Tìm $lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})$
#1
Đã gửi 07-05-2013 - 14:00
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 12-05-2013 - 17:09
Tìm $lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})$
Đặt $x_n=\frac{n^n}{n!}$
Ta có: $$\frac{x_n}{x_{n-1}}=\left(\frac{n}{n-1} \right )^{n-1}=(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}\to e$$
Ta có bổ đề sau: $\lim \frac{a^n}{n!}=0$
Thật vậy chọn $m\in \mathbb{N^*}$ sao cho $m+1>|a|$ ta có
$$0\le |\frac{a^n}{n!}|=\frac{|a|}{1}.\frac{|a|}{2}....\frac{|a|}{m}.\frac{a|}{m+1}...\frac{|a|}{n}\le \frac{|a|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}\le \frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$$
Đặt $u_n=\frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$ dễ thấy $u_n\to 0$ nên $\lim \frac{a^n}{n!}=0$
Áp dụng kết quả này ta có $\lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})=\lim \sqrt[n]{x_n}=e.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-05-2013 - 17:44
- hxthanh, namcpnh, Mrnhan và 2 người khác yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#4
Đã gửi 18-02-2014 - 15:47
Tham khảo thêm cách dùng tổng tích phân Riemann:
$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$$
$$\to \ln L=-\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln\frac{i}{n}=-\int_{0}^{1}\ln xdx=1$$
$$\to \fbox{{$ L=e$}}$$
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#5
Đã gửi 29-11-2015 - 00:22
Đặt $x_n=\frac{n^n}{n!}$
Ta có: $$\frac{x_n}{x_{n-1}}=\left(\frac{n}{n-1} \right )^{n-1}=(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}\to e$$
Ta có bổ đề sau: $\lim \frac{a^n}{n!}=0$
Thật vậy chọn $m\in \mathbb{N^*}$ sao cho $m+1>|a|$ ta có
$$0\le |\frac{a^n}{n!}|=\frac{|a|}{1}.\frac{|a|}{2}....\frac{|a|}{m}.\frac{a|}{m+1}...\frac{|a|}{n}\le \frac{|a|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}\le \frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$$
Đặt $u_n=\frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$ dễ thấy $u_n\to 0$ nên $\lim \frac{a^n}{n!}=0$
Áp dụng kết quả này ta có $\lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})=\lim \sqrt[n]{x_n}=e.$
Hay thiệt, nhưng thắc mắc một chỗ. mình dựa vào đâu để đánh giá điều này vậy mọi người.
$\frac{a}{{m + 1}}...\frac{a}{n} \le {\left( {\frac{a}{{m + 1}}} \right)^{n - m}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuucan: 29-11-2015 - 00:24
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: gh
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
$\left\{\begin{matrix} 1<U_{1}<2\\ U_{n+1}=1+U_{n}-\frac{1}{2}U_{n}^{2} \end{matrix}\right.$Bắt đầu bởi hoangkimca2k2, 12-03-2018 gh |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
$\dpi{150} \lim_{n \to \infty }\frac{1}{C_{2012+n}^{n}}$Bắt đầu bởi 19kvh97, 21-08-2014 gh, ds |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
giới hạn của $u_n$ nếu cóBắt đầu bởi 19kvh97, 16-08-2014 ds, gh, pt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$\sum_{i=1}^{2005}a_i<1,03$Bắt đầu bởi 19kvh97, 19-03-2014 ds, gh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$\lim a_n=\frac{a}{1-a}$Bắt đầu bởi 19kvh97, 17-03-2014 ds, gh |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh