Chủ đề này có 4 trả lời

[anh qua]

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D ở bên trong tam giác. BD, CD cắt AC,AB tại E,F. giả sử tứ giác ADEF nội tiếp. Chứng minh : Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDF nằm trên một đườn thẳng cố định.
Bài 2: Cho tam giác ABC, phân giác AD, kẻ DE,DF vuông goác với AC,AB. BE cắt CF tại H; (HAE) cắt HF= M; (HAF) cắt HE tại N. DM,DN cắt (HAE);(HAF) tại P.Q. Chứng minh rằng : P,A,Q thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 31-07-2012 - 03:54

[perfectstrong]

Bài 1:
Có vẻ sai đề. Nếu cho $F$ cố định thì $D$ chạy trên $CF$ à?
Bài 2: Khá ảo
Đầu tiên, ta chứng minh $AH \perp BC$. Vẽ $AG \perp BC$.
\[
\frac{{GA}}{{GC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{BA\cos ABC}}{{CA\cos ACB}}.\frac{{CD\cos ACB}}{{BD\cos ABC}} = 1
\]
Suy ra $BE,CF,AG$ đồng quy tại $H$. Nên $AH \perp AB$ tại $G$. Do đó, các bộ điểm $(A,F,G,D)$ đồng viên.

Kết hợp với $(A,F,H,N)$ đồng viên thì ta có $\overline{BH}.\overline{BN}=\overline{BF}.\overline{BA}=\overline{BG}.\overline{BD}$
Suy ra $G,H,N,D$ đồng viên $\Rightarrow \angle HND=90^o \Rightarrow \angle QND=90^o \Rightarrow \angle QAH=90^o$
Tương tự, $\angle HAP=90^o \Rightarrow \overline{P;A;Q}$.

[anh qua]

Bài 1:
Có vẻ sai đề. Nếu cho $F$ cố định thì $D$ chạy trên $CF$ à?
Bài 2: Khá ảo
Đầu tiên, ta chứng minh $AH \perp BC$. Vẽ $AG \perp BC$.
\[
\frac{{GA}}{{GC}}.\frac{{EC}}{{EA}}.\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{BA\cos ABC}}{{CA\cos ACB}}.\frac{{CD\cos ACB}}{{BD\cos ABC}} = 1
\]
Suy ra $BE,CF,AG$ đồng quy tại $H$. Nên $AH \perp AB$ tại $G$. Do đó, các bộ điểm $(A,F,G,D)$ đồng viên.

Kết hợp với $(A,F,H,N)$ đồng viên thì ta có $\overline{BH}.\overline{BN}=\overline{BF}.\overline{BA}=\overline{BG}.\overline{BD}$
Suy ra $G,H,N,D$ đồng viên $\Rightarrow \angle HND=90^o \Rightarrow \angle QND=90^o \Rightarrow \angle QAH=90^o$
Tương tự, $\angle HAP=90^o \Rightarrow \overline{P;A;Q}$.

Câu 1 nhớ nhầm! Đề đúng là chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp AEDF nằm trên một đường thẳng cố định.




p.s: Càng ngày càng ngu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 31-07-2012 - 03:54

[vslmat]

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D ở bên trong tam giác. BD, CD cắt AC,AB tại E,F. giả sử tứ giác ADEF nội tiếp. Chứng minh : Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDF nằm trên một đường thẳng cố định.

Bài này là một bài hình hay.

Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANDE la $C$
Hai đường cao trong $\Delta ABC$ BG a CH cắt nhau tại trực tâm H.
Dễ thấy A, K, H, G nằm trên một đường tròn, gọi đường tròn này là $C_{1}$
Vì tứ giác AKHG cũng như tứ giác AFDE là các tứ giác nội tiếp nên H cũng như D nằm trên một đường tròn có cung BC, các điểm nằm trên cung nhỏ BC nhìn BC dưới một góc $180^{\circ} - \angle BAC$. Gọi đường tròn này là $C_{2}$, tâm của đường tròn này là S.
$C_{1}$ và $C_{2}$ cắt nhau tại một điểm khác là N. Ta sẽ chứng minh N nằm trên $C$
Nốii AN cat $C_{2}$ tạii Q. Vì $\angle HNQ = 90^{\circ}$ nên ba điểm H, S, Q thằng hàng.
Vì thế $\angle HBQ = 90^{\circ}$, cho nên BQ // AC.
$\angle ADB = \angle NQB = \angle NAE$. Tứ giác ANDE nội tiếp. N quả thật nằm trên đường tròn $C$.
Vì đường nối tâm O của $C$ với tâm L của $C_{1}$ vuông góc vớii AS nên O nằm trên đường thẳng cố định đi qua L vuông góc với AQ cố định.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vslmat: 31-07-2012 - 19:51

[vslmat]

Bài 2: Cho tam giác ABC, phân giác AD, kẻ DE,DF vuông goác với AC,AB. BE cắt CF tại H; (HAE) cắt HF= M; (HAF) cắt HE tại N. DM,DN cắt (HAE);(HAF) tại P.Q. Chứng minh rằng : P,A,Q thẳng hàng.

Nhận thấy:
$\angle FAH = \angle FNB$, nhưng $\angle FAH = \angle FDB$ nên tứ giác FNDB là tứ giác nội tiếp. Vì thế $DN\perp BE$. Dẫn đến $\angle QAH = 90^{\circ}$
Tương tự như vậy vớii đường tròn thứ hai ngoại tiếp $\Delta AHE$ ta có $DM\perp CF$. Vì thế $\angle HAP = 90^{\circ}$
Ba điểm Q, A, P thẳng hàng.
Qua lời giải trên ta thấy điều kiện AD là phân giác góc A là không cần thiết.

Hình gửi kèm

•