Winner269

Mình đã xem xét lại và thấy rằng bạn nói đúng,dấu bằng không xảy ra tại tâm.Nếu đúng là dấu bằng giống như bạn nói thì BĐT này chắc chắn là hệ quả của BĐT Vasc:
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$
Quan trọng là làm sao để từ $a^2b+b^2c+c^2a$ mà có được $a^3b+b^3c+c^3a$ mà thôi Cái này có vẻ phải xài C-S

Rất mong các bạn có thể giải bằng phương pháp C-S. Theo mình thì nếu dùng phương pháp lượng giác sẽ rất dài và khó .

Sử dụng 1 bổ đề quen thuộc sau:
$$a^2b+b^2c+c^2a +abc \le \frac{4}{27}(a+b+c)^3$$
Ta có:
$$\frac{36}{a^2b+b^2c+c^2a}+\frac{1}{abc} \ge \frac{36}{\frac{4}{27}-abc}+\frac{1}{abc}=f(abc)$$
Đến đây bạn khảo sát hàm số:$f(t)=\frac{36}{\frac{4}{27}-t}+\frac{1}{t}$ với để ý rằng:
$$abc \overset{AM-GM}{\le}\frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27} \Rightarrow 0<t \le \frac{1}{27}$$

Chắc bạn nhầm rồi đó : Điều đặc biệt của bài toán này đó chính là dấu bằng không xảy ra tại tâm . Trong trường hợp của bạn thì dấu bằng không xảy ra đâu . Mình nghĩ bạn nên xem lại đi, bài toán này không dễ xử thế đâu.

Bạn có thể thử trường hợp x=y=z= 1/3 xem thử cò được không.
Đối với bài toán này thì mình nghĩ với các BDT thông thường thì không thành công được đâu.

Sử dụng 1 bổ đề quen thuộc sau:
$$a^2b+b^2c+c^2a +abc \le \frac{4}{27}(a+b+c)^3$$
Ta có:
$$\frac{36}{a^2b+b^2c+c^2a}+\frac{1}{abc} \ge \frac{36}{\frac{4}{27}-abc}+\frac{1}{abc}=f(abc)$$
Đến đây bạn khảo sát hàm số:$f(t)=\frac{36}{\frac{4}{27}-t}+\frac{1}{t}$ với để ý rằng:
$$abc \overset{AM-GM}{\le}\frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{1}{27} \Rightarrow 0<t \le \frac{1}{27}$$

Các bạn thử trường hợp này xem thế nào nha
$x= \frac{4}{7}. sin(\frac{4\pi }{7})^2 và y= \frac{4}{7}. sin(\frac{2\pi }{7})$^2
$z=\frac{4}{7}. sin(\frac{\pi }{7})$^2

Bài toán 132. Cho các số thực dương sao cho . Chứng minh rằng

( Nguồn gốc của anh Võ Quốc Bá Cẩn )