
Do vậy:
$$\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{j}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{k+1}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{j}}^{1/q}\le }$$
$$\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{\frac{1}{k}{{\left\{ {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{1}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{1}}^{1/p}+...+\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k}\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k} \right\}}_{j}}}\,\,\,\,(2.4b)$$
Áp dụng khai triển $(1.1a)$ ta có:
$${VP(2.4b)=\frac{C_{n}^{k+1}C_{k+1}^{k}}{kC_{n}^{k}}.\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{{{\left\{ {{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)}_{1}}^{1/p}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)}_{1}}^{1/p}+...+\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{a}_{i}} \right|}^{p}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k}\left( \sum\limits_{i=1}^{C_{k+1}^{k}}{{{\left| {{b}_{i}} \right|}^{q}}} \right)_{C_{k+1}^{k}}^{k} \right\}}_{j}}}}$$
Do đó ta có: ${{H}_{k+1}}\le {{H}_{k}}$

Dấu "=" xảy ra $\frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$. Suy ra điều phải chứng minh.

#3
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết
Phiền tác giả giải thích một chút về các kí hiệu sử dụng trong bài viết được không ?

Ví dụ trong công thức
$${{J}_{k}}=\frac{1}{kC_{n}^{k}}{{\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}}_{n}}$$
có một số kí hiệu mà tôi chưa từng thấy trước đó, ví dụ $\{\}_n$ là gì, $()_j$ là gì.


Cảm ơn tác giả.

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#4
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Phiền tác giả giải thích một chút về các kí hiệu sử dụng trong bài viết được không ?

Ví dụ trong công thức
$${{J}_{k}}=\frac{1}{kC_{n}^{k}}{{\sum\limits_{j=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ {{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}f\left( \frac{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}{{x}_{i}}})}_{j}}}{{{(\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\lambda }_{i}}})}_{j}}} \right) \right\}}}_{n}}$$
có một số kí hiệu mà tôi chưa từng thấy trước đó, ví dụ $\{\}_n$ là gì, $()_j$ là gì.


Cảm ơn tác giả.


Trước hết tôi xin chân thành cảm ơn BQT đã đăng bài viết của tôi. Kính chúc BQT gặp nhiều may mắn hạnh phúc và thành công. Tôi cũng xin nói một điều hiện nay tôi đang là kỹ sư, tuy nhiên những bài toán tôi tìm ra thì hầu hết là có từ thời học sinh; sinh viên. Bài toán bất đẳng thức trên tôi tìm ra từ thời học sinh nhưng chưa tìm cách diễn đạt được một cách tổng quát giờ tôi tìm được cách diễn đạt nên vẫn ghi tôi gắn với tên trường cấp ba của tôi. Đó cũng là một cách làm để tôi thể hiện tình cảm dành cho mái trường cấp ba thân thương nơi có nhiều kỷ niệm.

Trình bày trả lời ý kiến của bạn:

Với n=4
\[a_1 ,a_2 ,a_3 ,a_4\]

khi đó có \[C_4^2\]

tổ hợp chập 2 của bốn phần tử trên là:
\[(a_1 ,a_2 );(a_1 ,a_3 );(a_1 ,a_4 );(a_2 ,a_3 );(a_2 ,a_4 );(a_3 ,a_4 )\]

Một cách đánh tên các bộ số trên là:

Bộ số 1: \[\left( {a_1 ,a_2 } \right)\]

Bộ số 2: \[\left( {a_1 ,a_3 } \right)\]

Bộ số 3: \[\left( {a_1 ,a_4 } \right)\]

Bộ sô 4: \[\left( {a_2 ,a_3 } \right)\]

Bộ số 5: \[\left( {a_2 ,a_4 } \right)\]

Bộ số 6: \[\left( {a_3 ,a_4 } \right)\]


Ký hiệu $()_j$:

Thay vì ghi chữ bộ số như trên tôi ký hiệu:

\[\left( {a_i ,a_h } \right)_j\] với j chạy từ 1 đến 6 còn: \[\left( {a_i ,a_h } \right)\] là hoán vị hai phần tử của n phần tử(2 đã hiển thị trên ký hiệu tổng).

Với quy ước đó:

\[(\sum\limits_{i = 1}^2 {a_i )} _j\] khi j=1 thì tổng đó sẽ là \[a_1 + a_2\]; khi j=2 thì tổng đó sẽ là \[a_1 + a_3\]

- Ký hiệu $\{\}_n$:

Đó là là ám chỉ trong tập gồm n số ban đầu; có tác dụng để phân biệt trong quá trình chứng minh. Nếu không có ký hiệu đó người ta sẽ không biết được (a1;a2) lấy ra từ bộ (a1,a2,a3,a4) hay lấy ra từ bộ (a1,a2,a4). Do vậy có thể bỏ ký hiệu đó đi trong phần phát biểu định lý vì chúng ta đều hiểu là tất cả các phần tử đó đều lấy từ tập ban đầu.

Nhìn thì phức tạp nhưng thực chất bất đẳng thức đó rất đơn giản tôi sẽ diễn giải tường minh với n=4 cho bất đẳng thức Jensen:

\[4C_4^4J_4 = (\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 + \lambda _3 x_3 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 + \lambda _4 }}} \right\}\]

\[3C_4^3J_3 = \left\{ {(\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 + \lambda _3 x_3 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 }}} \right\} + (\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _4 }}} \right\} + (\lambda _1 + \lambda _3 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _3 x_3 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _1 + \lambda _3 + \lambda _4 }}} \right\} + (\lambda _2 + \lambda _3 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{ \lambda _2 x_2 + \lambda _3 x_3 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _2 + \lambda _3 + \lambda _4 }}} \right\}} \right\}\]

\[2C_4^2J_2 = \left\{ {(\lambda _1 + \lambda _2 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 }}} \right\} + (\lambda _1 + \lambda _3 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _3 x_3 }}{{\lambda _1 + \lambda _3 }}} \right\} + (\lambda _1 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _1 + \lambda _4 }}} \right\} + (\lambda _2 + \lambda _3 )f\left\{ {\frac{{\lambda _2 x_2 + \lambda _3 x_3 }}{{\lambda _2 + \lambda _3 }}} \right\} + (\lambda _2 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _2 x_2 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _2 + \lambda _4 }}} \right\} + (\lambda _3 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _3 x_3 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _3 + \lambda _4 }}} \right\}} \right\}\]


\[1C_4^1J_1 = \left\{ {\lambda _1 f(x_1 ) + \lambda _2 f(x_2 ) + \lambda _3 f(x_3 ) + \lambda _4 f(x_4 )} \right\}\]

Bất đẳng thức Jensen đã biết là $J_4 \leq J_1$;

Việc đưa vào các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức trên có ý nghĩa như bất đẳng Thức Newton-Maclaurin là bất đẳng thức kẹp giữa hai vế bất đẳng thức chauchy. Điều hay trong các bất đẳng thức đó: Nếu như khi $x_1=x_2=...=x_n$ (1) thì đẳng thức xảy ra đồng loạt; nhưng khi điều kiện (1) không được thỏa mãn thì có một loạt n bất đẳng thức thực sự. Một ví dụ là với n=100 hình ảnh của bất đẳng thức kẹp sẽ rất đẹp thay vì 100 > 1(minh họa cho hai vế của bất đẳng thức cơ bản) ta đưa vào 100 bất đẳng thức kẹp giữa 100>99>98>....>2>1 và điều đó là thực sự có ý nghĩa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 01-08-2012 - 15:24


#5
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết
Cảm ơn bạn.

Góp ý nho nhỏ là lần sau nếu bạn đưa vào bài viết những kí hiệu mà bạn tự định nghĩa, thì nên thêm những định nghĩa đó vào, chứ người đọc làm sao đọc kí hiệu của bạn rồi tự định nghĩa giúp bạn luôn được :D

Với tôi thì những BĐT của bạn không có ý nghĩa gì nhiều, vì cái đống $J_1 \le J_2 \le \dots \le J_n$ thực ra chỉ là hệ quả đơn giản của $J_1 \le J_n$. Và theo tôi thì không nên phức tạp hóa vấn đề, nếu nó không cho ta thứ gì đó tốt hơn.

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#6
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Cảm ơn bạn.

Góp ý nho nhỏ là lần sau nếu bạn đưa vào bài viết những kí hiệu mà bạn tự định nghĩa, thì nên thêm những định nghĩa đó vào, chứ người đọc làm sao đọc kí hiệu của bạn rồi tự định nghĩa giúp bạn luôn được :D



Như tôi đã định đã định nghĩa rõ ràng ở mục I. Chỉ khi định nghĩa như vậy mới có thể dễ dàng chứng minh BĐT một cách tổng quát. Vì tôi không phải là dẫn làm toán nên có thể các ký hiệu chưa được chuẩn hóa theo quy tắc ký hiệu đã biết nên hi vọng được bạn giúp tôi đưa ra được các ký hiệu tốt hơn nếu có thể được.

Với tôi thì những BĐT của bạn không có ý nghĩa gì nhiều, vì cái đống $J_1 \le J_2 \le \dots \le J_n$ thực ra chỉ là hệ quả đơn giản của $J_1 \le J_n$. Và theo tôi thì không nên phức tạp hóa vấn đề, nếu nó không cho ta thứ gì đó tốt hơn.



- Ở đây tôi chưa lấy ra các ví dụ để các bạn chứng minh, có lẽ vì vậy nên bạn cho rằng nó ít ý nghĩa chăng??? Nếu cứ nhận định theo chiều hướng của bạn các bất đẳng thức Chauchy,Jensen, Holder, trường hợp n=k bất kỳ cũng chẳng có ý nghĩa gì nhiều nó chỉ là hệ quả đơn giản của n=2; thật vậy theo phương pháp tôi đã đưa ra thì các chứng minh n=k từ n=2 hết sức đơn giản ; bất đẳng thức Newton - Mac Laurin cũng chẳng có ý nghĩa gì nhiều vì nó chỉ là hệ quả đơn giản của Chauchy(và cũng chẳng áp dụng được vào đâu). Và ngay cả bất đẳng thức Karamata cũng chẳng có ý nghĩa gì cả vì nó đơn giản là hệ quả trực tiếp của giả thiết và được chứng minh một cách hết sức đơn giản nên nó chẳng có ý nghĩa gì nhiều cả. Và các bất đẳng thức trong thi cử chẳng có ứng dụng gì vào thực tế mà nó chỉ giúp cho các bạn một tư duy toán nên nó chẳng có ý nghĩa gì nhiều đối với thực tế cả. Do vậy sự đơn giản từ chứng minh không nói nên được rằng bài toán ít ý nghỉa mà chỉ có thể nói nên rằng cách chứng minh hay. Thậm chí có nhiều định lý không cần chứng minh nhưng nó vẫn có ý nghĩa.

Tóm lại: Trường hợp n=2 => n=k bất kỳ có ý nghĩa như thế nào thì trường hợp $J_1\geq J_n\Rightarrow J_{k}\geq J_{k+1}$ có ý nghĩa như vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 30-07-2012 - 11:33


#7
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Như tôi đã định đã định nghĩa rõ ràng ở mục I. Chỉ khi định nghĩa như vậy mới có thể dễ dàng chứng minh BĐT một cách tổng quát. Vì tôi không phải là dẫn làm toán nên có thể các ký hiệu chưa được chuẩn hóa theo quy tắc ký hiệu đã biết nên hi vọng được bạn giúp tôi đưa ra được các ký hiệu tốt hơn nếu có thể được.

Ý tôi là bạn có quyền định nghĩa những kí hiệu của bạn, nhưng nên đưa những định nghĩa đó vào bài viết một cách rõ ràng. Lúc tôi đọc cái công thức $J_k$ ấy, tôi đã thử đọc lại những phần phía trên xem nhưng cũng không thấy chỗ nào giải thích. Nếu bạn nói là mục 2.1 (không phải mục I) thì thú thật là với chừng ấy thông tin tôi cũng không thể đọc được công thức của $J_k$.


- Ở đây tôi chưa lấy ra các ví dụ để các bạn chứng minh, có lẽ vì vậy nên bạn cho rằng nó ít ý nghĩa chăng??? Nếu cứ nhận định theo chiều hướng của bạn các bất đẳng thức Chauchy,Jensen, Holder, trường hợp n=k bất kỳ cũng chẳng có ý nghĩa gì nhiều nó chỉ là hệ quả đơn giản của n=2; thật vậy theo phương pháp tôi đã đưa ra thì các chứng minh n=k từ n=2 hết sức đơn giản ; bất đẳng thức Newton - Mac Laurin cũng chẳng có ý nghĩa gì nhiều vì nó chỉ là hệ quả đơn giản của Chauchy(và cũng chẳng áp dụng được vào đâu). Và ngay cả bất đẳng thức Karamata cũng chẳng có ý nghĩa gì cả vì nó đơn giản là hệ quả trực tiếp của giả thiết và được chứng minh một cách hết sức đơn giản nên nó chẳng có ý nghĩa gì nhiều cả. Và các bất đẳng thức trong thi cử chẳng có ứng dụng gì vào thực tế mà nó chỉ giúp cho các bạn một tư duy toán nên nó chẳng có ý nghĩa gì nhiều đối với thực tế cả. Do vậy sự đơn giản từ chứng minh không nói nên được rằng bài toán ít ý nghỉa mà chỉ có thể nói nên rằng cách chứng minh hay. Thậm chí có nhiều định lý không cần chứng minh nhưng nó vẫn có ý nghĩa.

Tóm lại: Trường hợp n=2 => n=k bất kỳ có ý nghĩa như thế nào thì trường hợp $J_1\geq J_n\Rightarrow J_{k}\geq J_{k+1}$ có ý nghĩa như vậy.

À, số là tôi nghe một anh admin kể là bạn muốn ***[nội dung này đã bị xóa]*** nên tôi mới nhận xét như vậy. Cho nên tôi nói không có nhiều ý nghĩa, có thể tạm hiểu là ***[nội dung này đã bị xóa]***. Còn tất nhiên là mỗi bài toán, mỗi lời giải, mỗi ý tưởng, dù đúng hay sai, dù đẹp hay xấu, dù đơn giản hay phức tạp,... đều có ý nghĩa của nó cả.

Ở post trước tôi trình bày không rõ ràng, có phần không đầu không đũa, chắc đã làm bạn cùng một số thành viên hiểu nhầm. Xin nhận đó là sơ xuất của tôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 01-08-2012 - 21:36
Xóa đi một vài thông tin cá nhân

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#8
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Ý tôi là bạn có quyền định nghĩa những kí hiệu của bạn, nhưng nên đưa những định nghĩa đó vào bài viết một cách rõ ràng. Lúc tôi đọc cái công thức $J_k$ ấy, tôi đã thử đọc lại những phần phía trên xem nhưng cũng không thấy chỗ nào giải thích. Nếu bạn nói là mục 2.1 (không phải mục I) thì thú thật là với chừng ấy thông tin tôi cũng không thể đọc được công thức của $J_k$.



À, số là tôi nghe một anh admin kể là ***[nội dung này đã bị xóa]***, nên tôi mới nhận xét như vậy. Cho nên tôi nói không có nhiều ý nghĩa, có thể tạm hiểu là ***[nội dung này đã bị xóa]***. Còn tất nhiên là mỗi bài toán, mỗi lời giải, mỗi ý tưởng, dù đúng hay sai, dù đẹp hay xấu, dù đơn giản hay phức tạp,... đều có ý nghĩa của nó cả.

Ở post trước tôi trình bày không rõ ràng, có phần không đầu không đũa, chắc đã làm bạn cùng một số thành viên hiểu nhầm. Xin nhận đó là sơ xuất của tôi.


Ý thứ nhất: Về phần ký hiệu ở đây không phải tôi chưa đưa ra; mà tôi đã đưa ra nhưng chưa được rõ ràng tôi có lỗi tuy nhiên cũng có một phần lỗi của BBT; khi một bài báo gửi đến nếu BBT chưa hiểu bài báo định trình bày gì; hoặc chưa rõ chỗ nào cần phải yêu cầu tác giả sửa chữa. Điều này tôi sẽ rút kinh nghiệm.

Ý thứ hai: Tôi không có ý so sánh mấy bất đẳng thức đó với mấy bất đẳng thức kinh điển và cũng không đâu tôi nói rằng tôi so sánh mấy bất đẳng thức đó với mấy bất đẳng thức kinh điển mà nó chính là một dãy các bất đẳng thức kinh điển đồng dạng(của chính các tác giả đó Jensen,Chauchy,Holder). Tuy nhiên tôi có ý tưởng là có thể đưa nó lên tạp chí được không với anh hxthanh.

Lý do thứ nhất: Một sự sáng tạo dù nhỏ;tính mới mẻ, chưa được trình bày trong sách báo và tính tổng quát của bài toán; sự kết hợp giữa phương pháp tách và nhóm và tổ hợp để làm một bài tập; giúp cho bạn đọc một tư duy hình thức về các bất đẳng thức đồng dạng nó có tính gợi ý cho các bạn về những bất đẳng thức.

Lý do thứ hai: Bất đẳng thức Newton-Maclaurin cũng không ứng dụng gì nhiều và cũng được chứng minh từ bất đẳng thức Chauchy về hình thức thì bất đẳng thức này cũng tương tự bất đẳng thức tôi đưa lên ở trên. Nên mặc dù tính ứng dụng không cao nhưng về phương diện hình thức bất đẳng thức vẫn đẹp. Nên tôi không ngần ngại nêu ý tưởng đó với anh Hxthanh. Tuy nhiên ý tưởng cá nhân khi chưa chia sẻ lên diễn đàn chính thì nõ vẫn là bí mật trừ khi có thâm thù mới lôi ra, nếu như bạn không tán thành quan điểm mấy bất đẳng thứ đó là hay thì bạn nên góp ý riêng với tôi. Khi đọc chữ "Đống" tôi hoàn toán không thích lắm, tuy nhiên mọi sự cãi nhau chỉ đi đến mất đoàn kết, chúng ta nên tôn trọng lẫn nhau, và à bạn. Nó có ý nghĩa gì và ứng dụng gì thì ai cũng hiểu; nó cũng chẳng có gì đột phá cả, tôi chỉ là người thử đưa ra các dãy cho một số dạng bất đẳng thức. Bạn cũng thấy rằng có hàng nghìn bất đẳng thức có ứng dụng gì đâu; lặp đi lặp lại; và trích dẫn lẫn nhau; áp dụng lẫn nhau mà vẫn được đăng tạp chí đây thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 01-08-2012 - 21:36
Ẩn đi một vài thông tin cá nhân


#9
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Bởi lý do thứ nhất: Một sự sáng tạo dù nhỏ;tính mới mẻ, chưa được trình bày trong sách báo và tính tổng quát của bài toán; sự kết hợp giữa phương pháp tách và nhóm và tổ hợp để làm một bài tập; giúp cho bạn đọc một tư duy hình thức về các bất đẳng thức nó có tính gợi ý cho các bạn về những bất đẳng thức.

Cái câu này hơi lủng củng, bạn trình bày lại được không ? Chỉ sợ hiểu sai ý của bạn.

Lý do thứ hai: Bất đẳng thức Newton-Maclaurin cũng không ứng dụng gì nhiều và cũng được chứng minh từ bất đẳng thức Chauchy về hình thức thì bất đẳng thức này cũng tương tự bất đẳng thức tôi đưa lên ở trên. Nên mặc dù tính ứng dụng không cao nhưng về phương diện hình thức bất đẳng thức vẫn đẹp. Nên tôi không ngần ngại nêu ý tưởng đó với anh Hxthanh.

Chúng ta đang ở năm 2012 mà bạn ? :ohmy:

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#10
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Cái câu này hơi lủng củng, bạn trình bày lại được không ? Chỉ sợ hiểu sai ý của bạn.
Chúng ta đang ở năm 2012 mà bạn ? :ohmy:


Tôi nói lại: Khi chưa được ai trình bày thì tôi trình bày xem như một bài tập đó là tính mới mẻ của bài toán(mới ở chỗ chưa ai trình bày đưa ra dạng một dãy bất đẳng thức đồng dạng cho các bất đẳng thức kinh điển đó. Đó chính là tính mới; ít nhất về mặt hình thức). Tôi không hề muốn tranh luận theo kiểu này với bạn vì nó không đi vào trọng tâm vấn đề. Nếu như bạn thấy nó không hay thì đó là quyền của bạn. (Và tôi cũng không có nói là nó hay, nếu hay thì hay nhất ở cách làm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 31-07-2012 - 22:47


#11
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Một góp ý khác là nếu đang thảo luận thì bạn nên hạn chế chỉnh sửa nhiều lần bài viết và thêm thắt nhiều thứ vào (nếu sửa lỗi chính tả thì không sao), nhất là khi bài viết của bạn đã được người khác phản hồi.
Đợi bạn chỉnh xong bài viết rồi mai tôi trả lời nhé. Chúc vui vẻ !


Xin lỗi bạn, tôi thường có thói quen trình bày thử! Tranh luận ở chỗ khi chưa hiểu vấn đề. Hiện nay bạn đã hiểu vấn đề và tôi cũng hiểu vấn đề thì ai giữ quan điểm của người đó được không. Tuy nhiên nếu bạn vẫn chưa hiểu chỗ nào của nội dung bài báo thì tôi có thể giải đáp tiếp cho bạn. Nhưng có lẽ bạn đã hiểu hết nội dung tôi định trình bày.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 31-07-2012 - 22:57


#12
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
Một số ví dụ ứng dụng từ phương pháp tách nhóm

Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 chứng minh:

$\frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{4}{4a+b+c}+\frac{4}{a+4b+c}+\frac{4}{a+b+4c}$

Ví dụ 3: Hàm f(x) lồi trên R chứng minh rằng với a,b,c thuộc R ta có:

$f(\frac{2a+2b-c}{3})+f(\frac{2b+2c-a}{3})+f(\frac{2c+2a-b}{3})+3f(\frac{a+b+c}{3})\geq 2(f(\frac{a+b}{2})+f(\frac{b+c}{2})+f(\frac{c+a}{2}))$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 02-08-2012 - 16:36


#13
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết
Chào bạn daothanhoai,

Xin lỗi vì đã tiết lộ một số chuyện cá nhân của bạn. Tôi đã xóa đi những nội dung này ở bài viết trên (bài viết của bạn thì bạn tự chỉnh sửa nhé).
Tôi tham gia thảo luận cũng bởi vì những chuyện này thôi, và những gì tôi nói đến đều liên quan đến những thứ này. Còn nếu chỉ xem bài viết của bạn như bao bài viết khác của Diễn đàn Toán học, thì thực ra tôi cũng không quan tâm lắm.

Chúc bạn thành công !


P/s: nếu bạn quan tâm tới BĐT thì nên đọc topic này: Tại sao nhiều bài toán BĐT thế ?

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#14
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
Anh Nestbit à! Thực sự các bất đẳng thức đó cũng không có ý nghĩa gì quan trọng cả! Đúng thật nó chỉ là hệ quả trực tiếp của cả bất đẳng thức kinh điển thôi, nó chỉ có thể xem như các bài toán. Với tinh thần cầu thị em chính thức xin lỗi anh vì những tranh luận mang tính cá nhân. Cái hay có chăng thì chỉ là cách làm, với phương pháp tách nhóm kết hợp tổ hợp. Em cũng xin lỗi anh vì những chuyện tranh luận không đâu. Em vừa đi liên hoan về(em không chuyên môn toán, không theo nghiệp nghiên cứu giảng dạy). Tuy nhiên em sẽ nghiên cứu xem nó có những ứng dụng gì không! Em hứa! Em sẽ đưa trả lời này nên diễn đàn chính để chính thức thể hiện tình đoàn kết giữa các thành viên trong diễn đàn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 02-08-2012 - 00:14


#15
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
Ví dụ 2 và ví dụ 3 ở trên dễ chứng minh trực tiếp từ các BĐT đã biết. Giờ dùng các bất đẳng thức đã biết chứng minh ví dụ 1:

Ví dụ 1: Với a,b,c>0 ; a+b+c=1 chứng minh rằng:

$$a^3+b^3+c^3+\frac{1}{18}\geq \frac{1}{16}((a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3)+\frac{1}{216}((3a+1)^3+(3b+1)^3+(3c+1)^3)$$

#16
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
Xin lỗi các bạn: Trong mục #14 hôm qua khoảng 12 h đêm mình có nói rằng mình đi liên hoan về ( bằng chứng cho thấy đã khá say). Sau đó vẫn vào diễn đàn thảo luận nên dẫn đến một chứng minh không được đúng cho một số nhận định của tôi về cách chứng minh bất đẳng thức Popociviu(từ bất đẳng thức Jensen), và nhận định rằng $\lambda _i$ trong bất đẳng thức Jensen có thể âm. Điều đó sẽ làm loãng chất lượng của chuyên đề và giảm uy tín cá nhân (trong diễn đàn). Nên tôi chính thức ẩn đi(tuy nhiên vẫn tóm lược lại nội dung như ở đây).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 02-08-2012 - 16:35


#17
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết
1-Khi hàm f(x) lồi trên $I(a,b)$, với ${{x}_{i}}\in I(a,b),i=\overline{1,n}$
${{J}_{k}}=\frac{1}{kC_{n}^{k}}\sum\limits_{i=1}^{C_{n}^{k}}{\left\{ (\sum\limits_{0<i \ne j\le n}^{k}{{{\lambda }_{{{i}_{j}}}})f\left( \frac{\sum\limits_{0<i \ne j\le n}^{k}{{{\lambda }_{{{i}_{j}}}}{{x}_{{{i}_{j}}}}}}{\sum\limits_{0<i \ne j\le n}^{k}{{{\lambda }_{{{i}_{j}}}}}} \right)} \right\}}$

${{J}_{k}} \ge {{J}_{k+1}}$ (đã được chứng minh)

Với $ m>n\ge p>q, m+q=n+p $

${{J}_{m}}+{{J}_{q}}\ge {{J}_{n}}+{{J}_{p}} $ (rút ra từ việc quan sát một số dạng bất đẳng thức Popociviu chưa được chứng minh)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 04-08-2012 - 09:18


#18
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Ký hiệu $\sum\limits_{0<i\ne j\le n}^k \lambda_{i_j}$ là thế nào nhỉ?

#19
daothanhoai

daothanhoai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Ký hiệu $\sum\limits_{0<i\ne j\le n}^k \lambda_{i_j}$ là thế nào nhỉ?


Anh Nesbit bảo trong toán không có các kí hiệu giống em ký hiệu ở #1,#2. Anh hxthanh cũng bảo các ký hiệu như em trích dẫn là không hiểu được.

Với n=4 em viết tường minh $J_1,J_2,J_3,J_4$ theo các biểu thức sau.

$4C_4^4J_4 = (\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 + \lambda _3 x_3 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 + \lambda _4 }}} \right\}$

$3C_4^3J_3 = \left\{ {(\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 + \lambda _3 x_3 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 }}} \right\} + (\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _4 }}} \right\} + (\lambda _1 + \lambda _3 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _3 x_3 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _1 + \lambda _3 + \lambda _4 }}} \right\} + (\lambda _2 + \lambda _3 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{ \lambda _2 x_2 + \lambda _3 x_3 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _2 + \lambda _3 + \lambda _4 }}} \right\}} \right\}$

$2C_4^2J_2 = \left\{ {(\lambda _1 + \lambda _2 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 }}{{\lambda _1 + \lambda _2 }}} \right\} + (\lambda _1 + \lambda _3 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _3 x_3 }}{{\lambda _1 + \lambda _3 }}} \right\} + (\lambda _1 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _1 x_1 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _1 + \lambda _4 }}} \right\} + (\lambda _2 + \lambda _3 )f\left\{ {\frac{{\lambda _2 x_2 + \lambda _3 x_3 }}{{\lambda _2 + \lambda _3 }}} \right\} + (\lambda _2 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _2 x_2 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _2 + \lambda _4 }}} \right\} + (\lambda _3 + \lambda _4 )f\left\{ {\frac{{\lambda _3 x_3 + \lambda _4 x_4 }}{{\lambda _3 + \lambda _4 }}} \right\}} \right\}$


$1C_4^1J_1 = \left\{ {\lambda _1 f(x_1 ) + \lambda _2 f(x_2 ) + \lambda _3 f(x_3 ) + \lambda _4 f(x_4 )} \right\}$

Em không chuyên môn nên không biết ký hiệu theo kiểu chuyên môn toán như thế nào để có thể diễn đạt bằng ký hiệu nhưng lại đúng bản chất các công thức $J_k$ tường minh như trên. Vậy em nhờ anh Hxthanh và anh Nesbit cùng như các thành viên dựa vào biểu thức tường minh với n=4 cho $J_1,J_2,J_3,J_4$ để định nghĩa lại biểu thức của $J_k$ từ n bất kỳ theo ký hiệu toán học đã biết giúp em. Chân thành cảm ơn các anh và các thành viên.

$ J_1 \ge J_2 \ge J_3 \ge J_4 $(ý tưởng này đã được chứng minh) (1)
$J_1 + J_3 \ge 2J_2 $ (2)
$J_2 + J_4 \ge 2J_3 $ (3)
$J_1 + J_4 \ge J_2 + J_3$ (4)
Em suy nghĩ để thành công trong nghiên cứu cần phải có niềm đam mê, ngoài ra cần phải đưa ra các ý tưởng và chứng minh xem ý tưởng đó có đúng không? Cái hay của đưa ra khái niệm $J_k$ có lẽ ở chỗ nó dễ dàng diễn đạt các ý tưởng (1),(2),(3),(4)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 05-08-2012 - 14:50

  • T M yêu thích

#20
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Định nghĩa các biểu thức $J$ như trên, rõ ràng phụ thuộc vào $2$ biến
Một là số thứ tự phần tổ hợp (như đã gọi tên là $J_2,J_3,...$)
Hai là giá trị của biến cần tổ hợp (là $n$)

Đừng quên tất cả tổ hợp chập $k$ của $n$ đều có thể sắp xếp thứ tự
Khi đó ta có thể định nghĩa:

$J(n,k)=\dfrac{1}{kC_n^k} \sum\limits_{1 \le i_1<...<i_k \le n} \left(\left(\lambda_{i_1}+...+\lambda_{i_k}\right) f\left(\dfrac{\lambda_{i_1} x_{i_1}+...+\lambda_{i_k} x_{i_k}}{\lambda_{i_1}+...+\lambda_{i_k}}\right)\right)$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh