Chủ đề này có 4 trả lời

[dominhkhanh]

Cho tam giác nhọn ABC .Tâm đường tròn ngoại tiếp là I (1;2).Hình chiếu của B,C trên AC,AB lần lượt là E(0;1) VÀ F(-2;3). Điểm A nằm trên đường thẳng x-2y-1=0. Tìm tọa độ A,B,C.

 

[trangxoai1995]

Cho tam giác nhọn ABC .Tâm đường tròn ngoại tiếp là I (1;2).Hình chiếu của B,C trên AC,AB lần lượt là E(0;1) VÀ F(-2;3). Điểm A nằm trên đường thẳng x-2y-1=0. Tìm tọa độ A,B,C.

- Gọi H, K lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ơle của tam giác ABC. Khi đó K sẽ là trung điểm của IH.

Phương trình đường tròn Ơle dạng tổng quát: $x^2+y^2-2Ax-2By+C=0$ (C)

Vì $E(0;1)$ thuộc (C) nên ta có: $0+1-2A.0-2B.1+C=0\Leftrightarrow C=2B-1$

Vì $F(-2;3)$ thuộc (C) nên ta có: $(-2)^2+9-2A.(-2)-2B.3+2B-1=0\Leftrightarrow 13+4A-4B-1=0$$\Leftrightarrow B=A+3$. Do đó đường tròn ơle của tam giác ABC có tâm: $K(A;A+3)$$\Rightarrow H(2A-1;2A+4)$.

- Giả sử $A(2b+1;b)$, khi đó ta có:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AE}(-1-2b;1-b) & \\ \overrightarrow{EH}(2A-1;2A+3) & \end{matrix}\right.\Rightarrow (2A-1)(2b+1)+(b-1)(2A+3)=0$

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AF}(-3-2b;3-b) & \\ \overrightarrow{FH}(2A-1;2A+1) & \end{matrix}\right.\Rightarrow (2A-1)(2b+3)+(2A+1)(b-3)=0$

Ta thu được hệ:

    $\left\{\begin{matrix} (2b+3)(2A-1)+(b-3)(2A+1)=0 & \\ (2A-1)(2b+1)+(b-1)(2A+3)=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6Ab=b+6 & \\ 6Ab=4-b & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=-1 & \\ A=\frac{-5}{6} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A(-1;-1)$, $H\left ( \frac{-8}{3};\frac{7}{3} \right )$

Đến đây viết được phương trình AB đi qua A và F, AC đi qua A và E, phương trình đường cao CF đi qua H và F, BE đi qua H và E, tọa độ điểm B là giao điểm của AB và HB, C là giao điểm của AC và CF

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trangxoai1995: 25-06-2013 - 22:57

[dominhkhanh]

- Gọi H, K lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ơle của tam giác ABC. Khi đó K sẽ là trung điểm của IH.

Phương trình đường tròn Ơle dạng tổng quát: $x^2+y^2-2Ax-2By+C=0$ (C)

Vì $E(0;1)$ thuộc (C) nên ta có: $0+1-2A.0-2B.1+C=0\Leftrightarrow C=2B-1$

Vì $F(-2;3)$ thuộc (C) nên ta có: $(-2)^2+9-2A.(-2)-2B.3+2B-1=0\Leftrightarrow 13+4A-4B-1=0$$\Leftrightarrow B=A+3$. Do đó đường tròn ơle của tam giác ABC có tâm: $K(A;A+3)$$\Rightarrow H(2A-1;2A+4)$.

- Giả sử $A(2b+1;b)$, khi đó ta có:

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AE}(-1-2b;1-b) & \\ \overrightarrow{EH}(2A-1;2A+3) & \end{matrix}\right.\Rightarrow (2A-1)(2b+1)+(b-1)(2A+3)=0$

$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AF}(-3-2b;3-b) & \\ \overrightarrow{FH}(2A-1;2A+1) & \end{matrix}\right.\Rightarrow (2A-1)(2b+3)+(2A+1)(b-3)=0$

Ta thu được hệ:

    $\left\{\begin{matrix} (2b+3)(2A-1)+(b-3)(2A+1)=0 & \\ (2A-1)(2b+1)+(b-1)(2A+3)=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6Ab=b+6 & \\ 6Ab=4-b & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=-1 & \\ A=\frac{-5}{6} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A(-1;-1)$, $H\left ( \frac{-8}{3};\frac{7}{3} \right )$

Đến đây viết được phương trình AB đi qua A và F, AC đi qua A và E, phương trình đường cao CF đi qua H và F, BE đi qua H và E, tọa độ điểm B là giao điểm của AB và HB, C là giao điểm của AC và CF

đi thi không có đủ thời gian chứng minh Ơ-le đâu bạn .

[trangxoai1995]

đi thi không có đủ thời gian chứng minh Ơ-le đâu bạn .

Đó là định lý đã được học từ hồi cấp 2, lớp 8. Công thức có sẵn, bạn hoàn toàn được áp dụng khi nhớ định lý, không cần cm lại, có điều bạn có nhớ tới nó mà làm không thôi!!

[Mrnhan]

Cho tam giác nhọn ABC .Tâm đường tròn ngoại tiếp là I (1;2).Hình chiếu của B,C trên AC,AB lần lượt là E(0;1) VÀ F(-2;3). Điểm A nằm trên đường thẳng x-2y-1=0. Tìm tọa độ A,B,C.

Gọi H(x;y) là trực tâm của tam giác ABC. A(2a+1;a).

Ta có:

$\vec{EH}=(x;y-1), \vec{FH}=(x+2;y-3), \vec{AH}=(x-2a-1;y-a),\vec{EA}=(2a+1;a-1);\vec{FA}=(2a+3;a-3);\vec{FE}=(2;-2)=2(1;-1)$

Ta lại có: $$EH\perp EA\to x(2a+1)+(y-1)(a-1)=0$$

$$FH\perp FA\to (x+2)(2a+3)+(y-3)(a-3)=0$$

$$FE\perp AH\to 1(x-2a-1)-1(y-a)=0$$

$\to H$ và áp dụng công thức: $$\vec{IH}=2\vec{IG}\to G$$

 

Đó là định lý đã được học từ hồi cấp 2, lớp 8. Công thức có sẵn, bạn hoàn toàn được áp dụng khi nhớ định lý, không cần cm lại, có điều bạn có nhớ tới nó mà làm không thôi!!

Hình như cái này muốn áp dụng phải chứng minh....!!