Chủ đề này có 8 trả lời

[Zaraki]

TỪ MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC
Phạm Quang Toàn

Như các bạn đã biết đến hằng đẳng thức $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \qquad \quad (1)$$
Ta cũng có thể viết lại hằng đẳng thức này như sau $$a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \qquad \quad (2)$$
Hiển nhiên dễ thấy $2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)$ nên ta sẽ đề xuất mở rộng đầu tiên:

Ví dụ 1. Cho $x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=26,x^3+y^3+z^3=90$. Tính $A=xyz$.
Lời giải. Từ giả thiết $$\begin{aligned} x+y+z=6 & \implies (x+y+z)^2=36 \\ & \implies x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=36 \\ & \implies xy+yz+zx=5 \end{aligned}$$
Áp dụng $(1)$ thì $$\begin{array}{l} \begin{aligned} x^3+y^3+z^3-3abc & = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) \\ & = 6 \cdot (26-5) \\ & = 126 \end{aligned} \\ \implies 3A=90-126 \implies A= \boxed{-12} \end{array}$$

Ví dụ 2. Cho $x,y,z$ là các số nguyên sao cho $$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=xyz$$ Chứng minh rằng $x^3+y^3+z^3$ chia hết cho $x+y+z+6$.
Lời giải. Áp dụng $(2)$ thì $$\begin{aligned} x^3+y^3+z^3 &=3xyz+ \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \\ & = 3xyz+ \frac{1}{2}(x+y+z)xyz \\ & = \frac{xyz}{2} \left( 6+x+y+z \right) \end{aligned}$$
Gỉa sử $x,y,z$ đều lẻ, khi đó $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$ chẵn, nên $xyz$ chẵn, mâu thuẫn.
Vậy $x,y,z$ phải có ít nhất một số chẵn, tức $\frac{xyz}{2} \in \mathbb{Z}$. Như vậy ta đã có đpcm.

Ví dụ 3. Tính $\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45-29\sqrt{5}}$.
Lời giải. Đặt $a=\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}, \; b= \sqrt[3]{45-29\sqrt{5}}$. Khi đó $a^3+b^3=90$ và $ab= \sqrt[3]{45^2-2 \cdot 29^2}=7$.
Ta lấy một số $c=-6$ thì $$a^3+b^3+c^3-3abc= 90-216+216=0$$ hay $$\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0$$
Hiển nhiên $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0$ nên $a+b+c=0 \implies a+b=-c= \boxed{6}$.

Ví dụ 4. Tìm các cặp số nguyên $x,y$ sao cho $$xy+ \frac{x^3+y^3}{3}=2007$$
Lời giải. Viết phương trình lại thành $$\begin{aligned} 3xy+x^3+y^3=6021 & \implies x^3+y^3-1+3xy=6020 \\ & \implies (x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)=6020=2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 43 \end{aligned}$$
Đặt $a=x+y,b=xy$ thì $$pt \iff (a-1)(a^2+a+1-3b)=2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 43$$
Đến đây thì ta xét trường hợp để tìm $a,b$ rồi tìm $x,y$.

Quay lại với hằng đẳng thức ban đầu, ta có thể rút ra hệ quả sau: $$a^3+b^3+c^3=3abc \iff \left[ \begin{array}{l} a=b=c \\ a+b+c=0 \end{array} \right.$$
Ví dụ 5. Phân tích đa thức thành nhân tử $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$.
Lời giải. Ta thấy $(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$. Do đó $$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)$$
Ta có thể nới rộng ra từ số mũ $3$ thành số mũ $5$.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng $A=(a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5$ chia hết cho $5(a-b)(b-c)(c-a)$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}$.
Lời giải. (nói ngoài lề vì cách giải này không dùng hằng đẳng thức trên)
Áp dụng Fermat nhỏ thì $$\begin{cases} (a-b)^5 \equiv a-b \pmod{5} \\ (b-c)^5 \equiv b-c \pmod{5} \\ (c-a)^5 \equiv c-a \pmod{5} \end{cases} \implies (a-b)^5+(b-c)^5+(c-a)^5 \equiv 0 \pmod{5}$$
Coi $A$ là đa thức biến $a$, lấy $a=b$ thì $A=0$, khi đó $A$ chứa nhân tử $a-b$.
Chứng minh tương tự $A$ cũng sẽ chứa nhân tử $b-c,c-a$.
Do đó $A=5(a-b)(b-c)(c-a) \cdot k$ với $k \in \mathbb{Z}$.
Mở rộng hơn nữa từ số mũ $5$ đến số mũ $p$ là số nguyên tố lẻ.
Ví dụ 7. Chứng minh rằng với $p$ là số nguyên tố lẻ thì $(a-b)^p+(b-c)^p+(c-a)^p$ chia hết cho $p(a-b)(b-c)(c-a)$.
Chứng minh tương tự ví dụ $6$.

Quay lại hệ quả, ta có các bài toán sau:
Ví dụ 8. Chứng minh rằng nếu $x+y+z=0$ thì $$2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2)$$
Lời giải. Từ gt $$\begin{aligned} x+y=z=0 & \implies x^3+y^3+z^3=3xyz \\ & \implies (x^3+y^3+z^3)(x^3+y^2+z^2)=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies x^5+y^5+z^5+x^2y^2(x+y)+y^2z^2(y+z)+z^2x^2(z+x)=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies x^5+y^5+z^5-x^2y^2z-y^2z^2x-z^2x^2y=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies x^5+y^5+z^5-xyz(xy+yz+zx)=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies x^5+y^5+z^5+xyz \cdot \frac{x^2+y^2+z^2}{2}=3xyz(x^2+y^2+z^2) \\ & \implies 2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2) \end{aligned}$$
Ví dụ 9. Cho $xy+yz+zx=0$ và $xyz \ne 0$. Tính giá trị biểu thức $$A= \frac{yz}{x^2}+ \frac{zx}{y^2}+ \frac{xy}{z^2}$$
Lời giải. Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}=0$. Do đó $\frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}+ \frac{1}{z^3}= \frac{3}{xyz}$.
Khi đó $$A= \frac{xyz}{x^3}+ \frac{xyz}{y^3}+ \frac{xyz}{z^3}= xyz \left( \frac{1}{x^3}+ \frac{1}{y^3}+ \frac{1}{z^3} \right) = \boxed{3}.$$
Ví dụ 10. Giải phương trình $$(x-3)^3+(x+1)^3=8(x-1)^3$$
Lời giải. Thấy $(x-3)+(x+1)=2x-2$. Do đó áp dụng bài toán $5$ thì $$\begin{aligned} pt & \iff [(3x+3)-(2x+6)]^3+[(2x+6)-(x+5)]^3+[(x+5)-(3x+3)]^3=0 \\ & \iff 3(x-3)(x+1)(2-2x)=0 \\ & \iff \left[ \begin{array}{l} x=3 \\ x=-1 \\ x=1 \end{array} \right. \end{aligned}$$

Hãy cùng tiếp tục mở rộng nào !!

[Zaraki]

Tiếp tục ứng dụng đẳng thức trên nhé!
Ví dụ 11. Cho $x,y,z$ nguyên thỏa mãn điều kiện $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$. Chứng minh rằng $$M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$$ chia hết cho $81$.

Ví dụ 12. Chứng minh rằng nếu $x^n+y^n+z^n=a^n+b^n+c^n$ đúng với $n=1,2,3$ thì nó đúng với mọi số tự nhiên $n$.

Ví dụ 13. Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một thỏa mãn $$(x-y) \sqrt[3]{1-x^3}+(z-x)\sqrt[3]{1-y^3}+ (x-y)\sqrt[3]{1-z^3}=0.$$
Chứng minh rằng $$(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)=(1-xyz)^3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 23-12-2012 - 09:58

[banhgaongonngon]

Ví dụ 1. Cho $x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=26,x^3+y^3+z^3=90$. Tính $A=xyz$.

Ta có $3\prod (x+y)=\left ( \sum x \right )^{3}-\sum x^{3}=126 \rightarrow \prod (x+y)=42$
Do đó $2xyz+\sum x^{2}y+\sum xy^{2}=42$
Mặt khác $\sum x^{^{2}}y+\sum xy^{2}=\sum x.\sum x^{2}-\sum x^{3}=66$.
Vậy $2\prod x=-24\Rightarrow \prod x=-12$.

[Yagami Raito]

Ta có $3\prod (x+y)=\left ( \sum x \right )^{3}-\sum x^{3}=126 \rightarrow \prod (x+y)=42$
Do đó $2xyz+\sum x^{2}y+\sum xy^{2}=42$
Mặt khác $\sum x^{^{2}}y+\sum xy^{2}=\sum x.\sum x^{2}-\sum x^{3}=66$.
Vậy $2\prod x=-24\Rightarrow \prod x=-12$.

Có cách nào khác không anh... em độc mà không hiểu!

[DarkBlood]

Ta có $3\prod (x+y)=\left ( \sum x \right )^{3}-\sum x^{3}=126 \rightarrow \prod (x+y)=42$
Do đó $2xyz+\sum x^{2}y+\sum xy^{2}=42$
Mặt khác $\sum x^{^{2}}y+\sum xy^{2}=\sum x.\sum x^{2}-\sum x^{3}=66$.
Vậy $2\prod x=-24\Rightarrow \prod x=-12$.

Có cách nào khác không anh... em độc mà không hiểu!

Mình dịch lại cho
Ta có: $3(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=126$
$\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=42$
Do đó: $2xyz+x^2y+xy^2+y^2z+zy^2+z^2x+xz^2=42$
Mặt khác $x^2y+xy^2+y^2z+zy^2+z^2x+xz^2=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(x^3+y^3+z^3)=66$
Vậy $2xyz=-24$ $\Rightarrow xyz=-12$ .
__________________
p/s: thật sự thì mình không thấy cái bài này áp dụng hằng đẳng thức mà bạn Toàn đưa ra.

[banhgaongonngon]

Có cách nào khác không anh... em độc mà không hiểu!

Tại mình lười gõ nên là dùng kí hiệu $\sum$ với cả $\prod$ cho nó nhanh

[Yagami Raito]

Tại mình lười gõ nên là dùng kí hiệu $\sum$ với cả $\prod$ cho nó nhanh

Dạ tại em chưa học mấy cái này nên không hiểu...Mong anh thứ lỗi....

[leminhansp]

Ví dụ 1. Cho $x+y+z=6,x^2+y^2+z^2=26,x^3+y^3+z^3=90$. Tính $A=xyz$.
ka ka, mở rộng bài trên tính cái này thử xem:
$Q=\frac{1}{x^{4}.y^{4}}+\frac{1}{x^{4}.z^{4}}+\frac{1}{z^{4}.y^{4}}=?$
$P=\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}}=?$

Đã tính được: $xy+yz+zx=5$ và $xyz=-12$
Đặt: $a=\dfrac{1}{x^2}\quad b=\dfrac{1}{y^2}\quad c=\dfrac{1}{z^2}$
Chú ý rằng $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$$ $$\Rightarrow P=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$$ Ta tính:

$A=a+b+c=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$ và $B=ab+bc+ac=\dfrac{1}{x^2y^2}+\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{z^2x^2}$

$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{(xyz)^2}$
Mà $(xy+yz+zx)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=169$
$\Rightarrow A=\dfrac{169}{144}\quad B=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{(xyz)^2}=\dfrac{26}{144}$
Từ đó tính được $P$

Vì: $Q=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=(ab+ac+bc)^2-2abc(a+b+c)$ nên cũng tính được $Q$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 28-12-2012 - 00:05

[DarkBlood]

Ví dụ 11. Cho $x,y,z$ nguyên thỏa mãn điều kiện $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$. Chứng minh rằng $$M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$$ chia hết cho $81$.

Ví dụ 13. Hình như đề là thế này

Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một thỏa mãn $$(y-z) \sqrt[3]{1-x^3}+(z-x)\sqrt[3]{1-y^3}+ (x-y)\sqrt[3]{1-z^3}=0.$$
Chứng minh rằng $$(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)=(1-xyz)^3$$

Tự dưng nhớ ra topic này có mấy bài chưa có ai giải 

Ví dụ 11. Dễ dàng chứng minh được $M=3(x-y)(y-z)(z-x)=3(x+y+z)$

Để chứng minh $M$ chia hết cho $81,$ ta chứng minh $x+y+z$ chia hết cho $27.$

Thật vậy, xét số dư của ba số $x, y, z$ khi chia cho $3,$ ta có:

 

Trường hợp 1: Không có ba số nào cùng số dư khi chia cho $3$

Khi đó $x-y\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ y-z\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ z-x\ \not{\vdots}\ 3$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \not{\vdots}\ 3$

Mặt khác $x+y+z\equiv 0+1+2\equiv 0\ (\bmod\ 3)$

Do đó trường hợp này không thể xảy ra.

 

Trường hợp 2: Có hai số cùng số dư khi chia cho $3$

Không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là $x$ và $y$

Khi đó $x-y\ \vdots\ 3\ ;\ y-z\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ z-x\ \not{\vdots}\ 3$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \vdots\ 3$

Mặt khác $x+y+z\ \not{\vdots}\ 3$ nên trường hợp này không xảy ra.

 

Vì vậy cả ba số có cùng số dư khi chia cho $3$

Khi đó $x-y\ \vdots\ 3\ ;\ y-z\ \vdots\ 3\ ;\ z-x\ \vdots\ 3$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \vdots\ 27$

Mà $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$ nên $x+y+z\ \vdots\ 27$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

Ví dụ 13: Bài này phân tích thành nhân tử hơi ảo 

Từ giả thiết suy ra

$$(y-z)^3(1-x^3)+(z-x)^3(1-y^3)+(x-y)^3(1-x^3)=3(x-y)(y-z)(z-x)\sqrt[3]{(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)}$$

$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)}=\dfrac{(y-z)^3(1-x^3)+(z-x)^3(1-y^3)+(x-y)^3(1-x^3)}{3(x-y)(y-z)(z-x)}$$

Mặt khác $(y-z)^3(1-x^3)+(z-x)^3(1-y^3)+(x-y)^3(1-x^3)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1-xyz)$ $($Đoạn phân tích này chắc dựa vào đề bài nói cũng được $)$

Do đó $$\sqrt[3]{(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)}=1-xyz$$

Hay $$(1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)=(1-xyz)^3$$