lehoan

Em cũng muốn dc làm quen ạ      , kiểu gì mà dc 40/40 thế anh, giỏi kinh khủng của ngỡ ngàng  , hiện tại a đang làm nghề gì vậy.. (tò mò quá )

Khi còn ở bên này thì mình làm về Car-to-Car communications. Về Việt Nam thì chưa biết, phụ thuộc vào tìm được việc làm như thế nào nữa

Welcome back anh Quý !!!   Anh giờ làm ở đâu rồi ạ ?

 

Xin giới thiệu với các bạn, đây là anh Lê Hồng Quý, cựu học sinh THPT Chuyên Đại Học Vinh, giải nhất VMO 2006 với số điểm tuyệt đối 40/40, Huy Chương Đồng IMO 2006 tại Slovenia Anh Quý từng là một ĐHV Olympic rất tích cực của Diễn đàn Toán học. 

Chào Nesbit, anh đang ở Đức nhưng sẽ về Việt Nam trong vài tháng nữa

Lời giải bài 5

Lời giải (ko trau chuốt) của lehoan cho 4b. 

Bài số 1 quá xấu. Bài số 2 là khá vừa. Bài 3 là hình cũng không khó. Bài 4 như trong đề thi cũng đẹp, vì thời gian cũng hạn hẹp. Việc chia thành 2 câu là để cho thí sinh có thể kiếm thêm được điểm dù có thể không giải được. . Nếu thời gian như thi IMO thì nên phát biểu thành "tìm tất cả m và n để có cách trồng cây ấn tượng" khi đó sẽ khó hơn nhiều. Bài 5 khá đẹp và kĩ thuật khá quen thuộc. Bài 6 hợp với bài trung bình. Bài 7 thì việc sử dụng một vài kết quả nổi tiếng có thể không được phù hợp cho lắm với một bài thi quốc gia. Nếu có lựa chọn khác cho bài 7 thì tốt hơn.

Đề này có vẻ khá hợp lý. Nếu thay bài 1 bằng một bài đẹp hơn thì tuyệt 

Chào em, anh cũng từng là một thành viên mới như em lúc mới vào diễn đàn cách đây 12 năm  . Hôm nay tự nhiên thấy cái tên diễn đàn trên google, thử vào không ngờ nick của anh vẫn còn sống    nên lại làm thành viên mới lần nữa cho vui 

Với một bộ bài gồm $2n$ lá ($n$ là số tự nhiên), ta đánh số các lá bài từ 1 đến $2n$. Ta gọi hành động sau là một bước tráo bài :

$2n$ lá bài được chia thành $2$ phần bằng nhau, phần một gồm n lá bài trên cùng, phần $2$ gồm $n$ lá bài phía dưới. Sau đó là xếp xen kẽ từ trên xuống, bắt đầu từ lá thứ nhất của đống $2$, sau đó đến lá thứ nhất của đống $1$, rồi lá thứ $2$ của đống $2$, rồi lá thứ $2$ của đống $1$. Cứ thế đến khi ta được $2n$ lá bài.

Ví dụ $2n$ lá bài $1,2,...,n,n+1,...,2n$. Thì $2$ đống bài là : đống 1 gồm $1,2,...,n$ đống $2$ gồm $n+1,...,2n$. Sau khi xếp lại thì ta thu được $n+1,1,n+2,2...,2n,n$.

Với các bước tráo bài như trên thì hỏi sau bao nhiêu lần ta thu được thứ tự như trạng trái ban đầu của bộ bài.

Bài 1: $M,N$ là trung điểm của $BC$ và $AC$ thì $MN||AB$, suy ra $MN$ vuông góc với $CH$. Mà $H$ là giao của $(M,MH)$ và $(N,NH)$ suy ra $CH$ là trục đẳng phương của $(M,MH)$ và $(N,NH)$. Suy ra $CA_1\times CA_2=CB_1\times CB_2$. Suy ra bốn điểm $A_1,A_2,B_1,B_2$ đồng viên, cùng nằm trên đường tròn có tâm là giao của trung trực của $A_1A_2,B_1B_2$ chính là $O$ (tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$). Tương tự ta có ĐPCM.

Bài 3. Cách giải bài toán này xuất phát từ một bài toán ở đâu đó trong Around the world hay đâu đó.

Ta có với $p$ đủ lớn và $p|n^2+1$. Ta có thể coi $n<p$. Vì vai trò của $n$ và $p-n$ là như nhau nên ta coi $2n<p$. Đặt $p-2n=k$.

Đến đây ta có $p|\dfrac{(p-k)^2}{4}+1$ suy ra $4p|(p-k)^2+4$ hay $p|k^2+4$. Suy ra $k\ge\sqrt{p-4}$. Với $p$ lớn thì ta có ngay $(p-2n)^2\ge p-4$, suy ra $p\ge 2n+\dfrac{1+\sqrt{8n-15}}{2}>2n+\sqrt{2n}$

Bài 4.

Cho $w=x=y=y=z$, ta có $f(x^2)=f(x^2)$. Suy ra $f(1)=1$ Xét bộ $(1,x,\sqrt{x},\sqrt{x})$ ta có $\dfrac{f(1)+f(x^2)}{2f(x)}=\dfrac{1+x^2}{2x}$. Suy ra $(f(x)-x)(f(x)-\dfrac{1}{x})=x$. Suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=\dfrac{1}{x}$ với mỗi $x$.

Tiếp theo chứng minh không tồn tại $a,b>0\neq 1$ mà $f(a)=a$ còn $f(b)=\dfrac{1}{b}$.

Thật vậy nếu tồn tại thì ta có vô số $a,b$ mà $f(a)=a$ và $f(b)=\dfrac{1}{b}$.

Cố định một $a>0$ với $f(a)=a$, với $b\neq 1$ bất kì mà $f(b)=\dfrac{1}{b}$

Xét với mọi $x>0$ ta có $\dfrac{f(x)+f(\dfrac{ab}{x})}{f(a)+f(b)}=\dfrac{x+\dfrac{ab}{x}}{a+b}$

suy ra $f(x)+f(\dfrac{ab}{x})=(a+\dfrac{1}{b})(x+\dfrac{ab}{x})$
Suy ra $f(\sqrt{ab})=(a+\dfrac{1}{b})\sqrt{ab}$. Suy ra $(a+\dfrac{1}{b})=1$ hoặc $(a+\dfrac{1}{b})=\sqrt{ab}$. Suy ra chỉ có hữu hạn $b$, vô lí.

Vậy ta có $f(x)=x $với mọi $x>0$ hoặc $f(x)=\dfrac{1}{x}$ với mọi $x>0$

Bài 5.
Gọi $X$ tập hợp các dãy $(a_1,a_2,...,a_k)$ với $1\le a_i\le 2n$ sao cho với mọi $1\le j\le n$ thì $|\{i|a_i=j\}|$ lẻ và $|\{i|a_{i}=n+j\}|$ chẵn
Gọi $Y$ là tập hợp các dãy $(a_1,...,a_k)$ với $1\le a_i\le n$ sao cho với mọi $1\le j\le n$ thi $|\{i|a_i=j\}|$ lẻ.
Khi đó ta có $|X|=N,|Y|=M$ và rõ ràng là $Y\subset X$.

Với mỗi phần tử $a\in Y$, ta xét tập $P(a)$ là các phần tử $b\in X$ sao cho $a\equiv b \pmod n$ ( nghĩa là $a_i\equiv b_i\pmod n$).

Khi đó rõ ràng ta có nếu $a\neq a'\in Y$ thì $P(a)\neq P(a')$.

Và mỗi phần tử thuộc $X$ thì thuộc về duy nhất một tập $P(a)$. Suy ra $P(a)\cap P(a')=\emptyset$

Ta tính $|P(a)|$ cho mỗi $a$. Ta có $a=(a_1,...,a_k)$. Với mỗi $1\le j\le n$ đặt $t_j=$$|\{i|a_i=j\}|$. Ta có $t_j$ lẻ và $\sum\limits_{j=1}^{n}t_j=k$.

Với $t_j$ chỉ số $i$ mà $a_i=j$, ta có $2^{t_j-1}$ cách chọn ra một số chẵn chỉ số $m$ và chuyển giá trị $a_m$ thành $a_m+n$.

Vậy $|P(a)|=\pro\limits_{j=1}^{n}2^{t_j-1}=2^{\sum\limits_{j=1}^{n}t_j-n}=2^{k-n}$


Từ đây ta có thể kết luận $\dfrac{N}{M}=2^{k-n}$.

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại song ánh $f: \{1,2,...,n\} \to \{1,2...,n\}$ sao cho với mọi $1\le i\le n-1$ thì

$|f(i+1)-f(i)|\in \{7,9\}$

Hãy tổng quát hóa bài toán:

Điểm cố định đó là giao điểm của đường thẳng qua M vuông góc với PQ với đường vuông góc hạ tự giao điểm của d với AD xuống BC. ( nó cũng là giao điểm của các đường thằng qua B',C' lần lượt vuông góc với AB,AC ở đây B',C' là hình chiếu của B,C xuống d.

Problem 1: Cho dãy $n$ các số thực: $a_1, a_2,..., a_n$. Với mỗi $1\le i\le n$, đặt $d_i=\max\{a_j|1\le j\le i\}-\min\{a_j|i\le j\le n\}$ và đặt $d=max\{d_i|1\le i\le n\}$.

a/ Chứng minh rằng với mọi dãy số thực $x_1\le x_2\le...\le x_n$ ta luôn có:
$\max\{|x_i-a_i||1\le i\le n\}\ge \dfrac{d}{2}$

b/ Chứng minh rằng tồn tại dãy $x_1\le x_2\le...\le x_n/$ mà đẳng thức xảy ra trong


Problem 2: Cho $5$ điểm $A, B, C, D, E$ có tính chất: $ABCD$ là hình bình hành, $BCED$ là tứ giác nội tiếp. Giả sử $l$ là đường thẳng đi qua $A$, Giả sử $l$ cắt đoạn thẳng $DC$ tại $F$ và $BC$ tại $G$. Giả sử rằng $EF=EG=EC$. Chứng minh rằng l là phân giác của góc $DAB$

Problem 3: Trong một kì thi toán học, một số thí sinh là bạn của nhau ( dĩ nhiên A là bạn của B thì B là bạn của A). Gọi một nhóm các thí sinh là một "clique" nếu như 2 người bất kì trong nhóm là bạn của nhau. Số thí sinh trong một "clique" gọi là độ lớn của "clique" đó
Giả sử rằng trong cuộc thi clique lớn nhất gồm một số chẵn thí sinh thì các thí sinh có thể được chia vào 2 căn phòng sao cho độ lớn lớn nhất của clique chứa trong phòng này bằng độ lớn lớn nhất của clique chứa trong phòng còn lại.