Chủ đề này có 2 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Hãy tính $\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{2^k}}}{{\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{k - i}}{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^i}} }}} $.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 17-04-2013 - 11:48

[chanhquocnghiem]

Bài toán: Hãy tính $\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{2^k}}}{{\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{k - i}}{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^i}} }}} $.

Đặt $S=\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i$.

Ta thấy $S$ là tổng của $k+1$ số hạng đầu của 1 cấp số nhân có $u_1=\left ( 1+\sqrt{5} \right )^k$ và $q=\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

$\Rightarrow S=\frac{u_1(q^{k+1}-1)}{q-1}=...=\frac{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}{2\sqrt{5}}$

$\Rightarrow \frac{2^k}{\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i}=\frac{2^{k+1}.\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}=\frac{\sqrt{5}}{\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}}=\frac{1}{F_{k+1}}$

trong đó $F_{k+1}$ là số hạng thứ $k+1$ trong dãy Fibonacci.

Vậy tổng cần tính bằng $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{F_{k+1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{F_k}\approx 3,359885...$

 

(Tham khảo tại :

  https://vi.wikipedia...i/Dãy_Fibonacci)

[LangTu Mua Bui]

Đặt $S=\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i$.

Ta thấy $S$ là tổng của $k+1$ số hạng đầu của 1 cấp số nhân có $u_1=\left ( 1+\sqrt{5} \right )^k$ và $q=\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

$\Rightarrow S=\frac{u_1(q^{k+1}-1)}{q-1}=...=\frac{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}{2\sqrt{5}}$

$\Rightarrow \frac{2^k}{\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i}=\frac{2^{k+1}.\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}=\frac{\sqrt{5}}{\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}}=\frac{1}{F_{k+1}}$

trong đó $F_{k+1}$ là số hạng thứ $k+1$ trong dãy Fibonacci.

Vậy tổng cần tính bằng $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{F_{k+1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{F_k}\approx 3,359885...$

Cái đoạn chứng minh nghịch đạo dãy đó trên mạng sao k thấy bạn ạ,Bạn có thể chứng minh hãy chỉ rõ hơn không 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LangTu Mua Bui: 22-11-2015 - 19:46