2 replies to this topic

[naruto117]

Cho hình chóp S.ABCD , có SA= 2a và vuông góc đáy , đáy là hình vuông . M là trung điểm đoạn CD. Hãy tính d(BM,SC)

[MIM]

Kẻ $MN//SC(N\in SD).$

 

Khi đó $SC//(MNB)\Rightarrow d(BM,SC)=d(SC/(MNB))=d(C,(MNB))$

(Do đề không nhắc tới độ dài của hình vuông đáy nên mình nghĩ là bạn chép thiếu đề, ở đây mình lấy cạnh hình vuông độ dài là $a$)

Ta có $BM=\sqrt{MC^2+BC^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

$SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{SA^2+AD^2+DC^2}$

$=\sqrt{4a^2+2a^2}=a\sqrt{6}$

Mà $MN=\frac{SC}{2}\Rightarrow MN=\frac{A\sqrt{6}}{2}$

Trong tam giác $SBD:$

 

$SB=SD=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt{5},BD=a\sqrt{2}$

Kẻ $BH\perp SD(H\in SD)$

$cos(\widehat{SDB})=\frac{SD^2+BD^2-SB^2}{2SD.BD}$

$=\frac{5a^2+2a^2-5a^2}{2.a\sqrt{5}.a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$

Trong tam giác $DNB:$

$cos(\widehat{SDB})=cos(\widehat{NDB})=\frac{\frac{5a^2}{4}+2a^2-NB^2}{2.\frac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow NB=\frac{3a}{2}$

 

Xét tam giác $NBM$ có $MN=\frac{a\sqrt{6}}{2},MB=\frac{a\sqrt{5}}{2},NB=\frac{3a}{2}$

Kẻ $MK\perp NB$

 

$cos(\widehat{BNM})=\frac{NB^2+NM^2-MB^2}{2NM.NB}=\frac{5}{3\sqrt{6}}$

$cos(\widehat{KNM})=cos(\widehat{BNM})=\frac{NK}{MN}=\frac{5}{3\sqrt{6}}$

$\Rightarrow NK=\frac{5a}{6}$

$MK=\sqrt{MN^2-NK^2}=\frac{a\sqrt{29}}{6}$

$S_{\bigtriangleup NMB}=\frac{MK.NB}{2}=\frac{a^2\sqrt{29}}{8}$

$S_{\bigtriangleup MBC}=\frac{a^2}{4}$

$\Rightarrow V_{N.MBC}=\frac{1}{3}.\frac{SA}{2}.S_{\bigtriangleup MBC}$

$=\frac{a^3}{12}$

Mặc khác: $V_{C.NMB}=\frac{1}{3}.d(C,(MNB)).S_{\bigtriangleup MNB}$

 

 

$\Rightarrow d(C,(MNB))=\frac{2a}{\sqrt{29}}$

Vậy $\boxed{d(BM,SC)=\frac{2a}{\sqrt{29}}}$

[Nhox169]

mấy phần tính khoảng cách này bạn nên học p2 tọa độ hóa thì sẽ thấy nó đơn giản hơn nhiều. bài này dùng tọa độ hóa thì chưa bằng 1/3 bài giải của bạn MIM.

(như bạn MIM nói thì lấy độ dài cạnh đáy là a)

 

chọn gốc tọa độ O tại A. $Ox\equiv AB;Oy\equiv AD; Oz\equiv SA$

Khi đó:

A(0;0;0)

B(a;0;0)

C(a;a;0)

D(0;a;0)

S(0;0;2a)

M$(\frac{a}{2};a;0)$

 

Ta có: $\overrightarrow{u_{BM}}=(-\frac{a}{2};a;0);\overrightarrow{u_{SC}}=(-a;-a;2a)$

$[\overrightarrow{u_{BM}},\overrightarrow{u_{SC}}] =(2;1;\frac{3}{2})$

$\Rightarrow d(BM,SC)=\frac{|[\overrightarrow{u_{BM}},\overrightarrow{u_{SC}}]BS|}{|\overrightarrow{u_{BM}},\overrightarrow{u_{SC}}|}=\frac{|-a|}{\sqrt{4+1+\frac{9}{4}}}=\frac{a2\sqrt{29}}{29}$

Edited by Nhox169, 21-04-2013 - 21:46.