Math Is Love

Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa $2014<\frac{a}{b}<2015$. Xét $2015$ số thực dương $x_1,x_2,...,x_{2015}$ thay đổi thỏa điều kiện $0 < x_i \leq b,\forall i=1,2,...,2015$ và $\sum_{i=1}^{2015}x_i=a$. Tìm $GTLN,GTNN$ của $P=\prod_{i=1}^{2015}x_i$ theo $a$ và $b$.

Bài này nhìn đề bài có vẻ ghê gớm nhưng thực ra không khó như cái hình thức của nó  

Đầu tiên tìm max thì đơn giản rồi. Theo BĐT $AM-GM$ thì 

$$P=\prod_{i=1}^{2015}x_i \leq (\frac{\sum_{i=1}^{2015} x_i}{2015})^{2015}$$

$$=\frac{a^{2015}}{2015^{2015}}$$

$$***$$

Tiếp đến tìm giá trị nhỏ nhất. Ý tưởng của ta sẽ là dồn biến về biên.

Gọi dãy $x_1,...,x_{2015}$ là dãy thỏa mãn P nhỏ nhất và dãy gồm có $m$ số $b$ và $n$ số $<b$ với $m+n=2015$

Giả sử $n \geq 2$.Không mất tính tổng quát,giả sử $0<x_1\leq x_2 \leq ... \leq x_n <b$

Vì từ giả thiết ta có:

$$ 2014b < x_1+...+x_{2015} <2015b$$

mà $0<x_i \leq b$ nên $2b>x_k+x_j >b$ với mọi $1<k<j<2015$ (*)

Khi đó, $P=x_1.x_2...x_n.b^m$

Do (*) nên ta có thể thay cặp $(x_1,x_n)$ bằng cặp $(x_1+x_n-b,b)$ mà vẫn đảm bảo tổng 2 số không đổi đồng thời hai số sau khi đổi vẫn thỏa mãn điều kiện để bài là $0<x_i<b$

Đặt $P'=(x_1+x_n-b).x_2...x_{n-1}.b^{m+1}$

Xét $$x_1.x_2 - b(x_1+x_n-b)= x_1.x_n + b^2 - b.x_1 - b.x_n$$

$$= (x_1-b)(x_n-b) > 0$$

vì $0 < x_1< x_n < b$. Vậy nên do đó $P'<P$ vô lý với giả thiết ban đầu.

Vậy $n<2$. Mà $n >0$ vì nếu $x_i=b$ với mọi $i$ thì vô lý. Vậy $n=1$

Vậy $P_{min}=(a-2014b).b^{2014}$.

Mấy anh/chị BQT cho em hỏi là em ở Hà Nội,có thể trực tiếp qua địa chỉ của BQT để lấy áo không ạ vì em đi học bằng xe máy nên tiện đi lại. Hơn nữa em lại không dùng thẻ ngân hàng nên muốn lấy trực tiếp cho tiện luôn ạ

Lời giải của mình:

Ta có: $P=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}-\frac{1+yz}{9}$ 

$=\frac{2x^2}{2x^2+2yz+2x+x^2+y^2+z^2}+\frac{y+z}{x+1+y+z}-\frac{x^2+y^2+z^2+2yz}{18}$

$=\frac{2x^2}{3x^2+(y+z)^2+2x}+\frac{y+z}{x+1+y+z}-\frac{x^2+(y+z)^2}{18}$ 

Đặt $a=x;b=y+z$,ta có: $a^2+b^2=x^2+(y+z)^2 \geq x^2+y^2+z^2=2$

Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có:

$a+b=x+y+z \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}=\sqrt{6}$

 $a+b=x+y+z \geq \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 

Vậy $\sqrt{2}\leq a+b \leq \sqrt{6}$

Áp dụng BĐT $Cauchy$,ta có: $P=\frac{2a^2}{3a^2+b^2+2a}+\frac{b}{a+b+1}-\frac{a^2+b^2}{18}$ 

$=\frac{a}{a+(\frac{b^2}{2a}+\frac{a}{2})+a}+\frac{b}{a+b+1}-\frac{a^2+b^2}{18}$ 

$\leq \frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{a+b+1}-\frac{(a+b)^2}{36}$

$= \frac{a+b}{a+b+1}-\frac{(a+b)^2}{36}$ 

Đặt $t=a+b$. Xét $ f(t)=\frac{t}{t+1}-\frac{t^2}{36}$ trên [$\sqrt{2};\sqrt{6}$]

Ta có: $f'(t)=\frac{1}{(t+1)^2}-\frac{t}{18}$. 

 $f'(t)=0 \Leftrightarrow t=2$. Vậy từ đây ta có: $P\leq f(t) \leq f(2) =\frac{5}{9}$. 

Vậy $P_{max} =\frac{5}{9}$ khi và chỉ khi $(x+y+z)=(1;1;0);(1;0;1)$

File PDF lời giải

 BĐT.pdf   87.23K   290 Số lần tải

Cho x, y, z là ba số thực thỏa: $x^2+y^2+z^2=8$
Tìm GTLN và GTNN của $P=(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$

Không mất tính tổng quát giả sử $y$ là số nằm giữa $x;z$. Khi đó $(x-y)(y-z) \geq 0$

Ta có: $P= (x-y)^5 + (y-z)^5 - ((x-y)+(y-z))^5$.

Đặt $a=x-y;b=y-z$ thì ta có $ab \geq 0$ và $P= a^5+b^5-(a+b)^5$

Ta có:

$$(a+b)^2=(x-z)^2=x^2+z^2-2xz=8-2xz-y^2$$

$$\leq 8+(x^2+z^2)-y^2=16-2y^2 \leq 16$$

Vậy $-4 \leq a+b \leq 4$.

Vì $ab \geq 0$ nên $a;b$ cùng dấu.

Vì $P=-(5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4)$  mà $a;b$ cùng dấu nên dễ thấy:

$P_{max}$ khi $a;b \leq 0$ và $P_{min}$ khi $a;b \geq 0$

$+,$ Nếu $a;b \geq 0$. Khi đó:

$$P= a^5+b^5-(a+b)^5 \geq \frac{(a+b)^5}{2^4}-(a+b)^5=\frac{-15(a+b)^5}{16} \geq \frac{-15.4^5}{16}$$

$+,$ Nếu $a;b \leq 0$. Khi đó:

$$P= a^5+b^5-(a+b)^5 \leq \frac{(a+b)^5}{2^4}-(a+b)^5=\frac{-15(a+b)^5}{16} \leq \frac{15.4^5}{16}$$

Vậy ta có $P_{min}=-15.4^3$ khi $\left ( x;y;z \right )=\left ( 2;0;-2 \right )$

$P_{max}=15.4^3$ khi $\left ( x;y;z \right )=\left ( -2;0;2 \right )$. $\blacksquare$

Chứng minh rằng: $e^x + cosx \geq 2 + x -\frac{x^2}{2} \forall x \epsilon \mathbb{R}$

Mình sẽ nêu các bước chứng minh rồi bạn tự làm sẽ tốt hơn:

Đầu tiên ta sẽ chứng minh hàm $f(x)= x - sin x$ đồng biến

Từ đó suy ra $ \cos x +\frac{x^2}{2} \geq 1$

Sau đó còn lại là việc chứng minh $e^x \geq x+1$.