bastian schweinsteiger

chém câu 5 giả sử 7 điểm đã cho là A B C D E F và AB=h vẽ $\left ( A;h \right )$ và $\left ( B;h \right )$ cắt nhau tại H và K $\Rightarrow$ giao của 2 đường tròn chứa 7 điểm đã cho Đặt diện tích phần này là S $\Rightarrow \Rightarrow S= \frac{h^{2}\left ( 4\Pi -3\sqrt{3} \right )}{6}$ mà có 4 tam giác rời nhau $\Rightarrow dpcm$

gọi $D$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABDC$ ta sẽ CM $A,O,D$ thẳng hàng
Đặt $\frac{BM}{BC}=\frac{BP}{BA}=\frac{AN}{AC}=k\Rightarrow \frac{AP}{AB}=1-k$
Đặt $\vec{AB}=\vec{u}$,$\vec{AC}=\vec{v}\Rightarrow \vec{BD}=\vec{v}\Rightarrow \vec{BM}=k\vec{BC}=k(\vec{AC}-\vec{AB})=-k\vec{u}+k\vec{v}$
Đặt$\vec{BO}=x\vec{BN}=x(\vec{AN}-\vec{AB})=-x\vec{u}+xk\vec{v}$
$\vec{CO}=y\vec{CP}\Rightarrow \vec{BO}=\vec{BC}+y(\vec{AP}-\vec{AC})=\vec{AC}-\vec{AB}+y(1-k)\vec{AB}-y\vec{AC}=(y-yk-1)\vec{u}+(1-y)\vec{v}$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &-x=y-yk-1 & \\ &xk=1-y & \end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{k}{k^{2}-k+1}\Rightarrow \vec{BO}=\frac{-k}{k^{2}-k+1}\vec{u}+\frac{k^{2}}{k^{2}-k+1}\vec{v}=\frac{-k(\vec{u}-\vec{v})}{k^{2}-k+1}+\frac{(k^{2}-k)\vec{v}}{k^{2}-k+1}=\frac{1}{k^{2}-k+1}\vec{BM}+\frac{k^{2}-k}{k^{2}-k+1}\vec{BD}$
Do$\frac{1}{k^{2}-k+1}+\frac{k^{2}-k}{k^{2}-k+1}=1\Rightarrow Q.E.D$

BĐT$\Leftrightarrow 4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}c}{4-bc}$
Do $a+b+c=3\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq 4\Rightarrow 4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq abc$
Ta cần CM $abc\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}c}{4-bc}\Leftrightarrow 1\geq \sum \frac{ab}{4-bc}\Leftrightarrow 64-32(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)^{2}\geq abc(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)$
mà $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq 4$
Ta cần CM $64-32q+4q^{2}\geq 4r \Leftrightarrow q^{2}-8q+16\geq r$
Ta có $q^{2}\geq 9r\Rightarrow r\leq \frac{q^{2}}{9}$
Ta cần CM $\frac{8}{9}q^{2}-8q+16\geq 0\Leftrightarrow (q-3)(q-6)\geq 0$
luôn đúng do $q\leq 3$

ĐKXĐ $x^{2}+3x+1\neq 0$
ta có $x^{4}-7x^{2}+1=(x^{2}+1)^{2}-9x^{2}=(x^{2}+3x+1) (x^{2}-3x+1)\Rightarrow -\sqrt{3}\frac{x^{4}-7x^{2}+1}{x^{2}+3x+1}=-\sqrt{3}(x^{2}-3x+1)$
PT $\Leftrightarrow -\sqrt{3}(x^{2}-3x+1)=\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$
xét $x=0$ ko phải là nghiệm
xét $x\neq 0$
PT$\Leftrightarrow \frac{-\sqrt{3}(x^{2}-3x+1)}{x}=\frac{\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}{x}\Leftrightarrow -\sqrt{3}(x+\frac{1}{x})+3\sqrt{3}=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1}$
đặt $x+\frac{1}{x}=a\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=a^{2}-2$
PT trở thành $-\sqrt{3}a+3\sqrt{3}=\sqrt{a^{2}-1}\Rightarrow a^{2}-1=3a^{2}+27-18a\Leftrightarrow 2a^{2}-18a+28=0\Leftrightarrow a^{2}-9a+14=0\Leftrightarrow a=2,7$

chuẩn hóa cho $p=1$
BDT trở thành $(1-3q)q+(5q-1)r\leq \frac{1}{12}$
Nếu $q\leq \frac{1}{5}\Rightarrow (1-3q)q+(5q-1)r\leq \frac{1}{3}3q(1-3q)\leq \frac{1}{3}(\frac{1-3q+3q}{2})^{2}\doteq \frac{1}{12}$
Nếu $q> \frac{1}{5}\Rightarrow (1-3q)q+(5q-1)r\leq (1-3q)q+(5q-1)\frac{q}{9}\doteq \frac{1}{36}(-88q^{2}+32q-3)+\frac{1}{12}< \frac{1}{12}$
$\Rightarrow dpcm$

$P=\sum \frac{1}{\sqrt{6-a^{2}}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{6-a^{2}}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(6-a^{2}+6-b^{2}+6-c^{2})}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(18-(a^{2}+b^{2}+c^{2}))}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(18-\frac{(a+b+c)^{2}}{3})}}\geq \frac{9}{\sqrt{3(18-3)}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$

Cho 3 số dương x,y,z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0,1]
Chứng minh rằng:
$ 3 \geq 2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x) $

$(1-y)(1-x^{2})\geq 0\Rightarrow 1-y-x^{2}+2x^{3}\geq 2x^{3}-x^{2}y$
tương tự $1-z-y^{2}+2y^{3}\geq 2y^{3}-y^{2}z,1-x-z^{2}+2z^{3}\geq 2z^{3}-z^{2}x$
$\Rightarrow 2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3-x-y-z-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\leq 3$
do $x^{3}\leq x^{2},x^{3}\leq x$

Trầm quá , một bài nhẹ để mọi người lấy lại khoan khoái.
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$
CMR,
1)$abc\leq \frac{1}{8}$ (cái này có nhiều rồi)
2) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a+b+c)$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 4(a+b+c)\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 4abc(a+b+c)$
mà $abc\leq \frac{1}{8}$
ta cần CM $2(ab+bc+ca)\geq a+b+c\Leftrightarrow 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$ (1)
mà $2=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\Rightarrow 1=\frac{1}{1+1+2a}+\frac{1}{1+1+2b}+\frac{1}{1+1+2c}\leq \frac{1}{9}(2+\frac{1}{2a}+2+\frac{1}{2b}+2+\frac{1}{2c})=\frac{2}{3}+\frac{1}{18}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\Rightarrow 18\leq 12+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 6$
$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\Rightarrow Q.E.D$

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$
$x+y+z+1=4xyz\Rightarrow 2x+2y+2z+2=8xyz$
$\Rightarrow \sum (2x+1)(2y+1)=(2x+1)(2y+1)(2z+1)$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+1}=1$
Đặt $\frac{1}{2x+1}=a$; $\frac{1}{2y+1}=b$ ; $\frac{1}{2z+1}=c$
$\Rightarrow a+b+c=1$ ; $x=\frac{1-a}{2a}$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{(b+c)(c+a)}{4ab}\geq \sum \frac{b+c}{2a}$
$ \Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)}{ac}+\frac{(b+c)(c+a)}{ba}+\frac{(c+a)(a+b)}{cb} \geq 2( \frac{a+b}{c}+ \frac{b+c}{a}+ \frac{c+a}{b})$
$\Leftrightarrow \sum a(a+b)(a+c) \geq \sum 2ab(a+b)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq \sum ab(a+b)$ (Schur)

2) cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1, CMR
$\sum \frac{1}{a+b+1}\leq 1$

Dặt $a=x^{3},b=y^{3},c=z^{3}\Rightarrow xyz=1$
$\sum \frac{1}{a+b+1}=\sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}\leq \sum \frac{1}{xy(x+y)+xyz}\leq \sum \frac{z}{x+y+z}=1$

Bài tập :
Cho $\frac{x}{x^{2}-x+1}=a$ . Tính giá trị biểu thức : $A = \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}$

$\frac{x}{x^{2}-x+1}=a\Rightarrow x-1+\frac{1}{x}=\frac{1}{a}\Rightarrow x+1+\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+2\Rightarrow \frac{x^{2}+x+1}{x}=\frac{2a+1}{a}\Rightarrow \frac{x}{x^{2}+x+1}= \frac{a}{2a+1}\Rightarrow A=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}=\frac{x^{2}+x+1}{x}.\frac{x^{2}-x+1}{x}=\frac{1}{a}..\frac{2a+1}{a}=\frac{2a+1}{a^{2}}$

Bài 2: Cho x,y dương thỏa mãn:($\sqrt{x}$+1)($\sqrt{y}$+1) $\geq$ 4
Tìm Min P=$\frac{x^{2}}{y}$ + $\frac{y^{2}}{x}$

$P=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq \frac{(x+y)^{2}}{x+y}=x+y$
mà $4\leq (\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\leq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2)^{2}}{4}\leq \frac{(\frac{x+1+y+1}{2}+2)^{2}}{4}\Leftrightarrow \frac{x+y}{2}+3\geq 4\Leftrightarrow x+y\geq 2\Rightarrow P\geq 2$

Bài 469: Cho $a,b,c$ Cho $a,b,c$ là 3 cạnh một tam giác còn $x,y,z$ là 3 số thực thỏa mãn $ax+by+cz=0$. Chứng minh rằng $xy+xz+yz\leq 0$

Từ $ax+by+cz=0\Rightarrow z=-\frac{ax+by}{c}$
$BĐT\Leftrightarrow xy-\frac{ax+by}{c}(x+y)\leq 0\Leftrightarrow cxy-(ax+by)(x+y)\leq 0\Leftrightarrow ax^{2}+xy(a+b-c)+by^{2}\geq 0(2)$
Nếu$y=0$ thì(2)$\Leftrightarrow ax^{2}\geq 0\Rightarrow$ (2) đúng
Nếu$y\neq 0$ thì (2)$\Leftrightarrow a(\frac{x}{y})2+(a+b-c)\frac{x}{y}+b(a> 0)$
xét tam thức bâc 2 $f(\frac{x}{y})= a(\frac{x}{y})2+(a+b-c)\frac{x}{y}+b(a> 0)\Rightarrow \Delta =(a+b-c)^{2}-4ab=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ca$
do $a+b> c\Rightarrow ac+bc> c^{2}$
tương tự $ab+bc> b^{2},ab+ac> a^{2}\Rightarrow 2(ab+bc+ca)> a^{2}+b^{2}+c^{2}\Rightarrow \Delta < 0\Rightarrow f(\frac{x}{y})> 0\Rightarrow$ bđt đúng

Bài 474: Cho các số dương a, b, c, d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$. CMR: $abcd\leq \frac{1}{81}$

$1\geq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\Rightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$
Tương tự $\frac{1}{1+b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(1+a)(1+c)(1+d)}}$
$\frac{1}{1+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(1+a)(1+b)(1+d)}}$
$\frac{1}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
nhân vế theo vế suy ra dpcm

Nếu đề là di chuyển mình xin chém luôn
Do$N,I$ là trung điểm của $BC,EF$$\Rightarrow \widehat{OIN}=\widehat{ONF}$
Gọi K là giao của $BC,EF$$\Rightarrow \widehat{ONK}+\widehat{OIK}=180^{\circ}\Rightarrow ONKInt\Rightarrow$ tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ONI\in$ trung trực của $KI$
Mặt khác $AK.AI=AN.AO=AE^{2}=AB.AC\Rightarrow$ K cố định $\Rightarrow$tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ONI\in$ trung trực của $KI$ cố định