Đến nội dung

ducthinh26032011

ducthinh26032011

Đăng ký: 20-01-2012
Offline Đăng nhập: 22-12-2016 - 22:36
****-

Trong chủ đề: Chứng minh rằng: $a+b+c+d$ là hợp số

13-01-2014 - 15:11

Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$. Chứng minh rằng:

$a+b+c+d$ là hợp số

Từ giả thiết,ta được:

$3(a+b)^{2}+(a-b)^2=3(c+d)^2+(c-d)^2$

$\Leftrightarrow 3(a+b-c-d)(a+b+c+d)=(c-d+a-b)(c-d-a+b)$

Nếu $(a+b+c+d)=p$ thì $(c-d+a-b)\vdots p$ hoặc $(c-d-a+b)\vdots p$

Mà cả hai số trên đều nhỏ hơn $p$ nên một trong 2 số đó bằng $0$

Giả sử $a+c=b+d\Rightarrow a+b=c+d\Rightarrow a=d,b=c\Leftrightarrow a+b+c+d=2(a+b)$ là hợp số

Tương tự với trường hợp còn lại.

Vậy ...


Trong chủ đề: [VMO 2014] Ngày 1 - Bài 1 - DÃY SỐ

03-01-2014 - 21:43

Ta có:$y_{n}=\frac{x_{n-1}}{x_{n}}(1)$

Dễ thấy $y_{2}> y_{1}$.

Ta chứng minh $(y_{n})$ là dãy tăng.

Giả sử,mệnh đề trên đúng tới $n=k$ hay $y_{k+1}> y_{k}$.Giờ ta chứng minh $y_{k+2}> y_{k+1}$

Ta có $y_{k+1}> y_{k}> y_{k-1}> ...> y_{1}$

$x^{2}_{k+2}+y_{k+1}=x^{2}_{k+1}+y_{k}=2$

$\Rightarrow x_{k+2}<x_{k+1}< ...< x_{1}=1$

Ta có:$x^{2}_{k+1}+y_{k}=2\Leftrightarrow x^{2}_{k+2}y^{2}_{k+2}=2-y_{k}$

$y^{2}_{k+2}=\frac{x^{2}_{k+2}}{2-y_{k}}(2)$.

Ta cần chứng minh $y^{2}_{k+2}> y^{2}_{k+1}(3)$

Thay (2) và (1) lần lượt vào 2 vế của (3),ta được:

$2x^{2}_{k+1}>x^{3}_{k}x^{2}_{k+2}+x^{2}_{k+1}x_{k-1}$

Điều này luôn đúng vì $x_{k+2}< x_{k+1};x_{k},x_{k-1}<1$.

Vậy ta có điều phải chứng minh và ta suy luôn ra được $(x_{n})$ là dãy giảm

Ta có $(y_{n})$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $2$ ...

Ta có $(x_{n})$ là dãy giảm bị chặn trên bởi $0$ ...


Trong chủ đề: cho a, b, c là các số nguyên dương thoả mãn:$ a(a^2+1-c)+b(b^2+1-c)=...

01-01-2014 - 16:50

cho a, b, c là các số nguyên dương thoả mãn:$ a(a^2+1-c)+b(b^2+1-c)=0$.

CMR: mọi ước lẻ của số $ab+c$ đều có dang $4k+1$

Đề sai rồi.Cho $a=5,b=7,c=40$ thì $a^{2}+b^2+1=75\equiv 0(mod3)$ ${\color{Red} 3=4.1-1}$


Trong chủ đề: Tồn tại $k$ sao cho $A=2^n.k+1$ là hợp số.

12-12-2013 - 21:44

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì luôn tồn tại số $k$ sao cho $A=2^n.k+1$ là hợp số.

Xét $k_{0}$.Nếu $2^{n}k_{0}+1$ là hợp số (xong)

Nếu $2^{n}k_{0}+1=p$

Với $k> k_{0}$.Ta chỉ cần tìm được $k$ sao cho $2^{n}k+1\equiv 0(mod p)$ là xong

Khi đó $k\equiv k_{0} (mod p)$ và ta luôn tìm được số $k$ như thế.Vậy bài toán được chứng minh.

P/s:bài này sao sao ấy anh Nam @@


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Quảng Ninh năm học 2013-2014

27-10-2013 - 17:34

Chém bài dễ nhất vậy

Sao k ai giải bài 1 nhỉ.Mình giải k ra :(

 

 

Bài 2. (5 điểm)
 
Giải hệ $$\begin{cases} $\sqrt{(4^2+y^2)/2}+\sqrt{(4x^2+2xy+y^2)/3}=2x+y$ \\ x\sqrt{xy+5x+3}=2xy-5x-3 \end{cases}$$

Đặt $2x=a,y=b$,ta có:

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}=a+b$$

Ta có các đánh giá cơ bản sau:

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \frac{a+b}{2}$$

$$\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}\geq \frac{a+b}{2}$$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b\Leftrightarrow 2x=y$.Thay vào phương trình (2),...