Chủ đề này có 4 trả lời

[L Lawliet]

Cho hai điểm $A$, $B$ phân biệt và hai số $\alpha$, $\beta$ không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng nếu $\alpha+\beta\neq 0$ thì tồn tại duy nhất điểm $M$ sao cho:
$$\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=0$$
Từ đó nêu cách dựng điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu.
---
Phần chứng minh em đã chứng minh được nhưng phần nêu cách dựng thì em không làm được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 18-07-2012 - 13:22

[leminhansp]

Cho hai điểm $A$, $B$ phân biệt và hai số $\alpha$, $\beta$ không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng nếu $\alpha+\beta\neq 0$ thì tồn tại duy nhất điểm $M$ sao cho:
$$\alpha\vec{MA}+\beta\vec{MB}=\vec{0}$$
Từ đó nêu cách dựng điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu.
---
Phần chứng minh em đã chứng minh được nhưng phần nêu cách dựng thì em không làm được

Không biết cách chứng minh của em như thế nào, mình đưa ra cách chứng minh như sau (mà theo mình nó thể hiện luôn cách vẽ rồi)

Giả sử $\beta \ne 0$. Ta có:
$$\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=0$$
$$\Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} \right)=0$$
$$\Leftrightarrow \left( \alpha +\beta \right)\overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{AB}=0$$
$$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{-\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$$
Do $\beta \ne 0$,$\alpha +\beta \ne 0$ nên tồn tại điểm $M$, và cách dựng điểm $M$ là dựng véctơ $\overrightarrow{AM}$ theo véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đã biết thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 17-07-2012 - 23:53

[tranghieu95]

Cái này có thể mở rộng cho bộ n điểm $(A_1; A_2;...; A_n)$ và bộ n số $(a_1; a_2;...;a_n)$ thì tồn tại duy nhất 1 điểm $M$ thỏa mãn:
$a_1.\overrightarrow{MA_1}+a_2.\overrightarrow{MA_2}+...+a_n.\overrightarrow{MA_n}=\overrightarrow{0}$
$M$ đc gọi là trọng tâm của hệ điểm $(A_1; A_2;...; A_n)$ với hệ số $(a_1; a_2;...;a_n)$
Em xem thêm quyển TLGK chuyên toán 10

[L Lawliet]

Không biết cách chứng minh của em như thế nào, mình đưa ra cách chứng minh như sau (mà theo mình nó thể hiện luôn cách vẽ rồi)

Giả sử $\beta \ne 0$. Ta có:
$$\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=0$$
$$\Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} \right)=0$$
$$\Leftrightarrow \left( \alpha +\beta \right)\overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{AB}=0$$
$$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{-\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$$
Do $\beta \ne 0$,$\alpha +\beta \ne 0$ nên tồn tại điểm $M$, và cách dựng điểm $M$ là dựng véctơ $\overrightarrow{AM}$ theo véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đã biết thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$

Em chứng minh giống anh nhưng ở phần dựng: dựng điểm $M$ là dựng véctơ $\overrightarrow{AM}$ theo véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đã biết thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$ là cái em muốn hỏi anh à

[leminhansp]

Em chứng minh giống anh nhưng ở phần dựng: dựng điểm $M$ là dựng véctơ $\overrightarrow{AM}$ theo véc tơ $\overrightarrow{AB}$ đã biết thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta }\overrightarrow{AB}$ là cái em muốn hỏi anh à

Này nhá, $\overrightarrow{AM}=\frac{\beta }{\alpha +\beta}\overrightarrow{AB}$ tức là $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương đúng chưa, vậy dựng đường tròn tròn tâm A bán kính $\frac{\beta }{\alpha +\beta }AB}$ giao điểm của đường tròn và đường thẳng $AB$ là điểm $M$, tùy vào việc $\frac{\beta }{\alpha +\beta }$ là số dương hay âm mà chọn giao điểm nào!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 18-07-2012 - 10:20