$\frac{a^{2}-bc}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\geq 0$
Em làm thế này:
Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ số$(a^{2}-bc , b^{2}-ca , c^{2}-ab)$ và $(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}},\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}},\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})$
ta có:
$VT \geq \frac{1}{3}(a^{2}-bc + b^{2}-ca + c^{2}-ab)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})\geq 0$$\geq \frac{1}{3}(a^{2}-bc + b^{2}-ca + c^{2}-ab)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})\geq 0$ (đúng)
Nhưng mà: xét 2 bộ số ta dùng bđt, với $a\geq b\geq c$
thì:
$a^{2}-bc \geq b^{2}-ca \geq c^{2}-ab$
$\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}\leq \frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}\leq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}$
Chúng đơn điệu ngược chiều trên R. Vậy thì BĐT phải đổi chiều
$VT\leq \frac{1}{3}(a^{2}-bc + b^{2}-ca + c^{2}-ab)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})\geq 0$
như vậy ngược dấu mất rồi.
Bài 2: Chứng minh với mọi a, b, c không âm.
$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$
Hướng dẫn làm như sau:
$3a-\sqrt{a^{2}+8bc}=\frac{8(a^{2}-bc)}{3a+\sqrt{a^{2}+8bc}}=\frac{8(a^{2}-bc)(b+c)}{(3a+\sqrt{a^{2}+8bc})(b+c)}$
Suy ra:$VT\geq \frac{8}{3}((a^{2}-bc)(b+c)+(b^{2}-ac)(c+a)+(c^{2}-ba)(a+b))(\frac{1}{(3a+\sqrt{a^{2}+8bc})(b+c)}+\frac{1}{(3b+\sqrt{b^{2}+8ca})(c+a)}+\frac{1}{(3c+\sqrt{c^{2}+8ab})(a+b)})=0$
Vậy nên xét tính đơn điệu như thế nào ????
P.S:
Đấy là 2 bài BĐT trong Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng phần Kĩ thuật phân tách Chebyshev.
mong các anh chị giúp đỡ cho em thêm về phần BĐT Chebyshev này. Công thức ko khó để áp dụng như khi xét mấy bộ số này em thấy rất rắc rối.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aries34: 18-09-2012 - 02:10
