Math Is Love

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng

$$\frac{a^2+b^2}{(b+c)^3}+\frac{b^2+c^2}{(c+a)^3}+\frac{c^2+a^2}{(a+b)^3}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$$

Góp vui bằng bài toán này!      

Cho $a;b;c$ là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng $1$ và $n$ là số nguyên $\geq 2$. 

Chứng minh rằng:

$$\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n} < 1 + \frac{\sqrt[n]{2}}{2}$$

___________________

P/s: Đã sửa,xin lỗi mọi người!   

Mời mọi người chém thử bài này!      

Cho $a;b;c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Thấy BOX có vẻ trầm nên mình xin góp vui bằng mấy bài!

Bài 1:

Cho $x_1;x_2;...;x_m$ là các số thực đôi một phân biệt. Đặt:

$$S_n =\sum^n_{i=1} \frac{x_i}{\prod_{j\neq i} (x_i-x_i)}$$

Hãy tính $S_{m+k}$ với mọi $k \in \mathbb{Z}^+$.

Bài 2:

Cho $n$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng với mọi $n$ thì ta luôn có đẳng thức:

$$\sum^n_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2n+1-2m)!(2n+1-m)!}=(-1)^n.\frac{2^{2n+1}}{((2n+1)!)^2}$$

Bài 3:

Cho $n$ là một số nguyên dương bất kì. Chứng minh rằng với mọi $n$ thì ta luôn có đẳng thức:

$$\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^{n+1} = \frac{(n+1)!}{2}$$

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$.

Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2} \geq 1$$