Chủ đề này có 4 trả lời

[C a c t u s]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN - HUYỆN YÊN DŨNG

NĂM HỌC 2011-2012

MÔN: TOÁN

Câu 1 (6 điểm)
Cho biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$
1) Rút gọn biểu thức $A$
2) Tìm giá trị của $x$ để $A < 1$
3) Tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $A$ là số nguyên.
Câu 2 (4 điểm)
1) Cho phương trình: $x^2-5x+(2+m)(3-m)=0$(1), với $m$ là tham số.
Tìm các giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa mãn điều kiện: $x_1^2+x_2^2=17-9m$
2) Cho parabol (P) :$y=\frac{1}{4}x^2$ và điểm M $(-1;-2)$. Tìm phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (P) tại một điểm duy nhất.
Câu 3 (3 điểm)
1) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x+y-\sqrt{xy}=3\\\sqrt {x+1}+\sqrt{y+1} = 4\end{array} \right.$
2) Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho hai số $2(p+1)$ và $2(p^2 + 1)$ là hai số chính phương.
Câu 4 (6 điểm)
Cho hai đường tròn $(O ; R)$ và $(O’ ; R’)$ cắt nhau tại $I$ và $J (R’ > R)$. Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở $A$. Gọi $B$ và $C$ là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với $(O’ ; R’); D$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $AB$ với $(O ; R)$ (điểm $I$ và điểm $B$ ở cùng nửa mặt phẳng bờ là $O’A$). Đường thẳng $AI$ cắt $(O’ ; R’)$ tại $M$ (điểm $M$ khác điểm $I$ ).
1) Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $IJ$ với $BD$. Chứng minh $KB^2=KI.KJ$, từ đó suy ra $KB = KD.$
2) $AO’$ cắt $BC$ tại $H$. Chứng minh 4 điểm $I, H, O’, M$ nằm trên một đường tròn.
3) Chứng minh đường thẳng $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\triangle IBD$
Câu 5 (1 điểm)
Cho $a \ge 1342; b \ge 1342$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+ab \ge 2013(a+b)$. Dấu "=" xảy ra khi nào?
--------------------------Hết--------------------------

P.s: Đây là đề thi của huyện mình năm ngoái, dù đã cũ nhưng vẫn post lên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 21-08-2012 - 19:36

[Tru09]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN - HUYỆN YÊN DŨNG

NĂM HỌC 2011-2012

MÔN: TOÁN

Câu 1 (6 điểm)
Cho biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$
1) Rút gọn biểu thức $A$
2) Tìm giá trị của $x$ để $A < 1$
3) Tìm các giá trị nguyên của $x$ sao cho $A$ là số nguyên.

Bài 1 :
TXD :$x \neq 4 ,9$ và $x \geq 0$
$A =\frac{2\sqrt{x} -9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}-\frac{x-9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)} +\frac{(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$A =\frac{2\sqrt{x}-x+2x -3\sqrt{x} -2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$A=\frac{x-\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$A=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}$
$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$
b,$A <1 $
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} <1 $
$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}-3} < 0$
Mà $\frac{4}{\sqrt{x}-3} > 0 $
$\Rightarrow :\text{không có giá trị nào}$
c, Để $A \in Z$
$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}-3} \in Z$
$\Leftrightarrow \sqrt{x} -3 \in Ư(4) ={1,2,4,-1,-2,-4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x} \in {4,5,7,2,1,-1}$
Mà $\sqrt{x} =2 ; -1 :\text{loại}$
Vậy $A \in Z \Leftrightarrow x \in {16,25,49,1}$
-----------------------------------------------------------------
Bài 2 :
Xét $\Delta = 25-4(2+m)(3-m)=1-4m+4m^2 =(2m-1)^2 >0$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $m >\frac{1}{2}$
$x_{1} =\frac{5+2m-1}{2}=2+m$
$x_{2} =\frac{5-2m +1}{2}=3-m$
Để$ x_{1}^2 +x_{2}^2 =17 -9m$
$\Leftrightarrow m^2 +4m +4 +m^2 -6m +9 =17 -9m$
$\leftrightarrow 2m^2 +7m -4=0$
$\leftrightarrow (m+4)(2m-1)=0$
$\Leftrightarrow m =-4 :\text{Kết hợp với DK}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 21-08-2012 - 12:06

[minhdat881439]

Câu 3 (3 điểm)
1) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x+y-\sqrt{xy}=3\\\sqrt {x+1}+\sqrt{y+1} = 4\end{array} \right.$

ĐK: $\left\{\begin{matrix} x\geq -1 & \\ y\geq -1 & \end{matrix}\right.$
HPT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=3 & \\ x+y+2\sqrt{x+y+xy+1}=2 & \end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a & \\ \sqrt{xy}=b; b\geq 0 & \end{matrix}\right.$
Đến đây .....

[Math Is Love]

Câu 5 (1 điểm)
Cho $a \ge 1342; b \ge 1342$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+ab \ge 2013(a+b)$. Dấu "=" xảy ra khi nào?

BĐT tương đương với:
$a^{2}+b^{2}+ab-2013a-2013b\geqslant 0$
$\Leftrightarrow (\frac{3a^{2}}{4}-2013a+1342^{2})+(\frac{3a^{2}}{4}-2013b+1342^{2})+(\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-\frac{ab}{2})+\frac{3ab}{2}\geqslant 1,5.1342^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4}(a^{2}-2684a+1342^{2})+\frac{3}{4}(a^{2}-2684b+1342^{2})+\frac{1}{4}(a-b)^{2}+\frac{3ab}{2}\geqslant 1,5.1342^{2}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4}(a-1342)^{2}+\frac{3}{4}(b-1342)^{2}+\frac{1}{4}(a-b)^{2}+\frac{3ab}{2}\geqslant 1,5.1342^{2}$
Có $\frac{3ab}{2}\geqslant 1,5.1342^{2}$
Vậy ta có đpcm

[chmod]

Câu 3 (3 điểm)

2) Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho hai số $2(p+1)$ và $2(p^2 + 1)$ là hai số chính phương.

--------------------------Hết--------------------------

p=2 không thỏa mãn đề bài nên $p>2$
Nhận xét do đây đều là các SCP chẵn nên ta đặt $2(p+1)=4a^2$ , $2(p^2+1)=4b^2$
trừ 2 vế ta được $p(p-1)=2(b+a)(b-a)$ do đó p là ước của $(b+a)(b-a)$ , cũng do p nguyên tố nên có ít nhất 1 trong 2 số $b+a , b-a$ chia hết cho p
giả sử $b-a$ chia hết cho p thì $p\leq b-a$ do đó $p-1\geq 2(b+a) $ điều này là vô lý nên $b-a$ không chia hết cho p
vậy $a+b \vdots p$ nên $p \leq b+a$
TH1 : nếu $p < b+a \Rightarrow p\leq \frac{b+a}{2}$ ta viết lại biểu thức dưới dạng $p(p-1)=\frac{b+a}{2}.4(b-a)$
$\Rightarrow p-1\geq 4(b-a)$ $\Rightarrow \frac{b+a}{2}\geq 4(b-a)$ $\Rightarrow a\geq \frac{7}{9}b$

do đó $p\leq \frac{b+a}{2}\leq \frac{8}{7}a$ thay vào phương trình đầu $2(p+1)=4a^2$
ta được $4a^2 \leq \frac{23}{7}a$ vô lý
vậy $p=b+a$ khi đó $p-1=2(b-a)$ suy ra $\Rightarrow p=4a-1$ thay vào phương trình $2(p+1)=4a^2$ ta tìm được $a=2$
suy ra p=7 là gia tri duy nhất cần tìm

chiu khog the sua latex duoc ! mod sua giup toi voi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chmod: 21-08-2012 - 21:27