detectivehien

7th Junior Balkan 2003
1. Cho $A=4...4$(2n chữ số), $B=8..8$(n chữ số). CM rằng$A+2B+4 $là 1 số chính phương.

2. $A_1, A_2, ...A_n$ là các điểm trong mặt phẳng, nếu ta đặt các điểm theo thứ tự $B_1,...B_n $tùy ý thì đường gấp khúc$B_1...B_{n-1}$ ko tự cắt. Tìm n max.

3.Cho tam giác ABC. D là trung điểm cung BC ko chứa A của (O) ngoại tiếp tam giác ABC, tương tự với điểm E,F. DE cắt BC ở G và AC ở H.M là trung điểm GH. DF cắt BC ở I và AB ở J. N là trùng điểm IJ. TÌm số đo các góc tam giác DMN theo số đo các góc tam giác ABC. AD cắt EF ở P. CM đường tròn tam giác DMN tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác PMN.


4. CM: $\dfrac{1+x^2}{1+y+z^2}+\dfrac{1+y^2}{1+z+x^2}+\dfrac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$ với $x,y,z >-1$

IN ENGLISH:
1. Let A = 44...4 (2n digits) and B = 88...8 (n digits). Show that A + 2B + 4 is a square.
2. A1, A2, ... , An are points in the plane, so that if we take the points in any order B1, B2, ... , Bn, then the broken line B1B2...Bn does not intersect itself. What is the largest possible value of n?
3. ABC is a triangle. D is the midpoint of the arc BC not containing A. Similarly E, F. DE meets BC at G and AC at H. M is the midpoint of GH. DF meets BC at I and AB at J, and N is the midpoint of IJ. Find the angles of DMN in terms of the angles of ABC. AD meets EF at P. Show that the circumcenter of DMN lies on the circumcircle of PMN.
4. Show that (1+x2)/(1+y+z2) + (1+y2)/(1+z+x2) + (1+z2)/(1+x+y2) ≥ 2 for reals x, y, z > -1.
PS: TỚ dốt E nên hình như dịch câu 2 ko đúng lém . Bạn nào tốt bụng dịch lại hộ

Continue.........
3. $\overline{abcde}=45abcde$ nên e=5
$4\overline{abc}+3=63abc$
dễ thấy $a+b+c=15$thêm nhận xét $\overline{abc}=(a+b)^2c$
Bài này thi ams năm nào đó
$(\overline{ab})^2=(a+b)^3$
nên a+b chính phương mà $\sqrt[3]{\overline{abc}}=(a+b+c)^4^n$
here


PS: 1.Vì bài nhiều quá nên để người đọc tiện theo dõi, ai làm bài nào thì quote cái
đề ả đã.......
2. Tớ sửa lại roài (chết chết hay nhầm nhọt quá ). Zai zai xem đúng ko

Mới nhìn vào topic, thấy nhiều bài we', chắc mọi người chưa kịp làm gì đã ngất luon trên giàn gấc

1.dễ thấy $\overline{aabb}=11(100a+b)$ 100a+b chia hết cho 11 nên a+b chia hết cho 11=> a+b=11. Thử trựctiếp với b=4,5,6,9 ra số 7744
..........lúc sau post tiếp

Đề thi HSG lớp 9 TP. Hà Nội

Năm học 2005-2006

Câu 1:
a.Cho 5 chữ số 1,3,5,7,9. Hỏi có bao nhiều số tự hien gồm 4 chữ số phân biệt được lâp thành từ 5 chữ số đã cho?
b. CM tồn tại số tự nhiên n khác không thỏa mãn $13579^n-1$chia hết cho $3^{13579}$

Câu 2:
Cho pt $x^2-mx-4=0$
a.CM rằng PT có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm max của A=$\dfrac{2(x_1+x_2)+7}{x_1^2+x_2^2}$
b.Tìm các giá trị m sao cho hai nghiệm của PT đều nguyên

Câu 3:
Giải PT: $x^2-1=3\sqrt{3x+1}$

Câu 4:
Trong mỗi ô vuông của bảng 3*3 ta điền các dấu + hoặc - để được bảngt như hình 1
Ta thực hiện phép biến đổi: " đổi ngược dấu tất cả các ô trong cùng một dòng hoặc cột" HỎi sau môt số hữu hạn lầm phép biến đổi như trên ta có thể thu được bảng như hình 2 ko
(Tuiko biết vẽ hình)
Hình 1 là;
+ - +
- + +
+ - -
CÒn hình 2 là:
- + -
+ - +
- + +

Câu 5:
Cho nửa đường tròn tâm O. đường ính AB=2R và C là điểm chính giữa của cung AB. Gọi M là điểm tùy ý trên cung BC(M khác B,C). Kẻ dây BK song song với CM. Đường tròn đường kính KM cắt tia Bm tại điểm thứ hai là S. Xác định vị trí diểm M sao cho hoảng cách từ điểm S đến AB là lớn nhất và tính khoảng cách lớn nhất đó

--------------------------------------
Mời các bạn thảo luận tại đây :
Bài 1
Bài 2`
Bài 3
Bài 4
Bài 5