Chủ đề này có 339 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

Tìm min của $5x^2+5y^2+7z^2$ biết $xy+yz+xz=3$ và $x,y,z>0$

Không thấy ai giải nhỉ  :

$\frac{-7+\sqrt{329}}{4}(x^2+y^2)\geq \frac{-7+\sqrt{329}}{2}xy$

$\frac{27-\sqrt{329}}{4}x^2+\frac{7}{2}z^2\geq \frac{-7+\sqrt{329}}{2}xz$

$\frac{27-\sqrt{329}}{4}y^2+\frac{7}{2}z^2\geq \frac{-7+\sqrt{329}}{2}yz$

Cộng 3 BĐT trên lại => $min=\frac{-21+3\sqrt{329}}{2}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc+a+c=b$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$

[hoanglong2k]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc+a+c=b$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+b^2}+\frac{3}{1+c^2}$

 $abc+a+c=b\Rightarrow b=\frac{1-ac}{a+c}$

 Thay vào $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+\left ( \frac{1-ac}{a+c} \right )^2}+\frac{3}{1+c^2}$

                 $=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2(1-ac)^2}{(a^2+1)(c^2+1)}+\frac{3}{(1+c^2)}$

                 $=\frac{2a^2-2a^2c^2+3+3a^2+4ac}{(a^2+1)(c^2+1)}$

  Ta chứng minh $P\leq \frac{10}{3}\Leftrightarrow (2c-a)^2+(4ac-1)^2\geq 0$ đúng

 Vậy $P_{max}=\frac{10}{3}$

[Hoang Nhat Tuan]

 $abc+a+c=b\Rightarrow b=\frac{1-ac}{a+c}$

 Thay vào $P=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2}{1+\left ( \frac{1-ac}{a+c} \right )^2}+\frac{3}{1+c^2}$

                 $=\frac{2}{1+a^2}-\frac{2(1-ac)^2}{(a^2+1)(c^2+1)}+\frac{3}{(1+c^2)}$

                 $=\frac{2a^2-2a^2c^2+3+3a^2+4ac}{(a^2+1)(c^2+1)}$

  Ta chứng minh $P\leq \frac{10}{3}\Leftrightarrow (2c-a)^2+(4ac-1)^2\geq 0$ đúng

 Vậy $P_{max}=\frac{10}{3}$

Tớ rút c  :

$c=\frac{b-a}{1+ab}$

Thay vào ta có: $P=\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3(1+ab)^2}{(1+ab)^2+(b-a)^2}=\frac{(b-a)(5a-b)}{(a^2+1)(b^2+1)}+3$

Áp dụng AM-GM có: $\frac{(3b-3a)(5a-b)}{3(a^2+1)(b^2+1)}\leq \frac{(a+b)^2}{3(a^2+1)(b^2+1)}\leq \frac{1}{3}$

=> Max 

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c,m>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=m(a^2+b^2)+c^2$ theo $m$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 15-06-2015 - 10:24

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c,m,n>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=ma^2+nb^2+c^2$ theo tham số $m,n$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c,m>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=m(a^2+b^2)+c^2$ theo $m$

Perfect =))

$1)\frac{-1+\sqrt{8m+1}}{4}(a^{2}+b^{2})\geq \frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}ab $

$2)\frac{4m+1-\sqrt{8m+1}}{4}a^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq \frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}ac$ 

$3) \frac{4m+1-\sqrt{8m+1}}{4}b^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq \frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}bc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 15-06-2015 - 11:02

[Hoang Nhat Tuan]

Perfect =))

$1)\frac{-1+\sqrt{8m+1}}{4}(a^{2}+b^{2})\geq \frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}ab $

$2)\frac{4m+1-\sqrt{8m+1}}{4}a^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq \frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}ac$ 

$3) \frac{4m+1-\sqrt{8m+1}}{4}b^{2}+\frac{c^{2}}{2}\geq \frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}bc$

Làm bài trên đi, cộng thêm bài này nữa 

Cho $a,b,c\geq 0$ và $a^2+2b^2+3c^2=1$

Tìm min của $S=2a^3+3b^3+4c^3$

[Hoang Long Le]

Làm bài trên đi, cộng thêm bài này nữa 

Cho $a,b,c\geq 0$ và $a^2+2b^2+3c^2=1$

Tìm min của $S=2a^3+3b^3+4c^3$

   Toàn cân bằng hệ số cả, cũng không nặng lắm

   Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có :

  $\frac{4884S^2}{407\sqrt{407}}=S^2\left ( \frac{432}{407\sqrt{407}} +\frac{1536}{407\sqrt{407}}+\frac{2916}{407\sqrt{407}}\right )$

  $\geq \left ( \frac{12a^2}{\sqrt{407}}+\frac{24b^2}{\sqrt{407}}+\frac{36c^2}{\sqrt{407}} \right )^3$

  $=\frac{1728}{407\sqrt{407}}.(a^2+2b^2+3c^2)^3\Rightarrow S\geq \sqrt{\frac{1728}{4884}}$

  Dấu "=" xảy ra khi $a=\frac{6}{\sqrt{407}};b=\frac{8}{\sqrt{407}};c=\frac{9}{\sqrt{407}}$

[tienanh2001]

Cho a, b, c> 0; $a + 2b + 3c \geq  20. CMR: a+b+c+ \frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c} \geq 13$

[rainbow99]

Cho a, b, c> 0; $a + 2b + 3c \geq  20. CMR: a+b+c+ \frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c} \geq 13$

http://diendantoanho...afrac92bfrac4c/

[an1907]

Cho $x, y, z > 0$ và $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$. Tìm GTNN của :

$P = \frac{x}{y^{2} + z^{2}} + \frac{y}{z^{2} + x^{2}} + \frac{z}{x^{2} + y^{2}}$

[locnguyen2207]

Chứng minh vs mọi x, y, z dương ta có:

$(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2 + \frac{2(x + y + z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

[locnguyen2207]

Vs mọi x, y, z dương, CM:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \sqrt{2}(xy + xz)$

[Quoc Tuan Qbdh]

Vs mọi x, y, z dương, CM:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \sqrt{2}(xy + xz)$

Bất đẳng thức tương đương với:
$(\frac{x}{\sqrt{2}}-y)^{2}+(\frac{x}{\sqrt{2}}-z)^{2} \geq 0$ ( hiển nhiên đúng )

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{x}{\sqrt{2}}=y=z$

[anhxtanh1879]

Chứng minh vs mọi x, y, z dương ta có:

$(1 + \frac{x}{y})(1 + \frac{y}{z})(1 + \frac{z}{x}) \geq 2 + \frac{2(x + y + z)}{\sqrt[3]{xyz}}$

bạn tham khảo tại đây

http://diendantoanho...-y-1-1-x1-y1-z/

[Cuongpa]

Tìm GTNN của biểu thức sau khi $0<x<1$:

            $A=x(1-x^{2})$

[mam1101]

Vs mọi x, y, z dương, CM:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \sqrt{2}(xy + xz)$

Áp dụng AM-GM ta có 

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x^{2} + \frac{(y+z)^{2}}{2}$

$\geq \sqrt{2}x(y+z) = \sqrt{2}(xy + xz)$. Ta có Q.E.D

[Element hero Neos]

Tìm GTNN của biểu thức sau khi $0<x<1$:

            $A=x(1-x^{2})$

MinA=0 khi x=0 hoặc 1

[Cuongpa]

MinA=0 khi x=0 hoặc 1

Bạn chú ý điều kiện là $0<x<1$ nên bạn giải sai rồi.