supermember

Bài này supermember giải hơi dài, không rõ là các bạn khác giải thế nào. Chắc do lâu ngày không làm Toán nên chỉ làm theo " tiềm thức " thôi. Thôi thì supermember cứ trình bày lời giải chân quê bình dị ra ở đây, anh em có gì thì vào góp ý.

Tưởng tượng số có $15$ chữ số như $1$ dãy gồm $15$ ô vuông, trong đó ta chọn các số từ tập $ A = \{ 1;2;....; 9 \}$ để điền vào các ô vuông này. $1$ chữ số có thể xuất hiện nhiều lần trong dãy.

Thay vì xét bài Toán với các chữ số thuộc tập $B =  \{ 3; 4; 5; ...; 9 \}$, ta đại diện tất cả các chữ số lớn hơn $2$  thuộc tập $B$ bởi $1$ số $a$.
Sau khi giải bài Toán ở dạng đơn giản hơn (chỉ gồm số $a$), ta sẽ dùng quy tắc nhân để tính ra kết quả đúng của bài toán tổng thể.

Gọi  $x_1 ; x_2;...; x_5$ là số thứ tự vị trí của $5$ số $a$ này trong $1$ dãy  $15$ chữ số thỏa yêu cầu bài Toán.

 

Thì do có tổng cộng $10$ chữ số khác $a$ trong dãy này nên ta hiển nhiên có phương trình:

 

$ (x_1 -1) + (x_2 - x_1 -1) +  (x_3 - x_2 -1) + (x_4 - x_3 -1)  + (x_5 - x_4 -1) + (15-x_5 ) =10$

 

Tương đương với $  (x_1 -1) + (x_2 - x_1 -2) +  (x_3 - x_2 -2) + (x_4 - x_3 -2)  + (x_5 - x_4 -2) + (15-x_5 ) =6$  $ (*)$

Số cách chọn ra vị trí cho 1 bộ $5$ số $a$ này chính là số bộ nghiệm nguyên dương $(x_1; x_2; ...; x_5)$  của $(*)$, thỏa $ 1 \leq x_1 <x_2 <... < x_5 \leq 15$ và $ x_{i+1} - x_{i} \geq 2$ với mọi $ i = \overline{1;4}$ . Ta gọi số bộ nghiệm này là $\alpha$

 

Do giả thiết bài Toán, $2$ số $a$ không được đứng kề nhau, nên điều đó tương đương với:

 

Tất cả các số $ (x_2 - x_1 -2) ;  (x_3 - x_2 -2) ; (x_4 - x_3 -2)  ; (x_5 - x_4 -2) $ đều là số nguyên không âm.

Ta đặt ẩn phụ: $ y_1 = x_1 -1 ; y_2 = x_2 - x_1 -2 ; y_3 = x_3 - x_2 -2; y_4 = x_4 - x_3 -2; y_5 = x_5 - x_4 -2; y_ 6 = 15 - x_5$ thì hiển nhiên $ y_1 ; y_2 ; ... ; y_6$ đều là những số nguyên không âm và phương trình $(*)$ trở thành:

 

$ y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 6$ $(**)$

 

Rõ ràng thì  số bộ nghiệm nguyên  không âm $ (y_1 ; y_2 ; y_3 ; y_4 ; y_5 ; y_6)$  của $(**)$ cũng chính bằng  $\alpha$.

Nên để tính $\alpha$ thì ta chỉ cần đi tính số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình $(**)$.

 

Ta thấy ngay là số bộ nghiệm không âm của $(**)$ chính là bằng hệ số $x^6$ trong khai triển đa thức $ (1+x+x^2 +...+ x^6)^6$

Ta nếu biết công cụ hàm sinh thì đúng là tính cái này rất nhanh, tuy nhiên nếu không biết hàm sinh thì có thể làm cách đơn giản hơn như sau:

ta ký hiệu $ [x^n] f(x)$ là hệ số của $x^n$ trong khai triển đa thức $f(x)$

 

Như thế thì: $ [x^6] (1+x+x^2 +...+ x^6)^6  =  [x^6] \left( (1+x+x^2) +x^3 (1+x+x^2+x^3) \right)^6  $ 

 

$ = [x^6](1+x+x^2)^6 + 6 [x^6] \left( (1+x+x^2)^5  \cdot x^3 \cdot (1+x+x^2+x^3) \right) + 15 [x^6] \left( (1+x+x^2)^4 \cdot x^6 \cdot (1+x+x^2+x^3)^2 \right) $

 

$ =  [x^6] \left( (1+x)+x^2 \right)^6  + 6 [x^3] \left( (1+x+x^2)^5 \cdot (1+x+x^2+x^3) \right) +15$ $(1)$
 

Ta sẽ đi tính từng phần nhỏ:

$ [x^6] \left( (1+x)+x^2 \right)^6 =  [x^6](1+x)^6 + 6  [x^6](1+x)^5 x^2 +  15  [x^6](1+x)^4 x^4 +  20 [x^6](1+x)^3 x^6$

 

$ = 1 +  6  [x^4](1+x)^5 + 15  [x^2](1+x)^4 + 20 [x^0](1+x)^3$

 

$ \implies [x^6] \left( (1+x)+x^2 \right)^6 = 1 + 30 + 90 + 20 = 141$  $(2)$

$ [x^3] \left( (1+x+x^2)^5 \cdot (1+x+x^2+x^3) \right) =   [x^3](1+x+x^2)^6 +  [x^3] \left( (1+x+x^2)^5 \cdot x^3 \right)$

 

$ = 1 +  [x^3] \left( (1+x) +x^2 \right)^6 = 1 +  [x^3](1+x)^6 + 6 [x^3] \left( (1+x)^5 \cdot x^2 \right)$

 

$ = 1 +  20 +  6 [x^1] (1+x)^5 = 1 +  20 +  6.5  $

 

$ \implies  [x^3] \left( (1+x+x^2)^5 \cdot (1+x+x^2+x^3) \right) = 51$ $(3)$

 

Từ $(1); (2); (3)$ , suy ra:

 

$ \alpha =  141 + 6 \cdot 51 + 15 =462$

(Thực chất nếu dùng hàm sinh thì tính ra ngay $\alpha= \binom{11}{5}$ )

Bài Toán đến đây coi như xong.

Vì việc thiết kế $1$ dãy thỏa đề sẽ gồm các bước sau:

Bước $1$, chọn vị trí cho $5$ số lớn hơn $2$ trong dãy, theo như tính toán ở trên, có $ \binom{11}{5}$ (cách chọn)

Bước  $2$, chọn ra $ 5$ số khác nhau từ tập $ B =  \{ 3; 4; 5; ...; 9 \}$ để thay vào các vị trí số $a$ này, có $ \binom{7}{5}$ (cách chọn)

Do tập $B$ có $7$ phần tử phân biệt.

Bước $3$  Do mỗi $1$ cách hoán vị  bộ $5$ số vừa chọn ở bước $2$ sẽ cho ra $1$ dãy số gồm $15$ chữ số thỏa đề  khác nhau, nên ta cần lưu ý đến số hoán vị của bộ $5$ số này, chính bằng $5!$ (cách hoán vị)

 

Bước $4$ Chọn ra $5$  vị trí để điền các số $1$ trong $10$ vị trí còn lại, có $ \binom{10}{5}$ (cách chọn)

Theo quy tắc nhân, số bộ số thỏa đề bằng:

$  \binom{11}{5} \cdot  \binom{7}{5} \cdot 5! \cdot  \binom{10}{5} = 293 388 480$

Bài Toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.

Đáp án chính thức:

Xét $ A = \frac{ 5ab(a^2 +b^2 - 2)}{ 5ab-1} = \frac{ a^2 (5ab-1) +b^2 (5ab-1) + a^2 +b^2 - 2ab}{ 5ab-1} =  a^2 + b^2 + \frac{(a-b)^2}{ 5ab-1}$

Do đó : $  A = \frac{ 5ab(a^2 +b^2 - 2)}{ 5ab-1}$ là số nguyên dương khi và chỉ khi $\frac{(a-b)^2}{ 5ab-1}$ là số nguyên không âm $(*)$

 

Xét phương trình : $ \frac{(a-b)^2}{ 5ab-1} =k$ với $k$ là  $1$ hằng  số nguyên không âm $(1)$

 

Do vai trò $a \ ; \ b$ là như nhau nên từ nay, không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét đến trường hợp $ a \geq b$

 

$ (1)$ tương đương với: $ a^2 - (5bk + 2b) a + b^2 +k =0$ $(2)$

 

Coi $(2)$ là phương trình bậc $2$ ẩn $a$, $b$ là tham số.

 

Theo giải thiết bài toán, thì do tồn tại cặp số $(a; b)$ thỏa $(2)$ nên theo nguyên lý cực hạn, ta có thể chọn ra bộ số $(a_0 ; b_0)$  thỏa $(2)$ sao cho tổng $ a_0 + b_0 $ đạt giá trị nhỏ nhất có thể. $(3)$

 

Theo định lý Viette thì ngoài nghiệm $a_0$, $(2)$ sẽ còn có nghiệm $a_1$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a_1 = 5b_0 k +2b_0 -a_0 \\ a_1 = \frac{b_0^{2}+k}{a_0} \end{matrix}\right.$

 

Mà từ đây ta dễ thấy $a_1$ cũng phải là số nguyên dương.

Theo đó, dễ thấy  cặp số nguyên dương $(a_1; b_0)$ cũng thỏa $(2)$ và từ cách chọn ra bộ số $(a_0 ; b_0)$ thì hiển nhiên:

$ a_1 + b_0 \geq a_0 + b_0 $

$ \implies  a_1 \geq a_0  \implies  \frac{b_0^{2}+k}{a_0} \geq a_0  \implies  k \geq a^{2}_0 -  b^{2}_0$
 
$\implies  \frac{(a_0 -b_0)^2}{ 5a_0 b_0-1} \geq a^{2}_0 -  b^{2}_0$ $(4)$

Đến đây, ta thấy là không thể xảy ra trường hợp $a_0 > b_0$ vì nếu $  a_0 > b_0$ thì từ $(4)$ suy ra:

$  \frac{a_0 -b_0}{ 5a_0 b_0-1} \geq a_0 +  b_0 \implies a_0 -b_0 \geq (a_0 +  b_0) ( 5a_0 b_0-1)$

Điều này không thể xảy ra do $ (a_0 +  b_0) ( 5a_0 b_0-1) \geq 4 (a_0 +  b_0) > a_0 - b_0$

 

Do đó, chỉ có thể xảy ra trường hợp $a_0 = b_0$. Suy ra:  $k=0$.

Tức là $ k= \frac{(a-b)^2}{ 5ab-1}$ là số nguyên không âm khi và chỉ khi $ a=b$ $(**)$

 

Từ $ (*); (**)$, ta kết luận:

 

$  A = \frac{ 5ab(a^2 +b^2 - 2)}{ 5ab-1}$ là số nguyên dương khi và chỉ khi $a=b$ (đpcm)
 
 

Chấm điểm:

1. trantiennguyen: Bài làm ý tưởng chứng minh đúng, mạch lạc, ngắn gọn. Tuy nhiên chữ viết quá xấu, vừa mờ, vừa khó đọc, đạt $9$ điểm.
2. habcy12345: Bài giải đầu tiên nộp bị sai nên tất nhiên không xét đến bài giải bổ sung, đạt $0$ điểm

3. mathproo: Bài giải bị sai ngay đoạn $\Rightarrow k=\frac{5b_{0}^2+m-2}{5a_{0}}>a_{0}>b_{0}$, đạt $0$ điểm.
4. Nguyen Bao Khánh: Bài giải tốt, sạch, đẹp, đạt $ 10$ điểm
5: bahieupbc: Lời giải tốt, điểm trừ Latex sai dẫn đến vài đoạn giám khảo khó đọc, đạt $9.5$ điểm

6: qminhdls: Lời giải viết không tốt, lúc thì $H$, lúc thì $T$ lung tung lẫn lộn. Ngoài ra cũng không chỉ ra rằng vai trò của $A;B$ như nhau nên chỉ cần xét $ A \geq B$. 

Nếu không có giải thiết $ A \geq B$ thì bất đẳng thức : $ \frac{ (A-B)^2}{ 5AB -1} \geq A- B$ là đúng chứ không sai.
Đạt $4$ điểm

7 huytran08: Lời giải sai, $0$ điểm
8 duc3290: lời giải ý tưởng đúng tuy nhiên ký hiệu $ \rightarrow$ là sai, chỉ có ký hiệu $ \implies$ hoặc $ \Leftrightarrow$ mà thôi, $8$ điểm . Lỗi trình bày này quá cơ bản và không đáng mắc phải.

Các thành viên nhận giải : Nguyen Bao Khanh, Tran Tien Nguyen, baohieupbc vui lòng xác minh thông tin (thẻ học sinh, sổ liên lạc, giấy khai sinh...) với giảm khảo hxthanh để chứng minh bản thân là học sinh THCS để nhận giải.

Các bạn lưu ý:

Có $2$ cách trình bày:
 

cách $1$: chứng minh không thể xảy ra trường hợp $ a > b$ , cũng không thể xảy ra trường hợp $ a<b$ , sau đó kết luận $a =b$ (như trantiennguyen trình bày)

Cách $2$: nhận xét đầy đủ: " Vai trò của $a; b $ là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét trường hợp: $ a \geq b$ " (như Nguyen Bao Khanh trình bày) , sau đó đi chứng minh không thể xảy ra $ a >b$ rồi kết luận chỉ có thể xảy ra trường hợp $a =b$.

Nếu không nêu rõ vai trò $a; b $ như nhau mà giả sử ngay $ a \geq b$ thì sẽ không được tối đa điểm.

Bài này đơn giản. Mấu chốt bài này là từ " cấu trúc lặp " :  $ x_{n+1} = (x^{2}_n - 2)^2 -2$ ta đoán ra ngay là có liên quan đến việc chuyển $x_1$ về dạng $ a + \frac{1}{a}$.

Thật vậy, Xét phương trình $ \alpha + \frac{1}{\alpha} = 3$, ta lưu ý đến nghiệm của phương trình này trên tập hợp $(2; + \infty)$

 

Ta thấy phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất thuộc tập hợp $(2; + \infty)$ là : $ \alpha_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $

 

Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được:

$ x_n = \alpha^{4^{n-1}}_1 + \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}$ với mọi $n \geq 1$

Ngoài ra: $ y_n =  \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}$ với mọi $n \geq 1$

Suy ra : $ \lim_{n \to + \infty} (x_n \cdot y_n ) = \lim_{n \to + \infty}   \left( \alpha^{4^{n-1}}_1 + \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}  \right) \cdot  \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}$

$ = \lim_{n \to + \infty} \left( 1 +  \frac{1}{ \alpha^{2 \cdot 4^{n-1}}_1} \right) = 1$ ,

Ở đây do $ \alpha_1 >2 >1 $ nên hiển nhiên :  $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{ \alpha^{2 \cdot 4^{n-1}}_1} = 0$

Lâu ngày quá không giải Toán, hi vọng là không bị sai ở đâu đó

 

Nhận xét:

 

Bài này sẽ không chỉ dừng lại ở đây đâu, nếu tiếp tục mở rộng ra thêm nữa, ta có thể xây dựng các bài toán khó hơn nhiều cũng dựa vào cấu trúc: $  \alpha \pm \frac{1}{\alpha} $. Chẳng hạn như có thể xây dựng thành các dạng lũy thừa kiểu:  $\alpha^{3^n} \pm  \frac{1}{ \alpha^{3^n}}$ với mọi $n \geq 1$.

Cái này thì chắc trông chờ vào tài năng sáng chế bài toán của Hoàng Xuân Thanh để có các bài Toán hay cho mọi người cùng giải.

Bài này mấu chốt là cần nhìn ra: $ 45^2 = 2025$

 

Ta có:  $ x_{n+1} - 45 x_n = \sqrt{ 2024 x^{2}_{n} +16}  \implies ( x_{n+1} - 45 x_n )^2 =  2024 x^{2}_{n} +16  \implies x^{2}_{n+1} - 90 x_{n+1} x_n   + 2025 x^{2}_{n} =  2024 x^{2}_{n} +16 $

 

$\implies x^{2}_{n+1} - 90 x_{n+1} x_n   +  x^{2}_{n} = 16 \  (*)$ 

 

tức là giờ ta sẽ tập trung tìm CTTQ của dãy $(x_n)_{n \geq 1}$ dựa vào đẳng thức $(*)$

 

Thật vậy, dễ thấy từ $(*)$ thì ta cũng có:

 

 

$\implies x^{2}_{n+2} - 90 x_{n+2} x_{n+1}   +  x^{2}_{n+1} = 16 \  (**)$

 

Lấy $2$ đẳng thức $(*)$ và $(**)$ trừ nhau vế theo vế, ta có:

 

 

$ x^{2}_{n+2} -  x^{2}_{n} -  90 x_{n+1}  ( x_{n+2}  - x_n)= 0$

 

$ ( x_{n+2} -  x_{n}) ( x_{n+2} +  x_{n} )  -  90 x_{n+1}  ( x_{n+2}  - x_n)= 0$

Suy ra $  ( x_{n+2} -  x_{n}) ( x_{n+2} +  x_{n}   -  90 x_{n+1} )= 0 \ (***)$

 

Mà rõ ràng từ giả thiết bài toán, ta thấy rõ ràng $ x_{n+1} > 45 x_n > x_n \implies x_{n+2} > x_n $ với mọi số nguyên dương $n$

 

Nên từ đẳng thức $(***)$ thì rõ ràng  $x_{n+2}    -  90 x_{n+1}  +  x_{n} = 0  \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Theo đó, dãy $(x_n)_{n \geq 1}$ là dãy truy hồi tuyến tính cấp $2$, phương trình đặc trưng của nó : $ y^2 -90y +1 =0$ có $2$ nghiệm 

$ y_{1; 2} = 45 \pm 2\sqrt{506}$ và dãy này theo đó sẽ có CTTQ dạng : $ x_n = A \cdot y^{n}_1 + B \cdot y^{n}_2 \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

 

Trong đó, các hệ số $ A; B $ này được xác định thông qua việc giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} x_1 = A y_1 + B y_2 & \\ x_2 = A y^2_{1} + By^2_{2} \end{matrix}\right.$

 

Trong đó, chú ý là theo định lý Viette thì tích $ y_1 \cdot y_2 = 1$ , tức là ta có thể viết hệ này dưới dạng:

 

 

$\left\{\begin{matrix} 4 = A y_1 + \frac{B}{y_1}  & \\ 360 = A y^2_{1} + \frac{B}{y^2_{1}} \end{matrix}\right.$

 

Thực ra cái này giờ đơn giản rồi, tính nhẹ nhàng thì ra được:

 

$ A = \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} ; B = 4y_1 - A \cdot y^{2}_1$

 

Tức là: $ x_n =  \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} \cdot y^{n}_{1} +  \left( 4y_1 - \left(  \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} \right) \cdot y^{2}_1 \right) \cdot  \frac{1}{ y^{n}_{1}}  = \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} \cdot y^{n}_{1} +  \left( 4y_1 - \frac{360y^{2}_1 - 4y_1}{y^{2}_1 - 1}   \right) \cdot  \frac{1}{ y^{n}_{1}} \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

 

Viết gọn nhất dưới dạng:

$ x_n = \frac{360y_1 - 4}{y^{2}_1 - 1} \cdot y^{n-1}_{1} +  \frac{4y_1 - 360}{y^{2}_1 - 1} \cdot  \frac{1}{ y^{n-2}_{1}} \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

 

 

Trong đó $ y_1 = 45+2\sqrt{506}$

 

Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số:

 

$ 27 (abc)^2 (a^2+b^2+c^2) = (3ab) \cdot (3bc) \cdot (3ca) \cdot (a^2 + b^2 + c^2) \leq \left( \frac{3ab+3bc+3ca + a^2 + b^2 + c^2}{4} \right)^4 $

 

$= \left( \frac{ab+bc+ca + (a + b + c)^2}{4} \right)^4  \leq   \left( \frac{ \frac{(a + b + c)^2}{3} + (a + b + c)^2}{4} \right)^4  =   \left( \frac{(a + b + c)^2}{3} \right)^4 = 3^4 \implies  (abc)^2 (a^2+b^2+c^2) \leq 3$