Đến nội dung

aries34

aries34

Đăng ký: 17-08-2012
Offline Đăng nhập: 26-10-2012 - 15:33
-----

$\left | \underset{MA+}{\rightarrow}\under...

05-10-2012 - 03:20

Bài 1: Cho $\Delta ABC$, hai điểm $M, N$ thay đổi sao cho:
$\underset{MN = }{\rightarrow} \underset{4MA+}{\rightarrow} \underset{MB-}{\rightarrow} \underset{2MC}{\rightarrow}$
CMR: đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ tìm điểm $M$ thuộc $(O)$ sao cho $\left | \underset{MA+}{\rightarrow} \underset{MB-}{\rightarrow} \underset{MC}{\rightarrow} \right |$ lớn nhất, nhỏ nhất.

Định lý con nhím

22-09-2012 - 21:17

Cho đa giác lồi $A_{1}A_{2}...A_{n}$ và các véc tơ đơn vị $\overrightarrow{e_{i}}(1\leq i\leq n)$ theo thứ tự vuông góc với $\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}$ (xem $A_{n+1} \equiv A_{1}$), hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng:
$A_{1}A_{2}\overrightarrow{e_{i}}+A_{2}A_{3}\overrightarrow{e_{2}}+...+A_{n}A_{1}\overrightarrow{e_{n}}=0$

p.s: mong mn giải thích kĩ giùm mình nhé.

Phần khó hiểu của 2 bài toán về BĐT Chebyshev

18-09-2012 - 02:02

Bài 1: Với a, b, c là các số thực không âm cho trước. Chứng minh:
$\frac{a^{2}-bc}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\geq 0$

Em làm thế này:
Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ số$(a^{2}-bc , b^{2}-ca , c^{2}-ab)$ và $(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}},\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}},\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})$
ta có:
$VT \geq \frac{1}{3}(a^{2}-bc + b^{2}-ca + c^{2}-ab)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})\geq 0$$\geq \frac{1}{3}(a^{2}-bc + b^{2}-ca + c^{2}-ab)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})\geq 0$ (đúng)

Nhưng mà: xét 2 bộ số ta dùng bđt, với $a\geq b\geq c$
thì:
$a^{2}-bc \geq b^{2}-ca \geq c^{2}-ab$
$\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}\leq \frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}\leq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}$
Chúng đơn điệu ngược chiều trên R. Vậy thì BĐT phải đổi chiều
$VT\leq \frac{1}{3}(a^{2}-bc + b^{2}-ca + c^{2}-ab)(\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2a^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+2b^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}})\geq 0$
như vậy ngược dấu mất rồi.

Bài 2: Chứng minh với mọi a, b, c không âm.
$\sqrt{a^{2}+8bc}+\sqrt{b^{2}+8ca}+\sqrt{c^{2}+8ab}\leq 3(a+b+c)$

Hướng dẫn làm như sau:
$3a-\sqrt{a^{2}+8bc}=\frac{8(a^{2}-bc)}{3a+\sqrt{a^{2}+8bc}}=\frac{8(a^{2}-bc)(b+c)}{(3a+\sqrt{a^{2}+8bc})(b+c)}$
Suy ra:$VT\geq \frac{8}{3}((a^{2}-bc)(b+c)+(b^{2}-ac)(c+a)+(c^{2}-ba)(a+b))(\frac{1}{(3a+\sqrt{a^{2}+8bc})(b+c)}+\frac{1}{(3b+\sqrt{b^{2}+8ca})(c+a)}+\frac{1}{(3c+\sqrt{c^{2}+8ab})(a+b)})=0$

Vậy nên xét tính đơn điệu như thế nào ????

P.S:
Đấy là 2 bài BĐT trong Sáng tạo BĐT của Phạm Kim Hùng phần Kĩ thuật phân tách Chebyshev.
mong các anh chị giúp đỡ cho em thêm về phần BĐT Chebyshev này. Công thức ko khó để áp dụng như khi xét mấy bộ số này em thấy rất rắc rối.

Chứng minh: $\frac{1}{9-ab}+\frac{1}{...

18-09-2012 - 00:11

Cho các số dương a, b, c. $a+b+c=3$. chứng minh:
$\frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-bc}+\frac{1}{9-ca}\leq \frac{3}{8}$

p.s: không biết bài này có thể giải theo AM-GM không các bạn nhỉ?

Cách giải sai ở đâu?

16-09-2012 - 20:50

Bài toán: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn $abc=1$
Chứng minh:
$\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}+\frac{c}{c^{2}+2}\leq 1$

Mình làm như sau:.
Ta có:
$\frac{a}{a^{2}+2}+\frac{b}{b^{2}+2}\leq 1-\frac{c}{c^{2}+2}=\frac{c^{2}-c+2}{c^{2}+2} => 2\sqrt{\frac{ab}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}}\leq \frac{c^{2}-c+2}{c^{2}+2}$
Tương tự:
$$2\sqrt{\frac{bc}{(b^{2}+2)(c^{2}+2)}}\leq \frac{a^{2}-a+2} {a^{2}+2} $$
$$2\sqrt{\frac{ca}{(c^{2}+2)(a^{2}+2)}}\leq \frac{b^{2}-b+2}{b^{2}+2}$$
Nhân vế theo vế ta có:
$$\frac{8abc}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)}\leq \frac{(a^{2}-a+2)(b^{2}-b+2)(c^{2}-c+2)}{a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)}$$

$$\Rightarrow 8\leq a^{2}-a+2)(b^{2}-b+2)(c^{2}-c+2) (a^{2}-a+2)(b^{2}-b+2)(c^{2}-c+2)\geq (a+1)(b+1)(c+1)\geq 8$$(đúng)

Điều mình băn khoăn ở đây là các phép biến đổi trên có tương đương ko?
các bạn xem giùm nhé.

p.s: Phiền BQT sửa lỗi latex giùm mình nhé. không hiểu sai ở đâu mà máy mãi ko thấy hiện công thức @@

-----------------------------------------------------
Bạn hãy gõ tất cả = font Arial và cỡ chữ 18.Sau đó hãy bôi đen toàn bài và sửa chữ,font chữ bạn nhé.Tránh việc tr0ng 1 bài viết có 2 cỡ chữ hoặc font chữ :)