Friedrich Engels

Bài này rất cơ bản cho những bạn nào muốn giải đa thức qua số phức.
ta có \[T\left( y \right)T\left( {y + 1} \right) = T\left( {{y^2} + y + 1} \right) \Rightarrow T\left( {y - 1} \right)T\left( y \right) = T\left( {{y^2} - y + 1} \right)\]
Vậy nếu y là nghiệm của T thì ${y^2} + y + 1\& {y^2} - y + 1$ cũng là nghiệm của T
T có hữu hạn nghiệm, trong đó ta chọn nghiệm m có module lớn nhất, tức là

\[\begin{array}{l}
\left| {{m^2} + m + 1} \right| \le \left| m \right|;\left| {{m^2} - m + 1} \right| \le \left| m \right|\\
\Rightarrow 2\left| m \right| \ge \left| {{m^2} + m + 1} \right| + \left| {{m^2} - m + 1} \right| \ge \left| {\left( {{m^2} + m + 1} \right) - \left( {{m^2} - m + 1} \right)} \right| = 2\left| m \right|
\end{array}\]
Vậy đẳng thức xảy ra nên ${m^2} + m + 1 = - \left( {{m^2} - m + 1} \right) \Rightarrow m = \pm i$ và ${x^2} + 1$ là thừa số của T
Gọi r là số lớn nhất sao cho có thể đặt
\[T\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^r}P\left( x \right) \Rightarrow P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {{x^2} + x + 1} \right)\]
Nếu P có nghiệm thì theo chứng minh trên thì ${x^2} + 1$ là thừa số của P, mâu thuẫn với cách chọn r
Vậy P là hằng số, tức là P=1, vậy $T\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 1} \right)^r}$ với r là số nguyên dương nào đó

Tổng quát lên một chút.
Số hiệp sỹ lúc này sẽ là n, số hiệp sỹ được lựa chọn là k.
đặt n hiệp sĩ theo chiều kim đồng hồ là ${A_1} \to {A_n}$.
Nếu ${A_1}$ được chọn, khi đó, gọi ${x_t}$ là khoảng cách từ ${A_t}$ ( được chọn) đến người tiếp theo được chọn, tức là
\[\sum\limits_k {{x_i}} = n - k;{x_i} > 0\]
Như ta đã biết, phương trình này có $C_{n - k - 1}^{k - 1}$
Nếu ${A_1}$ không được chọn, tính từ ${A_1}$, ${A_p}$ là số được chọn đầu tiên thì ta có
\[\sum\limits_k {{x_i}} = n - k;{x_i} > 0\]
Nhưng lần này, \[{x_k} > p - 2\], tức là số nghiệm sẽ là $C_{n - k - p + 1}^{k - 1}$
vậy số nghiệm sẽ là

\[M = C_{n - k - 1}^{k - 1} + \sum\limits_{p = 2 \to n + 2 - 2k} {C_{n - k - p + 1}^{k - 1}} = C_{n - k - 1}^{k - 1} + C_{n - k}^k\]
P/S: bài này làm thì k mệt mà gõ mathtype thì mệt bơ phờ luôn , nên ai thấy hay thì like nhé

European Girls’ Mathematical Olympiad 2012

Ngày thi thứ nhất: 12-04-2012

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa
$$f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$

Bạn nào dịch luôn đề của ngày thi thứ hai (trong file đính kèm) nhé.

Cho y=0 thì \[f\left( {f\left( x \right)} \right) = 4x\]
vậy f là song ánh.
mặt khác, cho x=0 thì \[f\left( {yf\left( y \right) + f\left( 0 \right)} \right) = 2yf\left( y \right)\]
vì f là song ánh nên tồn tại a để \[f\left( a \right) = 2\]
chọn x=a-y, ta được

\[\begin{array}{l}
f\left( {2y + f\left( {a - y} \right)} \right) = 2\left( {a - y} \right)f\left( a \right) + 2yf\left( a \right) = 2af\left( a \right) = f\left( {af\left( a \right) + f\left( 0 \right)} \right)\\
\Rightarrow 2y + f\left( {a - y} \right) = 2a + f\left( 0 \right)\\
\Rightarrow f\left( {a - y} \right) = 2\left( {a - y} \right) + f\left( 0 \right)\\
\Rightarrow f\left( x \right) = 2x + m
\end{array}\]
thay vào ta được m=0, f(x)=2x

SBD 09


pre-gf của mình =)). Các bạn sôi nổi thế lí nào không tham gia :>

Bài 5: chọn min k>0. khi đó, chọn a=k thì \[n + {k^2} = \left( {b + k} \right)\left( {c + k} \right)\]
vậy ta chọn \[b = p - k;c = \frac{{n + {k^2}}}{p} - k\]
Vì k min nên p>k => b>0. Mặt khác vì \[2\sqrt n \ge p\] nên c>0. và ta có \[\frac{{n + {k^2}}}{p} \ne p\]
Nếu không thì \[n = \left( {p - k} \right)\left( {p + k} \right)\].
p-k và p+k đồng tính chẵn lẻ, trong khi đó n chia 4 dư 2, vô lý.
Vậy ta có điểu phải chứng minh

Bài 6: Ta thấy bộ 3 số phải thỏa mãn : có tổng là số chẵn, là bộ 3 số tam giác.
ta thấy k tối đa có thể để chọn được một bộ 3 số không thỏa mãn đề bài là 1007 với cách chọn 1,2,3,5,7,....,2011
Ta sẽ chứng minh k=1008 thì luôn chọn được bộ 3 số thỏa mãn đề bài.
đầu tiên ta thấy các số 1,2 là các số không thể có trong bộ 3 số (do tính chất bộ 3 số tam giác).
giả sử chọn 1,2, vậy trong 2010 số 3,4,...,2012, ta phải chọn 1006 số nữa.
=> theo nguyên lý dirichle, phải có 2 số liên tiếp.(a,a+1)
giả sử còn có một bộ liên tiếp khác là b,b+1(b>a+1) thì trong bốn số a,a+1,b,b+1luôn chọn được bộ 3 số thỏa mãn.
Nếu chỉ có một bộ duy nhất thì ta có các số còn lại đều phải cách đều 2, dĩ nhiên là tất cả không thể cùng chẵn, nếu không ta có thể chọn 3 số chẵn liên tiếp. vậy tất cả còn lại đều phải lẻ, như vậy ta chọn 2 số lẻ liên tiếp lớn nhất cùng với một số chẵn trong bộ a,a+1, ta sẽ được bộ 3 số thỏa mãn.
Vậy min=1008

S(n) là số cách lát bảng 2xn
Nếu ô ở ngoài cùng là ô 1x2 nằm dọc thì phần còn lại là bảng 2x(n-1), có S(n-1) cách lát
Nếu ở ngoài cùng là ô 2x2 hoặc 2 ô 1x2 xếp thành hình vuông (nằm ngang) xếp thành hình vuông 2x2 thì phần còn lại là bảng 2x(n-2), có S(n-2) cách lát
Vậy S(n)=S(n-1)+2S(n-2). đến đây bạn tìm cttq thôi :-"