Vuong Tuan Anh

CM:
4 ^|Cosx| + 2^|Sinx| 3

Một triệu đô la dành cho ai giải được bất kỳ bí ẩn nào trong số bảy bí ẩn toán học. Đó chính là phần thưởng do một tổ chức tư nhân nêu ra nhằm đưa toán học trở lại vị trí xứng đáng của nó. Và dĩ nhiên, cũng để trả lời những câu hỏi lớn vẫn làm đau đầu các nhà toán học bấy lâu nay.
Paris, trường Đại học Pháp, 8.9.1900. David Hilbert đến dự Hội nghị quốc tế Toán học với một danh sách gồm 23 vấn đề mà đến lúc đó toán học vẫn chưa giải quyết được. Trong lịch sử toán học, ông là người cuối cùng còn nắm được tổng thể nền toán học của thời đại mình, trước khi nó bung ra thành hàng trăm phân nhánh. Ông mơ ước sẽ xây dựng được một ìcây toán học” vững chắc, thống nhất và vĩnh cửu. Với 23 câu hỏi đó, ông mong muốn phác ra một đinh hướng cho nền toán học tương lai và đặt ra một bức tường thách thức cần vượt qua trước ngưỡng cửa thế kỷ XX. 100 năm sau, trong 23 vấn đề đó chỉ còn 3 vấn đề chưa được giải quyết (1). Tuy nhiên, giấc mơ của Hilbert vẫn chưa phải đã thực hiện được …
Những chân lý không thể chứng minh
Từ năm 1931, nhà lôgic học người Áo Kurt Godel đã chứng minh rằng, do một mâu thuẫn cơ bản, cây mơ ước của Hilbert là không thể xây dựng được: không thể chứng minh một chân lý toán học là vĩnh cửu. Ông cho rằng luôn luôn tồn tại những chân lý không thể chứng minh. Lý thuyết này làm sụp đổ cây toán học với những ảo tưởng của vĩnh cửu và tuyệt đối.

Giấc mơ thống nhất còn vấp phải một khó khăn lớn do sự phân nhánh của toán học. Vào năm 1900 (tức là năm Hilbert đưa ra 23 bài toán – ngocson52), trên thế giới chỉ có khoảng 300 nhà toán học chuyên nghiệp – trong số đó ¾ đã có mặt trong hội nghị để nghe bài phát biểu của Hilbert. Nhưng hiện nay, con số các nhà toán học chuyên nghiệp trên thế giới là 50.000. Mỗi năm, họ chứng minh chừng 200.000 định lý thuộc hơn 3.000 phân ngành nhỏ. Không còn ai có thể hiểu biết về toán học một cách tổng thể. Không còn ai có thể nhìn cây toán học trên phương diện toàn cầu của nó để mơ đến chuyện hợp nhất …

Vào năm 1999, Claude Allègre, khi đó là Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Nghiên cứu Pháp đã thốt lên rằng: ìToán học đang suy thoái, không lối thoát. Không còn toán học nữa, chỉ còn những cái máy thực hiện các phép tính”. Và vào năm cuối cùng của thế kỷ XX, nền toán học đang tỏ ra hết sức ìsuy nhược”. Cho dù UNESCO đã công bố năm 2000 là Năm Thế giới về Toán học.

Nhà toán học Mỹ Arthur Jaffe, giáo sư của trường Đại học Harvard, lo lắng nói: ìToán học hiện nay đã mất cả sự hấp dẫn lẫn tính mới lạ”. Và ông chia sẻ nỗi lo của mình với Landon Clay, một nhà công nghiệp giàu có người Mỹ, người vốn có niềm đam mê lớn đối với nhành khoa học mà ông coi là ìbiểu hiện thuần túy của trí tuệ loài người”.


100 năm bài phát biểu của Hilbert
Vì vậy, vào năm 1999, với sự ủng hộ của Viện Toán học Clay, ông Arthur Jaffe đã công bố thành lập một quỹ tư nhân có mục đích thúc đẩy sự phát triển của toán học trước thềm thiên niên kỷ mới.

Họ quyết định tổ chức lễ kỷ niệm 100 năm bài phát biểu của Hilbert để khôi phục lại vòng hào quang xưa của của toán học: - ìnữ hoàng của khoa học”. Tại trường Đại học Pháp, ngoài ba vấn đề của Hilbert giải quyết chưa nổi, họ lại công bố một danh sách mới những vấn đề khác chưa được giải quyết. Đó là bảy bí ẩn chúng ta sẽ phải khám phá trong thiên niên kỷ mới. bất cứ ai giải được một trong bảy vấn đề ấy đều sẽ nhận giải thưởng một triệu đôla!

ìDù vậy, mục đích của phần thưởng đã rất khác so với ý tưởng của Hilbert cách đây 100 năm” – Alain Connes, thành viên hội đồng khoa học của Quỹ Clay, cho biết. ìHilbert đã chọn những vấn đề rất mới và ít người nghiên cứu vào thời đó, vì ông muốn phác ra một định hướng cho nền toán học tương lai. Còn chúng tôi lại chọn những vấn đề mà tất cả các nhà toán học đều coi là cơ bản”. Những vấn đề này thâu tóm mọi nhánh chính của ngành khoa học này: đó là lôgic với P chống lại NP, là hình học topo với giả thuyết Poincaré; số học với giả thuyết Riemann; hình học với giả thuyết Hodge; đại số với giả thuyết của Birch cùng Swinnnerton-Dyer; và tích phân với các phương trình của Navier-Stokes và của Yang-Mills.

Ngày nay, không thể không biết đến những điều đó bởi các vấn đề toán học sẽ có những ứng dụng cụ thể trong tương lai. ìChúng tôi mong sự án này sẽ trở thành một sự kiện của truyền thông đại chúng” – Arthur Jaffe nói – ìđể công chúng nhận thức được tầm quan trọng của toán học. Nó là nền tảng của mọi khoa học và động lực trong cuộc sống loài người. Tôi không thể hình dung nổi một đất nước phát triển mà thiếu toán học”.

ìKhông một khám phá nào của tôi, dù ít hay nhiều, có thể giúp ích được gì cho cái thế giới thực dụng này” – nhà toán học người Anh Godfrey Hardy, một lý thuyết gia số học vĩ đại, rất căm ghét toán học ứng dụng, đã tuyên bố như vậy vào những năm 20. Tuy nhiên, trước khi qua đời vào năm 1947, ông vẫn còn kịp thấy lý thuyết số của mình đã được sử dụng rộng rãi để mã hóa và giải mã các bức điện mật trong Chiến tranh Thế giới thứ hai. Trong tin học, vật lý, sinh học, kinh tế học, khí tượng học hay mật mã học, toán học đã chứng tỏ sức mạnh và tầm quan trọng của mình. Cây toán học không phải đã suy yếu như người ta tưởng…

Mọi người đều có cơ hội
Hơn nữa, dù toán học phân thành rất nhiều nhánh nên các các vấn đề đặt ra cũng hết sức đa dạng, song các nhà toán học luôn nghĩ tới một nền tảng thống nhất của ngành khoa học này. ìCác nhánh của cây toán học luôn đan xen nhau” – Jean-Pierre Bourguigon, giám đốc Viện Nghiên cứu khoa học cao cấp tại tại Bures-sur-Yvette (Pháp), nhấn mạnh. ìCác kết quả của những vấn đề rất khác nhau lại tương đồng nhau một cách kỳ lạ, và tất cả nền toán học, trong sự thống nhất động, đã tạo thành một khối vĩnh cửu”.

Nhiều người có thể nghĩ rằng tiêu hàng triệu đôla cho việc chứng minh mấy định lý toán học thật là một sự lãng phí. Nhưng điều này đã có tiền lệ: vào năm 1908, nhà công nghiệp người Đức Paul Wolfskehl đã hứa tặng 100.000 mark Đức cho người chứng minh được định lý cuối cùng của Fermat. Andrew Wiles đã nhận được số tiền này vào năm 1997. Trong thiên niên kỷ mới, giải quyết bảy bí ẩn toán học ấy là để đánh tan những suy nghĩ sai lầm của một số người. Không, toán học không chết, cây toán học không hề mất giá trị, sức mạnh và sự thống nhất của nó!

Tất cả mọi người, không hạn chế thời gian, đều có thể nhận được phần thưởng trên sau hai năm kể từ khi công bố chứng minh của mình trên một tờ báo khoa học tên tuổi. Hai năm là thời gian để kiểm chứng bản chứng minh đó không có gì sai sót. Mọi người đều có cơ hội nhận giải, mặc dù dĩ nhiên sẽ hết sức khó khăn cho một người nghiệp dư chen chân vào mảnh đất toán học này. ìViệc chứng minh những vấn đề nà khá giống việc chinh phục đỉnh Everes. Rất khó đấy, nhưng khi đã lên đến đỉnh, người ta sẽ thấy một cảnh tượng tuyệt diệu” –Alain Connes kết luận.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>4 thì phân số 4/n bằng tổng của 3 phân số Ai Cập khác nhau

Tìm 1 số hữu tỉ x sao cho x²+ 5 và x² - 5 đều là bình phương của các số hữu tỉ.

Qua cái gfi mà bài toán nhân sau đây thú vị: 142857.264513