Chủ đề này có 12 trả lời

[FillTheHoleInWall]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                       KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

       QUẢNG TRỊ                                                               Ngày 18 / 6 / 2013

                                                                                      MÔN : TOÁN CHUYÊN

                                                                                         TG : 150 phút

     Câu I ( 2.5 điểm )

      1. CHo biểu thức $P=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+2}-1$

      a ) Rút Gọn 

      b) Tìm a nguyên để biểu thức P nguyên

    2. Hãy tính $A=2x^3+2x^2+1$ với $x= \frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}-1)$

  Câu II  (1.5 điểm)

   Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác 0 thoã mãn $a+b+2c=0$

  CMR pt $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt và có ít nhất 1 nghiệm dương

  Câu III (1.5 điểm )

  Giải phương trình $x^2-7x+2+2\sqrt{3x+1}=0$

  Câu IV (1.5 điểm)

   Tìm nghiệm nguyên pt

                         $x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0$

   Câu V 

   1. Cho $(O;R)$ với dây cung $BC$ cố định  $(BC<2R)$ và điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn . Gọi $H$ là trực tâm với $A',B',C'$ là các chân đường cao tương ứng 

    a) CM  $OA$ vuông góc $B'C'$

    b) CM $BA.BH = 2R.BA'$ . Từ đó suy ra tổng $BA . BH + CA . CH $ không đổi

  2. Cho tam giác $ABC$ nhọn $\widehat{A}=30^{\circ}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ và $M,N$ lần lượt là các điểm trên 2 cạnh $AB.AC$ . Tìm vị trí $M,N$ để tam giác $HMN$ có chu vi nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FillTheHoleInWall: 18-06-2013 - 17:01

[Zaraki]

Câu IV: Phương trình tương đương $$(x-y-3)(x+3y+1)=-7.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 18-06-2013 - 17:12

[Supermath98]

Câu IV Cách khác
Ta có pt tương đương với $\large x^{2}-2x\left ( 1-y \right )-3y^{2}-10y+4=0$
Ta có $\large \Delta '=4y^{2}+8y-3$
Để pt có nghiệm nguyên thì $\large \Delta '$ là số chính phương
Đặt $\large \Delta '=a^{2}$ hay $\large 4y^{2}+8y-3=a^{2}\Leftrightarrow \left ( a-2y+2 \right )\left ( a+2y+2 \right )=1$
Countrined..


Câu 2:
Ta có $\large a+b+2c=0\Rightarrow b=-a-2c\Rightarrow b^{2}=a^{2}+4c^{2}+4ac\Rightarrow b^{2}-4ac=a^{2}+4c^{2}> 0$ ( vì $\large a;c\neq 0$\)
Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

[conan98md]

 

   Câu V 

   1. Cho $(O;R)$ với dây cung $BC$ cố định  $(BC<2R)$ và điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn . Gọi $H$ là trực tâm với $A',B',C'$ là các chân đường cao tương ứng 

    a) CM  $OA$ vuông góc $B'C'$

    b) CM $BA.BH = 2R.BA'$ . Từ đó suy ra tổng $BA . BH + CA . CH $ không đổi

 

b, Kẻ đường kính AE $\Rightarrow$ BHCE là hình bình hành  

 

$\Rightarrow$ BH = EC

 

Δ ABA' đồng dạng Δ AEC (gg)

 

$\Rightarrow$ 2R.BA' = AB.BA'

 

CM tương tự : 2R.A'C = CA.CH

 

$\Rightarrow$ AB.BA'+CA.CH=2R.BC không đổi

[DarkBlood]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                       KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

       QUẢNG TRỊ                                                               Ngày 18 / 6 / 2013

                                                                                      MÔN : TOÁN CHUYÊN

                                                                                         TG : 150 phút

     Câu I ( 2.5 điểm )

      1. CHo biểu thức $P=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+2}-1$

      a ) Rút Gọn 

      b) Tìm a nguyên để biểu thức P nguyên

    2. Hãy tính $A=2x^3+2x^2+1$ với $x= \frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}-1)$

  Câu II  (1.5 điểm)

   Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác 0 thoã mãn $a+b+2c=0$

  CMR pt $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt và có ít nhất 1 nghiệm dương

Câu 1: $a) ĐK: $a\geq 0\ ;\ a\neq 1$ 

$P=\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}$

$b)$ Ta có: $P=1+\dfrac{2}{\sqrt{a}-1}$

Để $P$ nguyên thì $\sqrt{a}-1\in \left \{ \pm\ 1\ ;\ \pm\ 2 \right \}$

.....

 

Câu 2: Ta có: $\Delta=b^2-4ac=(a+2c)^2-4ac=a^2+4c^2>0$ $(a\neq 0)$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Gọi $x_1,\ x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình, dễ thấy $x_1,\ x_2 \neq 0$

Theo định lý Vi-ét, ta có:

$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$

$x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{2c}{a}+1=2x_1x_2+1$

Giả sử hai nghiệm $x_1,\ x_2<0,$ khi đó $x_1+x_2<0$ và $x_1x_2>0$

Suy ra $x_1+x_2<2x_1x_2+1$ $(\text{Vô lý})$

Vậy tồn tại một trong hai nghiệm $x_1,\ x_2$ dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 18-06-2013 - 17:47

[ngocduy286]

Câu III.
Phương trình tương đương với:
$ (x-2)^2 = ( \sqrt{3x+1}-1)^2$
giải 2TH là xong

2. Cho tam giác $ABC$ nhọn $\widehat{A}=30^{\circ}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ và $M,N$ lần lượt là các điểm trên 2 cạnh $AB.AC$ . Tìm vị trí $M,N$ để tam giác $HMN$ có chu vi nhỏ nhất

Gọi $H_1 , H_2$ lần lượt là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$ và $AC$, ta có:
$ HM+HN+MN=H_1M+H_2N+MN \geq H_1H_2$
vậy chu vi của tam giác$HMN$ nhỏ nhất bằng $H_1H_2$ khi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $H_1H_2$ với $AB$ và $AC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-06-2013 - 07:50

[Zaraki]

Gọi $H_1 , H_2$ lần lượt là điểm đối xứng của $H$ qua $AB$ và $AC$, ta có:
$ HM+HN+MN=H_1M+H_2N+MN \geq H_1H_2$
vậy chu vi của tam giác$HMN$ nhỏ nhất bằng $H_1H_2$ khi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $H_1H_2$ với $AB$ và $AC$

Nếu giải thế này thì giả thiết $\angle A=30^o$ đâu cần thiết nhỉ ??

[Juliel]

  Câu I ( 2.5 điểm )

      

    2. Hãy tính $A=2x^3+2x^2+1$ với $x= \frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}-1)$

Đặt $x=t-\frac{1}{3}$

Thì $\frac{A}{2}=x^{3}+x^{2}+\frac{1}{2}=(t-\frac{1}{3})^{3}+(t-\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{2}=t^{3}-\frac{t}{3}+\frac{31}{54}$

Từ đó :

$t=x+\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{108}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{108}}\Rightarrow t^{3}=\frac{23+\sqrt{513}}{108}+\frac{23-\sqrt{513}}{108}+3.\sqrt[3]{\frac{23^{2}-513}{108^{2}}}.t\Rightarrow t^{3}=\frac{23}{54}+\frac{t}{3}\Rightarrow t^{3}-\frac{t}{3}+\frac{31}{54}=1\Rightarrow \frac{A}{2}=1\Rightarrow A=2$

[ngocduy286]

Chỉ để $H_1H_2$ cắt được 2 cạnh $AB, AC$

[Zaraki]

Câu V. 2) Làm như ngocduy286 Ta có $HM+MN+NH \ge H_1H_2$.
Ta có $\angle HAC = \angle CAH_2$ và $\angle HAB= \angle BAH_1$ nên $\angle H_1AH_2=60^{\circ}$.
Và $H_2A=H_1A= AH$. Do đó tam giác $H_1AH_2$ đều. Như vậy $H_1H_2=AH_2=AH$.
Vậy $HM+MN+HN \ge AH$.

[NgADg]

Đặt $x=t-\frac{1}{3}$

Thì $\frac{A}{2}=x^{3}+x^{2}+\frac{1}{2}=(t-\frac{1}{3})^{3}+(t-\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{2}=t^{3}-\frac{t}{3}+\frac{31}{54}$

Từ đó :

$t=x+\frac{1}{3}=\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{108}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{108}}\Rightarrow t^{3}=\frac{23+\sqrt{513}}{108}+\frac{23-\sqrt{513}}{108}+3.\sqrt[3]{\frac{23^{2}-513}{108^{2}}}.t\Rightarrow t^{3}=\frac{23}{54}+\frac{t}{3}\Rightarrow t^{3}-\frac{t}{3}+\frac{31}{54}=1\Rightarrow \frac{A}{2}=1\Rightarrow A=2$

Cho mình hỏi sao biết được đặt $x=t-\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NgADg: 25-06-2013 - 16:45

[Juliel]

Cho mình hỏi sao biết được đặt $x=t-\frac{1}{3}$

Nếu bạn biết đến công thức nghiệm Cardano giải tổng quát phương trình bậc ba thì bạn sẽ hiểu vì sao lại đặt như thế. Lên google search thử bạn nhé ! 

[phatthemkem]

  Câu III (1.5 điểm )

  Giải phương trình $x^2-7x+2+2\sqrt{3x+1}=0$

ĐK $x\geq -\frac{1}{3}$

Ta có $x^2-7x+2+2\sqrt{3x+1}=0\Leftrightarrow (x^2-7x+6)+2(\sqrt{3x+1}-2)=0\Leftrightarrow (x-1)(x-6)+2.\frac{(\sqrt{3x+1}-2)(\sqrt{3x+1}+2}{\sqrt{3x+1}+2)}=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-6)+\frac{2(3x-3)}{\sqrt{3x+1}+2}=0\Leftrightarrow (x-1)(x-6+\frac{6}{\sqrt{3x+1}+2})=0$

CONTINUE...