Chứng minh BDT: $\frac{\sum \sqrt{a^2+3}}{a+b+c} < \sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}$
#1
Đã gửi 17-07-2012 - 09:55
$\frac{\sum \sqrt{a^2+3}}{a+b+c} < \sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}$
- Mai Duc Khai, duongvanhehe và Phuong Mark thích
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#2
Đã gửi 22-07-2012 - 17:05
$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow abc(a+b+c)=ab+bc+ca$Cho các số thực duơng $a,b,c$ thảo mãn $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng:
$\frac{\sum \sqrt{a^2+3}}{a+b+c} < \sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}$
Ta có:$(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)=3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+3}\leq \sum \sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}=\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2(a+b+c)$
Do đó :$VT\leq 2$
Lại có:$VP=\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}$
Theo BĐT Schur bậc 4 ta có:$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{2}b^{2} \Rightarrow \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})^{2})-abc(a+b+c)}\geq 2 \Rightarrow VP\geq 2$
Từ đó suy ra $VT\leq VP$.Dấu bằng không xảy ra.
- NguyThang khtn và no matter what thích
#3
Đã gửi 22-07-2012 - 19:56
$\frac{\sum \sqrt{a^{2}+3}}{a+b+c}\leq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}-\frac{1}{2}bc+c^{2}}$
- NguyThang khtn yêu thích
#4
Đã gửi 23-07-2012 - 21:10
Ngược dấu đoạn cuối bạn ơi$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow abc(a+b+c)=ab+bc+ca$
Ta có:$(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)=3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+3}\leq \sum \sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}=\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2(a+b+c)$
Do đó :$VT\leq 2$
Lại có:$VP=\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}$
Theo BĐT Schur bậc 4 ta có:$a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq \sum ab(a^{2}+b^{2})\geq 2\sum a^{2}b^{2} \Rightarrow \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})^{2})-abc(a+b+c)}\geq 2 \Rightarrow VP\geq 2$
Từ đó suy ra $VT\leq VP$.Dấu bằng không xảy ra.
- duongvanhehe yêu thích
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#5
Đã gửi 23-07-2012 - 21:46
Chỉ rõ hộ mình chỗ nào với,mình chưa nhìn raNgược dấu đoạn cuối bạn ơi
#6
Đã gửi 24-07-2012 - 22:07
Mình thì biến đổi
S.O.S thôi
- duongvanhehe yêu thích
It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow
#7
Đã gửi 25-07-2012 - 09:07
Là thế này:$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}\geq \frac{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}{2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})-abc(a+b+c)}\geq 2$Đoạn $\sum a^4 \ge 2\sum a^2b^2-abc(a+b+c) $ thì đoạn cuối là ngược dấu !
Mình thì biến đổi
S.O.S thôi
$\Leftrightarrow abc(a+b+c)\geq 0$
Sao lại ngược dấu nhỉ?
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh