4 replies to this topic

[henry0905]

Chứng minh tổng bình phương các cạnh trong hình bình bình hành ABCD bằng tổng bình phương hai đường chéo.
Tổng quát: Nếu ABCD là tứ giác lồi thì hệ thức trên trở thành như thế nào?

[BlackSelena]

Xét hình bình hành $ABCD$
Theo định lý hàm $\cos$ cho $\triangle ABC$, ta có:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB.BC.\cos B$
Tương tự, áp dụng vào tam giác $BCD$.
$BD^2 =CD^2 + BC^2 - 2BC.CD.\cos D$
Vậy $AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + BC^2 - 2AB.BC.\cos B - 2BC.CD.\cos D$
Mà $AB=CD,BC=AD$ nên ta có đpcm.

Edited by BlackSelena, 16-09-2012 - 00:04.

[giapvansu]

Xét hình bình hành $ABCD$
Áp dụng định lý cosin trong các tam giác $ABC$ và $BCD$ ta có
$AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.\cos{B}$
$BD^2=BC^2+CD^2-2.BC.CD.\cos{C}$
Cộng vế với vế của hai phương trình ta được
$AC^2+BD^2= AB^2+BC^2-2.AB.BC.\cos{B}+BC^2+CD^2-2.BC.CD.\cos{C}$
Chúng ta cần lưu ý trong hình bình hành có các tính chất sau: $AB = CD$, $AD = BC$, $\angle{B}+\angle{D}=180^{\circ}\Rightarrow \cos{B}= -\cos{D}$
Chúng ta dễ dàng có điều phải chứng minh

Ngoài ra đối với bài toán này chúng ta co thể sử dụng phương pháp vécto, sẽ giúp ích rất nhiều cho các em học sinh lớp 10 về phép toán cộng vecto, tích vô hướng và bình phương của một véc tơ
Nếu bạn nào yêu càu bài viết tới mình sẽ trình bày cách giải này!
Thân ái!

Edited by HAIBARA AI loves ZHAOYUN, 15-09-2012 - 20:33.

[nthoangcute]

Ngoài ra đối với bài toán này chúng ta co thể sử dụng phương pháp vécto, sẽ giúp ích rất nhiều cho các em học sinh lớp 10 về phép toán cộng vecto, tích vô hướng và bình phương của một véc tơ

Cám ơn thầy về nhận xét này, từ đó em đã tìm được 2 cách mới:
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình bình hành
Cách 1: Theo định lý về đường trung tuyến trong tam giác ta có:
$AO^2=\frac{AD^2+AB^2}{2}-\frac{BD^2}{4}$
Hay $\frac{AC^2}{4}=\frac{AD^2+AB^2}{2}-\frac{BD^2}{4}$
Suy ra $AC^2+BD^2=2AD^2+2AB^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$
Cách 2: Ta thấy:
$2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$
Suy ra $AC^2=4AO^2=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})^2=AD^2+AB^2+2\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AB}=AB^2+AB^2+(AD^2+AB^2-BD^2)=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-BD^2$
Suy ra $AC^2+BD^2=2AD^2+2AB^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$

[giapvansu]

Cám ơn thầy về nhận xét này, từ đó em đã tìm được 2 cách mới:
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình bình hành
Cách 1: Theo định lý về đường trung tuyến trong tam giác ta có:
$AO^2=\frac{AD^2+AB^2}{2}-\frac{BD^2}{4}$
Hay $\frac{AC^2}{4}=\frac{AD^2+AB^2}{2}-\frac{BD^2}{4}$
Suy ra $AC^2+BD^2=2AD^2+2AB^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$
Cách 2: Ta thấy:
$2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$
Suy ra $AC^2=4AO^2=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})^2=AD^2+AB^2+2\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AB}=AB^2+AB^2+(AD^2+AB^2-BD^2)=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-BD^2$
Suy ra $AC^2+BD^2=2AD^2+2AB^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$

Hãy cứ cố gắng suy nghĩ để tìm các cách giải khác nhau cho mỗi bài toán nhé, m tin bạn sẽ học tốt. Chúc thành công!