chuyentoan

Định nghĩa $f$ trên tập các số nguyên dương bởi $f\left ( n \right ) = \prod_{k=1}^{r}a_k^{p_k}$ nếu $n$ có khai triển nguyên tố là $\prod_{k=1}^{r}p_k^{a_k}$, với trường hợp đặc biệt $f(1) = 1$. Chứng minh rằng với mọi $n$ thì dãy $n,f\left( n\right),f\left( \left( n\right) \right),\dots$ là dãy tuần hoàn.

$a_n$ là dãy số được xác định bởi: $a_n = n$ với $n\le 6$ và $a_n = \left \lfloor \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}}{2} \right \rfloor$ với $n > 6$.

$r_n$ là các số chỉ có thể nhận giá trị là $0$, $1$ hoặc $2$ đồng dư với $\sum_{k=1}^{n}{a_k}$ theo modulo $3$.

Chứng minh rằng với $n\ge 6$, tập $\left \{ a_1,a_2,\dots,a_n \right \}\setminus \left \{ r_n \right \}$ có thể được chia thành $3$ tập con với tổng các phần tử là bằng nhau.

Ví dụ: với $n=7$, thì $\left \{ 2,3,4,5,6,10 \right \}=\left \{ 2,3,5 \right \}\cup \left \{ 4,6 \right \}\cup \left \{ 10 \right \}$

Xét tam giác nhọn $ABC$ với các cạnh có độ dài là $a,b,c$, bán kính nội tiếp $r$ và chu vi là $2p$. Chứng minh rằng:

$\left(1-\cos{A}\right)\left(1-\cos{B}\right)\left(1-\cos{C}\right)\ge \cos{A}\cos{B}\cos{C}\left ( 2 - \frac{3\sqrt{3}r}{p} \right )$

Gọi $F_n$ và $L_n$ lần lượt là các số Fibonacci và Lucas thứ $n$. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 1$

$\frac{1}{2}\left ( F_n^{\frac{1}{F_n}} + L_n^{\frac{1}{L_n}} \right ) \le 2 - \frac{F_{n+1}}{F_{2n}}$

* Các số Fibonacci và Lucas được xác định hồi quy với $a_{n+1}=a_n + a_{n-1}$, trong đó $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $L_0=2$ và $L_1=1$

$a$ là một số nguyên lớn hơn $1$, và $f$ là một đa thức có bậc dương và có mọi hệ số là các số nguyên không âm. Với $n\geq 1$, đặt $S\left(n\right) = \left\{ f\left( 1\right),\dots, f\left ( n\right)\right\}$.
Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $S\left(n\right)$ có thể được chia thành $a$ tập hợp con sao cho tổng các phần tử trong mỗi tập hợp là bằng nhau.