duongchelsea

Chứng minh rằng các biểu thức sau độc lập vs $x$:
a) $3(sin^8x - cos^8x)+4(cos^6x - 2 sin^6x) + 6 sin^4x$
b) $cos^2x.cot^2x+3cos^2x-cot^2x+2sin^2x$
c) $\frac{sin^4x+3cos^4x-1}{sin^6x+cos^6x+3cos^4x-1}$
__________
@Joker: Hoàng Dương chú ý tiêu đề nhé

Bài toán: Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki để chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z=1$
$$CMR: \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$$
b) Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z=\sqrt{3}$. Tìm GTNN của biểu thức:
$$P=\sqrt{223+x^2}+\sqrt{223+y^2}+\sqrt{223+z^2}$$

NLT: Bạn nêu rõ áp dụng Minicovsky thì quá đơn giản rồi =.= !
___

Bài toán: Áp dụng bất đẳng thức $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ để chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1$ với $a,b,c>0$ và $abc=1$
b) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$ với $a,b,c\geq 0$

P/s: Mọi người cố gắng giải bằng cách áp dụng bổ đề nhé!

Bài toán:
Bên trong tam giác nhọn $ABC$ lấy một điểm $I$, gọi $M$ là số lớn nhất trong các khoảng cách từ $I$ tới $3$ đỉnh $A,B,C$, gọi $m$ là số nhỏ nhất trong các khoảng cách từ $I$ tới 3 cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng: $M\geq 2m$

Có bài toán vui này cho mọi người đây ^.^
Bài toán:
Cho $\large a+b=c$. Tính $\large x$
P/s: Tất cả các kết luận được đưa ra phải dựa trên các lập luận.