Đến nội dung

ducthinh26032011

ducthinh26032011

Đăng ký: 20-01-2012
Offline Đăng nhập: 22-12-2016 - 22:36
****-

#477274 $C_{n}^{k}=\overline{kn}$

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 14-01-2014 - 20:22

Bài toán 1: Tìm những cặp số nguyên dương $k,n$ thỏa:$C_{n}^{k}=\overline{kn}$

 

Bài toán 2:Một em bé leo lên bậc thang gồm 30 bậc.Em bé có thể bước lên 1 hoặc 2 hoặc 3 bậc.Hỏi có bao nhiêu cách để em bé leo hết bậc thang đó.

(Khuyến khích các bạn mở rộng vấn đề ^^ )


  • LNH yêu thích


#477065 Chứng minh rằng: $a+b+c+d$ là hợp số

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 13-01-2014 - 15:11

Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$. Chứng minh rằng:

$a+b+c+d$ là hợp số

Từ giả thiết,ta được:

$3(a+b)^{2}+(a-b)^2=3(c+d)^2+(c-d)^2$

$\Leftrightarrow 3(a+b-c-d)(a+b+c+d)=(c-d+a-b)(c-d-a+b)$

Nếu $(a+b+c+d)=p$ thì $(c-d+a-b)\vdots p$ hoặc $(c-d-a+b)\vdots p$

Mà cả hai số trên đều nhỏ hơn $p$ nên một trong 2 số đó bằng $0$

Giả sử $a+c=b+d\Rightarrow a+b=c+d\Rightarrow a=d,b=c\Leftrightarrow a+b+c+d=2(a+b)$ là hợp số

Tương tự với trường hợp còn lại.

Vậy ...




#475095 [VMO 2014] Ngày 1 - Bài 1 - DÃY SỐ

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 03-01-2014 - 21:43

Ta có:$y_{n}=\frac{x_{n-1}}{x_{n}}(1)$

Dễ thấy $y_{2}> y_{1}$.

Ta chứng minh $(y_{n})$ là dãy tăng.

Giả sử,mệnh đề trên đúng tới $n=k$ hay $y_{k+1}> y_{k}$.Giờ ta chứng minh $y_{k+2}> y_{k+1}$

Ta có $y_{k+1}> y_{k}> y_{k-1}> ...> y_{1}$

$x^{2}_{k+2}+y_{k+1}=x^{2}_{k+1}+y_{k}=2$

$\Rightarrow x_{k+2}<x_{k+1}< ...< x_{1}=1$

Ta có:$x^{2}_{k+1}+y_{k}=2\Leftrightarrow x^{2}_{k+2}y^{2}_{k+2}=2-y_{k}$

$y^{2}_{k+2}=\frac{x^{2}_{k+2}}{2-y_{k}}(2)$.

Ta cần chứng minh $y^{2}_{k+2}> y^{2}_{k+1}(3)$

Thay (2) và (1) lần lượt vào 2 vế của (3),ta được:

$2x^{2}_{k+1}>x^{3}_{k}x^{2}_{k+2}+x^{2}_{k+1}x_{k-1}$

Điều này luôn đúng vì $x_{k+2}< x_{k+1};x_{k},x_{k-1}<1$.

Vậy ta có điều phải chứng minh và ta suy luôn ra được $(x_{n})$ là dãy giảm

Ta có $(y_{n})$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $2$ ...

Ta có $(x_{n})$ là dãy giảm bị chặn trên bởi $0$ ...




#474491 cho a, b, c là các số nguyên dương thoả mãn:$ a(a^2+1-c)+b(b^2+1-c)=0...

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 01-01-2014 - 16:50

cho a, b, c là các số nguyên dương thoả mãn:$ a(a^2+1-c)+b(b^2+1-c)=0$.

CMR: mọi ước lẻ của số $ab+c$ đều có dang $4k+1$

Đề sai rồi.Cho $a=5,b=7,c=40$ thì $a^{2}+b^2+1=75\equiv 0(mod3)$ ${\color{Red} 3=4.1-1}$




#473115 Chứng minh: $n^{2}+d$ không là số chính phương.

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 26-12-2013 - 21:43

Bài toán :Cho $n,d\in Z^{+}$ thỏa $d|2n^{2}$.Chứng minh: $n^{2}+d$ không là số chính phương.

 

 


  • LNH yêu thích


#471094 Chứng minh $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 15-12-2013 - 15:07

Bài toán:Cho $a,b\in Z$ và $a\neq b$ thỏa $a^{2}+b^{2}+ab|ab(a+b)$.Chứng minh $|a-b|>\sqrt[3]{ab}$




#456248 ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU (VÒNG 2) - 2013/2014

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 08-10-2013 - 22:10

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU (VÒNG 2) - 2013/2014 - 180 phút

 

Bài 1:(4 điểm)

Giải phương trình: $x=\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3x+2}+2}+2}$

 

Bài 5:(3 điểm)

Cho dãy $(u_n)$ thỏa: $\left\{\begin{matrix} u_1=1;u_2=3\\ u_{n+2}=3u_{n+1}+u_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: Với mọi $k \in \mathbb{N}^*$,tồn tại $n \in \mathbb{N}^*$ để $u_n$ chia hết cho $10^k$.

 

Câu 5 có vấn đề,khi k=2 thì k có n thỏa

Câu 1:

Đặt:$\sqrt[3]{3x+2}=a,\sqrt[3]{3a+2}=b\Rightarrow \sqrt[3]{3b+2}=x$

Hệ này khá quen thuộc,ta suy ra được $x=a=b$.Tới đây thì đơn giản rồi




#454794 Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 11-12 chuyên KHTN 2013-2014 (Vòng 1)

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 02-10-2013 - 23:55

Bài 1:Cho dãy số ${a_{n}}$ xác định bởi: $a_{1}=2,a_{2}=10$

$a_{n+2}=\frac{8a_{n+1}^{2}-a_{n+1}a_{n}}{a_{n+1}+a_{n}}$

     1) Chứng minh rằng dãy trên là dãy số nguyên.

      2)Tìm $\lim \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{a_{k+1}+a_{k}+3}$

1) thôi nhé @@

Tính được $a_{3}=65$

$$a_{n+2}=\frac{8a_{n+1}^{2}-a_{n+1}a_{n}}{a_{n+1}+a_{n}}$$

$$\Leftrightarrow a_{n+2}+a_{n+1}=\frac{9a_{n+1}^{2}}{a_{n+1}+a_{n}}$$ (1)

Tương tự,ta có:$\Leftrightarrow a_{n+1}+a_{n}=\frac{9a_{n}^{2}}{a_{n}+a_{n-1}}$

Mà từ (1),ta có:$\Leftrightarrow a_{n+1}+a_{n}=\frac{9a_{n+1}^{2}}{a_{n+1}+a_{n+2}}$

$$\Rightarrow \frac{9a_{n+1}^{2}}{a_{n+1}+a_{n+2}}=\frac{9a_{n}^{2}}{a_{n}+a_{n-1}}\Leftrightarrow a_{n+1}(a_{n}^{2}-a_{n+1}a_{n-1})=a_{n}(a_{n+1}^{2}-a_{n+2}a_{n})$$

$$\Leftrightarrow \frac{a_{n}^{2}-a_{n+1}a_{n-1}}{a_{n}}=\frac{a_{n+1}^{2}-a_{n+2}a_{n}}{a_{n+1}}=...=\frac{a_{2}^{2}-a_{3}a_{1}}{a_{2}}=-3$$

Ta cũng có:

$$\frac{a_{n}^{2}-a_{n+1}a_{n-1}}{a_{n}}=\frac{a_{n+1}^{2}-a_{n+2}a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}(a_{n+1}+a_{n-1})-a_{n}(a_{n+2}+a_{n})}{a_{n+1}-a_{n}}=-3$$

$$\Leftrightarrow a_{n+1}(a_{n+1}+a_{n-1}+3)=a_{n}(a_{n+2}+a_{n}+3)\Leftrightarrow \frac{a_{n+1}+a_{n-1}+3}{a_{n}}=\frac{a_{n+2}+a_{n}+3}{a_{n+1}}=...=\frac{a_{3}+a_{1}+3}{a_{2}}=7$$

$$a_{n+2}+a_{n}+3=7a_{n+1}\Leftrightarrow a_{n+2}=7a_{n+1}-a_{n}-3$$

Vậy dãy $(a_{n})$ nguyên.




#452955 Đề thi chọn đội tuyển toán trường PTNK năm 2013-2014

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 25-09-2013 - 16:47

 

Ngày 1: Ngày 24 tháng 9 năm 2013

Thời gian làm bài: 180 phút.

 

Bài 1.Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x^3+y+f(y))=2y+x^2f(x) \; \forall x,y \in \mathbb{R}$$

 

Mình làm thử nhé ^^

$x=0:f(y+f(y))=2y$ Suy ra $f$ là song ánh

$x=y=0:f(f(0))=0$

Do $f$ song ánh nên đặt $f(0)=a$

$x=y=a:f(a^{3}+a)=2a$

$x=0,y=a:f(a)=2a$

$\Rightarrow f(a^{3}+a)=f(a)\Rightarrow a^{3}+a=a\Rightarrow a=0$ hay $f(0)=0$

$y=0:f(x^{3})=x^{2}f(x)$

$\Rightarrow f(x^3+y+f(y))=2y+x^2f(x)=2y+f(x^{3})\Rightarrow f(x+y+f(y))=2y+f(x)$

$y=x:f(2x+f(x))=2x+f(x)$

Suy ra $f(x)=x$

Thử lại,ta thấy thỏa.Vậy $f(x)=x$ là hàm cần tìm.




#451738 Giải hệ phương trình

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 19-09-2013 - 21:42

*Nếu $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+2y+3}=\sqrt{2x+3y+4} & & \\ \sqrt{18x+19y+20}=\sqrt{21x+22y+23} & & \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow x+y+1=0$

 

Từ pt (1) của hệ suy ra:

             

 $2\sqrt{y+2}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{-77}{4} & \\ y=\frac{73}{4} & \end{matrix}\right.$

 

*Trường hợp ngược lại: $x+y+1\neq 0$     (*)

 

Trục căn ở tử suy ra : $\sqrt{x+2y+3}-\sqrt{2x+3y+4}-\sqrt{18x+19y+20}+\sqrt{21x+22y+23}=0$ 

 

$\Rightarrow \sqrt{x+2y+3}+\sqrt{21x+22y+23}=0$ (Vô nghiệm do (*) )

 

Vậy hệ chỉ có nghiệm $ \left\{\begin{matrix}x=\frac{-77}{4} & \\ y=\frac{73}{4} & \end{matrix}\right.$

Nghiệm của bạn k thỏa pt 2,bạn xem lại nhé




#451728 Cho tam giác ABC và điểm P bất kì. Gọi D, E, F là trung điểm BC, CA, AB và lấ...

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 19-09-2013 - 21:04

Cho tam giác ABC và điểm P bất kì. Gọi D, E, F là trung điểm BC, CA, AB và lấy X, Y, Z đối xứng với D, E, F qua P. CMR: AX, BY, CZ đồng quy tại Q nào đó.

Gọi $Q$:$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{PQ}$

$\Rightarrow \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PQ}=-(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PB})=-2\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PX}\Leftrightarrow \overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XQ}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A,X,K}$

Tương tự:$\Rightarrow \overrightarrow{B,Y,Q}$ ; $\overrightarrow{C,Z,Q}$

Suy ra đpcm.




#443663 Tìm tất cả các bộ 4 số có 3 chữ số thỏa mãn các điều kiện

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 17-08-2013 - 16:53

Bài toán 1:Tìm tất cả các bộ 4 số có 3 chữ số thỏa mãn các điều kiện sau:

 

i)Cả 4 số đều khác nhau;

 

ii)Cà 4 số đều bắt đầu từ cùng một số;

 

iii)Tổng của 4 số chia hết cho 3 số trong chúng.

 

Bài toán 2:Tìm

 

a) $\gcd(C_{n}^{k},C_{n+1}^{k},...,C_{n+k}^{k})$

 

b) $\gcd(C_{2n}^{1},C_{2n}^{3},...,C_{2n}^{2n-1})$




#423080 GHPT: $\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=369...

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 02-06-2013 - 10:44

ĐK : $x,y\geq 0$

Bình phương pt(2) liên tiếp 2 lần:

        $ \sqrt{xy}=5y-4x\Leftrightarrow 16x^{2}-41xy+25y^{2}=0$

        $\Leftrightarrow(x-y)(16x-25y)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-y=0(loại) & \\ 16x-25y=0 & \end{bmatrix}$

Thay $x=\frac{25y}{16}$ vào pt (1) được:

$y^{2}=256$ $\Rightarrow y=16\Rightarrow x=25$

Vậy hệ pt có 2 nghiệm $(x;y)$= $  (25;16) $

Sai rồi bạn,kết quả thay vào pt (2) k đúng.Mà bạn cũng chưa loại nghiệm âm

Bài này mình làm ra vô nghiệm,k biết đúng k ^^




#422847 Tìm $minP=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\...

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 01-06-2013 - 17:14

Bài toán 1:Cho $a,b,c$ là 3 số dương và $a\geq b,c$.Tìm min:

$$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$$

 

Bài toán 2:Cho $a,b,c> 0$ là các hằng số và $x,y,z> 0$ là các biến sao cho:$ax+by+cz=xyz$.Tìm $minP=x+y+z$

 

 




#421305 Topic post ảnh người yêu, bạn gái,...

Gửi bởi ducthinh26032011 trong 26-05-2013 - 19:35

 

 


Cái ảnh này của một mem trên diễn đàn (giấu tên):

72865_504613582937373_1833856681_n_zps59

 

923001_512367635495301_1900191063_n_zpse

 

 

i3ioV1HkEWUee.gif

 

Anh thích em rồi đấy cute_smiley75.gif