bastian schweinsteiger

chém câu 5 giả sử 7 điểm đã cho là A B C D E F và AB=h vẽ $\left ( A;h \right )$ và $\left ( B;h \right )$ cắt nhau tại H và K $\Rightarrow$ giao của 2 đường tròn chứa 7 điểm đã cho Đặt diện tích phần này là S $\Rightarrow \Rightarrow S= \frac{h^{2}\left ( 4\Pi -3\sqrt{3} \right )}{6}$ mà có 4 tam giác rời nhau $\Rightarrow dpcm$

gọi $D$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABDC$ ta sẽ CM $A,O,D$ thẳng hàng
Đặt $\frac{BM}{BC}=\frac{BP}{BA}=\frac{AN}{AC}=k\Rightarrow \frac{AP}{AB}=1-k$
Đặt $\vec{AB}=\vec{u}$,$\vec{AC}=\vec{v}\Rightarrow \vec{BD}=\vec{v}\Rightarrow \vec{BM}=k\vec{BC}=k(\vec{AC}-\vec{AB})=-k\vec{u}+k\vec{v}$
Đặt$\vec{BO}=x\vec{BN}=x(\vec{AN}-\vec{AB})=-x\vec{u}+xk\vec{v}$
$\vec{CO}=y\vec{CP}\Rightarrow \vec{BO}=\vec{BC}+y(\vec{AP}-\vec{AC})=\vec{AC}-\vec{AB}+y(1-k)\vec{AB}-y\vec{AC}=(y-yk-1)\vec{u}+(1-y)\vec{v}$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &-x=y-yk-1 & \\ &xk=1-y & \end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{k}{k^{2}-k+1}\Rightarrow \vec{BO}=\frac{-k}{k^{2}-k+1}\vec{u}+\frac{k^{2}}{k^{2}-k+1}\vec{v}=\frac{-k(\vec{u}-\vec{v})}{k^{2}-k+1}+\frac{(k^{2}-k)\vec{v}}{k^{2}-k+1}=\frac{1}{k^{2}-k+1}\vec{BM}+\frac{k^{2}-k}{k^{2}-k+1}\vec{BD}$
Do$\frac{1}{k^{2}-k+1}+\frac{k^{2}-k}{k^{2}-k+1}=1\Rightarrow Q.E.D$

2cho a,b,c dương $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3$ CM
$\frac{1}{1+\sqrt{(a+b)^3+abc}}+\frac{1}{1+\sqrt{(b+c)^3+abc}}+\frac{1}{1+\sqrt{(c+a)^3+abc}}\leq \frac{3}{4}$
(mọi người cho mình xin lời gải bài 2 nhé,bài 1 mình có giải ròi post lên cho mọi người thư giãn )

Ta có $(a+b)^{3}+abc\geq 4ab(a+b)+abc\doteq ab(4a+4b+c)\Rightarrow \frac{1}{1+\sqrt{(a+b)^{3}+abc}}\leq \frac{1}{1+\sqrt{ab(4a+4b+c)}}\leq \frac{1}{16}(1+\frac{3}{\sqrt{ab(4a+4b+c)}})\leq \frac{1}{16}(1+\frac{9}{2}(\frac{1}{9ab}+\frac{1}{4a+4b+c}))\leq \frac{1}{16}+\frac{1}{32ab}+\frac{1}{288}(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow VT \leq \frac{3}{16}+\frac{1}{32}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+\frac{1}{32}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{3}{4}\Rightarrow Q.E.D$

BĐT$\Leftrightarrow 4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}c}{4-bc}$
Do $a+b+c=3\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq 4\Rightarrow 4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq abc$
Ta cần CM $abc\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}c}{4-bc}\Leftrightarrow 1\geq \sum \frac{ab}{4-bc}\Leftrightarrow 64-32(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)^{2}\geq abc(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)$
mà $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq 4$
Ta cần CM $64-32q+4q^{2}\geq 4r \Leftrightarrow q^{2}-8q+16\geq r$
Ta có $q^{2}\geq 9r\Rightarrow r\leq \frac{q^{2}}{9}$
Ta cần CM $\frac{8}{9}q^{2}-8q+16\geq 0\Leftrightarrow (q-3)(q-6)\geq 0$
luôn đúng do $q\leq 3$

Đặt $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$
BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{4-xy}+\frac{1}{4-yz}+\frac{1}{4-zx}\leq 1\Leftrightarrow \frac{\sum (4-xy)(4-yz)}{(4-xy)(4-yz)(4-zx)}\leq 1\Leftrightarrow \sum (16-4xy-4yz+xy^{2}z)\leq 64-16(xy+yz+zx)+4xyz(x+y+z)-x^{2}y^{2}z^{2}\Leftrightarrow 8(xy+yz+zx)+x^{2}y^{2}z^{2}\leq 16+3xyz(x+y+z)$
theo bdt schur ta có $x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq x^{2}(y+z)+y^{2}(z+x)+z^{2}(x+y)\Leftrightarrow (x+y+z)(x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz)\geq (x+y+z)(x^{2}(y+z)+y^{2}(z+x)+z^{2}(x+y))\Leftrightarrow 3+3xyz(x+y+z)\geq (xy+yz)^{2}+(yz+zx)^{2}+(zx+xy)^{2}\Leftrightarrow 15+3xyz(x+y+z)\geq (xy+yz)^{2}+4+(yz+zx)^{2}+4+(zx+xy)^{2}+4\geq 8(xy+yz+zx)\Leftrightarrow 16+3xyz(x+y+z)\geq 8(xy+yz+zx)+1\geq 8(xy+yz+zx)+x^{2}y^{2}z^{2}\Rightarrow$ĐPCM