Đến nội dung

Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

Đăng ký: 08-06-2011
Offline Đăng nhập: 30-01-2014 - 14:08
**---

Trong chủ đề: Giải HPT $\left\{\begin{matrix}x^...

04-12-2012 - 16:38

mình nghĩ bài này nếu bạn muốn sử dụng cách giải hdx thì biến đổi
$24(x^2 - y^2) - 55xy = 0$

Trong chủ đề: cho a,b,c >0 thoả mãn:a+b+c=3.CMR: $\sum a^{2}+...

19-11-2012 - 22:05

cho a,b,c >0 thoả mãn:a+b+c=3.CMR:
$\sum a^{2}+\frac{ab+bc+ac}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}\geq 4$


BĐT tương đương với
$(a)^2-2\sum{ab}+\dfrac{3\sum{ab}}{(\sum{a})(\sum{a^2b})}\geq 9-2\sum{ab})+\dfrac{3\sum{ab}}{3\sum{a^2}}= 9-2q+\dfrac{q}{9-2q}$

Cần chứng minh $9 - 2q +\dfrac{q}{9-2q} \geq 4 \Leftrightarrow (q-3,75)(q-3)\geq 0$ (đúng vì $q \leq 3$)

Trong chủ đề: $\sum \sqrt{\frac{a^2}{b^2+bc+c^2...

13-08-2012 - 21:28

Cách khác
Áp dụng BĐT Holder
Ta có $VT^2.[\sum a(4b^2+bc+4c^2)]\geq (a+b+c)^3$
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^3}{\sum a(4b^2+bc+4c^2)}\geq 1\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$
(Schur)
Còn nữa, mọi người cùng suy nghĩ, bài 2 tương tự


:icon6:
$VT^2.[\sum a(b^2 + bc + c^2)] \geq (a + b + c)^3$

$\frac{(\sum a)^3}{3abc + \sum ab(a +b)} = \frac{(\sum a)^3}{(\sum a)(\sum ab)} \geq \frac{(\sum a)^2}{\sum ab}$

p/s : nếu dùng đc holder thì tất nhiên sẽ dùng đc AM-GM !

Trong chủ đề: Tìm Min A=$= \frac{1}{a^{2}+b^{2...

09-08-2012 - 17:11

Đây là IMO 2001!

Và một lời giải.

Đặt $x=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}; y=\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}; z=\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}$ thì ta có:
$$\frac{1}{x^2}-1=\frac{8bc}{a^2}\,;\frac{1}{y^2}-1=\frac{8ca}{b^2}\,;\frac{1}{z^2}-1=\frac{8ab}{c^2}$$
Suy ra $(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)=8^3\,\,\,\, (1)$
Giả sử $S=x+y+z<1$ thì
$$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \,\,\,\,(2)$$
Mặt khác ta sẽ chứng minh
$$(\frac{S^2}{x^2}-1)(\frac{S^2}{y^2}-1)(\frac{S^2}{z^2}-1) \geq 8^3\,\,\,\,(3)$$
Thật vậy ta có:
$$(S-x)(S-y)(S-z)=(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz (AM-GM) \,\,\,\,(4)$$
$$(S+x)(S+y)(S+z)=((x+y)+(y+z))(...)(....) \geq 8(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8^2(xyz)\,\,\,\,\,(5)$$
Nhân từng vế $(4)$ và $(5)$ ta thu được $(3)$.

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra:
$$(\frac{1}{x^2}-1)(\frac{1}{y^2}-1)(\frac{1}{z^2}-1)>8^3$$
Mâu thuẫn với $(1)$. Vậy điều giả sử là sai và ta có $S \geq 1$ (đpcm).

-----
1 - Một lời giải mình đọc được.

2 - Còn nhiều cách cho bài này.

theo holder thì
$VT^2[\sum a(a^2 + 8bc)] \geq (a + b + c)^3$
Chỉ cần cm
$\sum a(a^2 + 8bc) \leq (a + b + c)^3$

$\Leftrightarrow 3(a +b)(b +c)(c +a) \geq 24abc$ (đúng theo AM-GM)

Trong chủ đề: Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

25-07-2012 - 10:19

vâng ạ ! Em năm ni hết THCS , chuẩn bị lên 10 ! Anh cứ gửi theo địa chỉ nớ là đc ạ !