Kir

$1/$

Cho $a;b;c>0$ thoả $abc=1$. Cmr:
$\frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{2}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{2}{(c+1)^2+a^2+1}\leq 1$

$2/$

Cho $a;b;c>0$. Cmr:
$\frac{b^2c^3}{a^2(b+c)^3}+\frac{c^2a^3}{b^2(c+a)^3}+\frac{a^2c^3}{c^2(a+b)^3}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$

Bài 1: BĐT tương đương: $\sum \frac{2}{a^{2}+2a+2+b^{2}}$

Áp dụng AM-GM ta có: $VT\leq \sum \frac{1}{ab+a+1}$

Dễ dàng chứng minh được: $\sum \frac{1}{ab+a+1}=1$ với abc=1

...

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:

ab+bc+ca+abc=4

Chứng minh rằng:

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

Chứng minh rằng với mọi $0\leq x\leq 1$ ta đều có:

$x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})\leq 16$

Bài này em thấy nhiều rồi nhưng tìm mãi không thấy lời giải

Cho x,y,z >0 và xyz=1.Tìm GTLN của:

P=$\frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}+\frac{1}{y^{2}+2z^{2}+3}+\frac{1}{z^{2}+2x^{2}+3}$

Đặt $f(x;y;z)=(x+y+z)\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{x+z}{(x-z)^2}\right)$.

Không mất tính tổng quát giả sử $z=min\{x;y;z\}$

Ta sẽ chứng minh $f(x;y;z)\geq f(x-z;y-z;0)$

$$\Leftrightarrow (x+y+z)\left(\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\right)\geq (x+y-2z)\left(\frac{x+y-2z}{(x-y)^2}+\frac{y-z}{(y-z)^2}+\frac{x-z}{(z-x)^2}\right)$$

Thật vậy điều này đúng do $x+y+z\geq x+y-2z$ và $$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{z+x}{(z-x)^2}\geq \frac{x+y-2z}{(x-y)^2}+\frac{y-z}{(y-z)^2}+\frac{x-z}{(z-x)^2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{2z}{(x-y)^2}+\frac{2z}{(y-z)^2}+\frac{2z}{(x-z)^2}\geq 0\,\,\,\,\text{(Luôn đúng)}$$

Vậy tóm lại $f(x;y;z)\geq f(x-z;y-z;0)$ hay ta chỉ cần chứng minh bất đăng thức trong trường hợp $z=0$ :

Tương đương : 

$$\frac{x+y}{(x-y)^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{9}{x+y}$$

$$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2}{(x-y)^2}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq 7$$

$$\Leftrightarrow \frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{x^2+y^2}{xy}\geq 6$$

$$\Leftrightarrow \frac{4xy}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{xy}\geq 4$$

Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM. Ta có điều phải chứng minh $\square$

Bác có cách nào chứng minh bất đẳng thức theo kiểu phổ thông hơn đc không? Em chưa có hiểu phần dồn biến cho lắm

Cho x,y,z là các số thực không âm phân biệt. CMR:

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{z+x}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Xét phương trính

Đặt x+y=a, xy=b

Ta có phương trình tương đương:

$a^{2}-2b+\frac{2b}{a}=1 \Leftrightarrow a^{3}-2ab+2b=a\Leftrightarrow a(a-1)(a+1)=2b(a-1)$

Bài 30: Cho abc=1

Tìm GTNN của: $\frac{1}{(a+b)^{3}}+\frac{1}{(b+c)^{3}}+\frac{1}{(c+a)^{3}}$

Giải bất phương trình:

$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$

Cho x,y,z >0 mà xyz=1. Tìm GTLN của:

P=$\sum \frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3}$

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{a+b}{ab+c^{2}}\leq \sum \frac{1}{a}$

Số $2^{32}+1$ có phải là số nguyên tố không?

 

Mong mọi người giải thích kỹ giúp ạ

là hợp số vì nó chia hết cho 641

b)Gọi điểm cố định M(x₀,y₀) mà (d) đi qua.

Ta có pt hoành độ giao điểm:y₀=(m-1)x₀-(m-1)$\Leftrightarrow m(x_{0}-1)-(x_{0}+y_{0}-1)=0$

Vì pt có nghiệm với mọi m nên:$\left\{\begin{matrix}x_{0}-1=0 \\ x_{0}+y_{0}-1=0 \end{matrix}\right.$

                                                $\left\{\begin{matrix}x_{0}=1 \\ y_{0}=0 \end{matrix}\right.$

Vậy (d) luôn đi qua điểm M (1;0) cố định 

cho $5a^{2}+5b^{2}+8ab=18$

tìm max,min của $M=a^{2}+b^{2}$

pt$\Leftrightarrow$$9a^{2}+9b^{2}=18+4a^{2}+4b^{2}-8ab$

$\Leftrightarrow 9(a^{2}+b^{2})=18+4(a-b)^{2}\geqslant 18$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geqslant 2$

Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1$hay a=b=-1

pt$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+4(a+b)^{2}=18$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=18-4(a+b)^{2}$$\leqslant 18$

Dấu "="$\Leftrightarrow a=3;b=-3 hay a=-3;b=3