Bài 1: Tìm hệ số $x^7$ trong khai triển nhị thức Newton của $\left(x^2-\frac{2}{x} \right )^n$, biết rằng $n$ là số nguyên dương $4C_{n+1}^3+2C_n^2=A_n^3.$
Thử sức trước kì thi THTT đề số 8
Phân tích hướng giải:
Dạng bài tìm hệ số của $x^{k}$ trong khai triển của 1 đa thức là dạng toán quen thuộc và thường gặp nên ta cần phải nắm vững công thức về khai triển nhị thức Newton.
Bước 1: Làm gì thì làm nhưng ta phải xác định điều kiện xác định cho các tổ hợp,chỉnh hợp trước đã,bước này trong thi ĐH có tính là $0,25$ điểm.
Sau đó ta cần phải xác định giá trị $n$ bằng giả thuyết phương trình $4C_{n+1}^3+2C_n^2=A_n^3.$.Đối với dạng PT có chứa tổ hợp và chỉnh hợp thế này thì sử dụng biến đổi Đại số bằng định nghĩa $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ và $A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}$ là cách làm hữu hiệu nhất.
Tất nhiên ta phải rút gọn lại các hàm giai thừa cho quá trình giải được dễ hơn và cần lưu ý là khi giải PT phải xét đến điều kiện xác định của $n$.
Bước 2: Sau khi tìm ra $n$,việc còn lại của ta là phải sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để tìm hệ số mà đề yêu cầu. Nhưng cần để ý rằng ta có thể viết $\frac{2}{x}$ dưới dạng $2x^{-1}$,khi này ta chỉ việc khai triển Newton bình thường mà thôi.
Lời giải mẫu:
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}n + 1 \ge 3\\n \ge 2\\n \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow n \ge 3$.
Ta có:
\[\begin{array}{rcl}4C_{n + 1}^3 + 2C_n^2 = A_n^3 &\Leftrightarrow& \frac{{4\left( {n + 1} \right)!}}{{3!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{2n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}}\\&\Leftrightarrow& \frac{{2\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{3} + n\left( {n - 1} \right) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\\&\Leftrightarrow& \left( {n - 1} \right)\left[ {\frac{{2\left( {n + 1} \right)}}{3} + 1 - \left( {n - 2} \right)} \right] = 0\\&\Leftrightarrow& \left[ \begin{array}{l}n = 1\\\frac{{2n + 2}}{3} = n - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 11\end{array}\right.\end{array}\]
Trường hợp $n=1$ loại.
Như vậy $n=11$.Với $n=11$ thì xét khai triển nhị thức Newton của:
\[\begin{array}{rcl}{\left( {{x^2} - \frac{2}{x}} \right)^{11}} &=& {\left( {{x^2} - 2{x^{ - 1}}} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11}C_{11}^{k} {{x^{2k}}{{\left( { - 2{x^{ - 1}}} \right)}^{11 - k}}} \\&=& \sum\limits_{k = 0}^{11}C_{11}^{k} {{{\left( { - 2} \right)}^{11 - k}}{x^{2k}}{x^{k - 11}}} = \sum\limits_{k = 0}^{11}C_{11}^{k} {{{\left( { - 2} \right)}^{11 - k}}{x^{3k - 11}}} \end{array}\]
Ta cần tìm hệ số của $x^7$,tương ứng với $3k-11=7 \iff k=6$.Từ đó ta có hệ số cần tìm là $C_{11}^{6}{\left( { - 2} \right)^{11 - 6}} =\boxed{-14784} $.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 05-06-2013 - 09:46