Đến nội dung


Chú ý

Nút $f_x$ để gõ $\LaTeX$ hoạt động không được ổn định trong thời gian này. Tạm thời các bạn có thể vào trang này để gõ rồi copy vào bài viết. Mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi chọn HSG tỉnh lớp 12 Hà Tĩnh 2012-2013.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 huou202

huou202

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Phan Bội Châu Nghệ An

Đã gửi 06-12-2012 - 20:55

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút


Bài 1.
a) Giải phương trình: $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$.
b) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^3+xy^2+2y^3=0\\ \sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4y^2+3y\end{cases}$$.
Bài 2.
a)Cho hàm số $y = \frac{2x}{x+2}$ có đồ thị $©$. Tìm hai điểm $A, B$ trên $©$ sao cho các tiếp tuyến của $©$ tại $A$ và $B$ song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm tất cả các giá trị tham số m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt:
$$x+\sqrt{4-x^2}= m +x. \sqrt{4-x^2}$$.
Bài 3.
Xác định các góc của tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:
$$ cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A-C}{2}=\frac{3}{2}+sin\frac{3A}{2}$$.
Bài 4.
Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt phẳng (SBC)và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh $AB=AC=SA=SB=a$. Tìm độ dài cạnh $SC$ sao cho khối $S.ABC$ có thể tích $V = \frac{a^3}{8}$.
Bài 5.
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ P = \sqrt{\frac{a}{8a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^2+1}}+ \sqrt{\frac{c}{8c^2+1}}$$.

#2 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 06-12-2012 - 21:11

Bài 1.
a) Giải phương trình: $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$.

$PT<=>3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}=2(x-3)<=>\frac{8x-24}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}-2(x-3)=0<=>(x-3)(\frac{8}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}-2)=0$
1)$x-3=0<=>x=3$
2)$\frac{8}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}-2=0<=>3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=4<=>6\sqrt{(x-2)(x+6)}=28-11x<=>36(x^2+4x-12)=(28-11x)^2<=>...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 06-12-2012 - 21:15

Link

 


#3 kimthoa

kimthoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-12-2012 - 22:25

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút


Bài 1.
b) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^3+xy^2+2y^3=0\\ \sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4y^2+3y\end{cases}$$.

pt(1) <=>$(x+y)(x^{2}-xy+2)=0$<=>x=-y (vi $(x^{2}-xy+2)>0$ )
thay y=-x vao pt(2)
dat $\sqrt[3]{x}=u;\sqrt[3]{x^{2}-1}=v$
pt(2)<=>$u^{2}v=4v^{3}-3u^{3}$
dua ve pt tich, den day cac ban tu lam nhe

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimthoa: 06-12-2012 - 22:27


#4 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 06-12-2012 - 22:26

Bài 5.
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ P = \sqrt{\frac{a}{8a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^2+1}}+ \sqrt{\frac{c}{8c^2+1}}$$.

$P^2\leq 3(\frac{a}{8a^2+1}+\frac{b}{8b^2+1}+\frac{c}{8c^2+1})$
Theo AM-GM thì $8a^2+1\geq 9\sqrt[9]{a^{16}}=>\frac{a}{8a^2+1}\leq \frac{a}{9\sqrt[9]{a^{16}}}=\frac{1}{9\sqrt[9]{a^7}}$
Tiếp tục áp dụng AM-GM thì $\frac{1}{9}(\frac{1}{\sqrt[9]{a^7}}.1.1)\leq \frac{1}{9}[(\frac{7}{a}+2):9]=\frac{1}{81}(\frac{7}{a}+2)$
Xây dựng các BDT tương tự suy ra
$\frac{a}{8a^2+1}+\frac{b}{8b^2+}+\frac{c}{8c^2+1}\leq \frac{7}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{6}{81}(1)$
$=\frac{7}{81}\frac{ab+bc+ca}{abc}+\frac{6}{81}\leq \frac{7}{81}\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{6}{81}=\frac{1}{3}$
$=>P^2\leq 3.\frac{1}{3}=1=>P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 06-12-2012 - 22:31

Link

 


#5 kimthoa

kimthoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-12-2012 - 22:49

Bài 3.
Xác định các góc của tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:
$$ cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A-C}{2}=\frac{3}{2}+sin\frac{3A}{2}$$.

<=> cos$\frac{2A-B-C}{4}$$cos\frac{B-C}{4} -sin\frac{3A}{2}=\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2.cos\frac{3A-\pi }{4}.cos\frac{B-C}{4}-sin\frac{3A}{2}$=$\frac{3}{2}$
Ta có :
VT$\leq 2.cos\frac{3A-\pi }{4}-sin\frac{3A}{2}$
đặt $\frac{3A-\pi }{4}=t\Rightarrow \frac{3A}{2}= 2.t+\frac{\pi }{2}$
t $\epsilon \left ( 0 ;\right\frac{\pi }{2} )$
=>VT$\leq 2cost-sin(2t+\frac{\pi }{2})= 2cost-cos2t=-2cos^{2}t+cost+1$
đến đây lập bảng bt ...........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimthoa: 06-12-2012 - 23:33


#6 caovannct

caovannct

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 484 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Nguyễn Chí Thanh, Pleiku, Gia Lai

Đã gửi 08-12-2012 - 13:46

$P^2\leq 3(\frac{a}{8a^2+1}+\frac{b}{8b^2+1}+\frac{c}{8c^2+1})$
Theo AM-GM thì $8a^2+1\geq 9\sqrt[9]{a^{16}}=>\frac{a}{8a^2+1}\leq \frac{a}{9\sqrt[9]{a^{16}}}=\frac{1}{9\sqrt[9]{a^7}}$
Tiếp tục áp dụng AM-GM thì $\frac{1}{9}(\frac{1}{\sqrt[9]{a^7}}.1.1)\leq \frac{1}{9}[(\frac{7}{a}+2):9]=\frac{1}{81}(\frac{7}{a}+2)$
Xây dựng các BDT tương tự suy ra
$\frac{a}{8a^2+1}+\frac{b}{8b^2+}+\frac{c}{8c^2+1}\leq \frac{7}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{6}{81}(1)$
$=\frac{7}{81}\frac{ab+bc+ca}{abc}+\frac{6}{81}\leq \frac{7}{81}\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{6}{81}=\frac{1}{3}$
$=>P^2\leq 3.\frac{1}{3}=1=>P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài này ta cũng có thể giải như sau:"
Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
Lại theo CBS ta có $P^2\leq $\frac{3}{81}$(\frac{1}{7a^2+2}+\frac{1}{7b^2+2}+\frac{1}{7c^2+2})\leq 3(\frac{7}{a^2}+\frac{7}{b^2}+\frac{7}{c^2}+6)$.
Bây giờ ta đi chứng minh $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\leq 1$.
Thật vậy:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2c^2}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{(\frac{a^2+b^2+c^2}{3})^2}\leq 1$.
Vậy $P^2\leq 1$ hay GTLN của P là 1 đạt được khi a=b=c=1

#7 kimthoa

kimthoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 08-12-2012 - 17:15

Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
nhờ bạn nói rõ mình chỗ này cái

#8 caovannct

caovannct

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 484 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Nguyễn Chí Thanh, Pleiku, Gia Lai

Đã gửi 08-12-2012 - 19:26

Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
nhờ bạn nói rõ mình chỗ này cái

Theo AM - GM thì

Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
nhờ bạn nói rõ mình chỗ này cái

Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
nhờ bạn nói rõ mình chỗ này cái

Chõ này mình nhẩm nhầm: Theo AM -GM thì $\frac{a}{8a^2+1}\leq \frac{1}{7a+2}\leq \frac{7}{a}+2$.
Đến đay đánh giá tương tự như trên ta có được lời giải.
Ok??? thanks

#9 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 715 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 10-12-2012 - 11:41

Bài 2:
a) Ta có $y=2-\frac{4}{x+2}\Rightarrow y'=\frac{4}{(x+2)^2}$.
Gọi $A(x_1;2-\frac{4}{x_1+2})$ thuộc $C$. Khi đó, $B(-x_1-4;2+\frac{4}{x_1+2})$.
Ta có, $AB^2=4(x_1+2)^2+\frac{64}{(x_1+2)^2}\ge 32$. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x_1=2$ hoặc $x_1=-6$.
Mặt khác, ta có $h$ là khoảng cách giữa hai tiếp tuyến. Khi đó, $h^2\le AB^2$.
Do vậy, khoảng cách lớn nhất giữa hai tiêp tuyến là $h=4\sqrt2$. Khi đó, hai điểm $A$ và $B$ là $A(2;1);B(-6;3)$

#10 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 715 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 10-12-2012 - 13:13

Bài 2:
b) Đặt $u=x;v=\sqrt{4-x^2}$. Điều kiện $-2\le u\le2;0\le v\le 2$.
Khi đó, ta được hệ $\begin{cases}u+v=m+uv\\ u^2+v^2=4 \end{cases}$
Suy ra, ta được phương trình $(u+v)^2-2[(u+v)-m]-4=0\Leftrightarrow (u+v)^2-2(u+v)+2m-4=0$
Ta có $\Delta'=5-2m$.
Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi $m\le \frac{5}{2}$. Khi đó, $u+v=1\pm\sqrt{5-2m};uv=1-m\pm\sqrt{5-2m}$.
Trong đó, $u,v$ là nghiệm của phương trình $t^2-(1\pm \sqrt{5-2m})t+(1-m\pm\sqrt{5-2m})=0$
Sau đó xét các TH xảy ra.

#11 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 287 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 10-12-2012 - 23:30

Bài 1: (cách khác)
a) $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$
ĐK: $x\geq 2$
-Đặt $\sqrt{x-2}=a$ => $x=a^{2}+2$
$\sqrt{x+6}=b$
-PT đã cho tương đương:
$3(2+a)$=$2(a^{2}+2)+b$
<=> $2a^{2}+b-3a=2$ (1)
-Lại có: $b^{2}-a^{2}=8$ (2)
-Từ (1) và (2)
=> $\left\{\begin{matrix}
2a^{2}+b-3a=2 & \\
b^{2}-a^{2}=8&
\end{matrix}\right.$
<=> $8a^{2}+4b-12=b^{2}-a^{2}$
<=> $(b-3a)(b+3a-4)=0$
................

KL: pt đã cho có 2 nghiệm: x=3 và $x= \frac{11-3\sqrt{5}}{2}$

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#12 tuanprovu

tuanprovu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 19-06-2013 - 13:50

Theo AM - GM thì Chõ này mình nhẩm nhầm: Theo AM -GM thì $\frac{a}{8a^2+1}\leq \frac{1}{7a+2}\leq \frac{7}{a}+2$.
Đến đay đánh giá tương tự như trên ta có được lời giải.
Ok??? thanks

thiếu 1/9 rùi bạn à



#13 tuanprovu

tuanprovu

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Đã gửi 19-06-2013 - 13:52

<= 1/81(7/a+2)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh