"Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội."
Albert Einstein
Bạn đang ở: Trang chủTrung học Phổ thôngĐại số và Lượng giácTHPTPhương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ (Phần 3)

Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ (Phần 3)

Xem Phần 1 - Phần 2

alt

 

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích


1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = \dfrac{9}{4},\,\,(1)$$
Lời giải
ĐK : $x \geq - \dfrac{3}{2} $.
Đặt $\sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = t , t \geq 0 $ phương trình $(1)$ trở thành :
$$(t^2 - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4} – t \Leftrightarrow t(t^3 - 3t + 1) = 0 \Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l} t = 0 \\  t^3  - 3t + 1 = 0,\,\, (2) \\  \end{array} \right.$$
$(2)$ giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt $x = 2cost , t \in (0 ; \pi)$ để đưa về dạng : $cos3t = - \dfrac{1}{2}$

Tổng quát: Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + a} = a^2$$
Với $a$ là hắng số cho trước .

Ví dụ 16: Giải phương trình:
$$x^3 - 3x^2 + 2\sqrt{(x + 2)^3} =6x,\,\, (1)$$
Lời giải:
ĐK : $x \geq - 2$
Viết lại $(1)$ dưới dạng :
$$x^3 - 3x(x + 2) + 2 \sqrt{(x + 2)^3} = 0,\,\,(2)$$
Đặt $t = \sqrt{x + 2} \geq 0 $. Khi đó $(2)$ trở thành :
$$x^3 - 3xt^2 + 2y^3 \Leftrightarrow (x - t)^2(x + 2t) = 0$$
Do vậy $x = t$ hoặc $x = -2t$
*$x = t $. Ta có :
$$x = \sqrt{x + 2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\  x^2  - x - 2 = 0 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$$
*$ x = -2t$ . Ta có :
$$x = - 2\sqrt{x + 2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \leq 0 \\  x^2  - 4x - 8 = 0 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt{3}$$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : $x = 2 , x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Ví dụ 17: Giải phương trình:
$$x + \sqrt{5 + \sqrt{x - 1} } = 0$$
Lời giải:
ĐK : $x \in [1 ; 6],\,\,\ (1)$
Đặt $t = \sqrt{x - 1} , t \geq 0,\ \ \ (2)$ phương trình đã cho trở thành :
$$t^2 + \sqrt{5 + t} = 5 ,\ \ \ (3)$$
$$\Leftrightarrow t^4 - 10t^2 - t + 20 = 0 \Leftrightarrow (t^2 + t -4)(t^2 - t - 5) = 0$$
Đối chiếu với hai điều kiện $(1)$ và $(2)$ thay vào và giải ra :
$$x = \dfrac{11 - \sqrt{17} }{2}$$

Ví dụ 18: Giải phương trình:
$$x = \left (2006 + \sqrt{x}  \right )\left (1 - \sqrt{1 - \sqrt{x}}  \right )$$
Lời giải:
ĐK : $x \in [0 ; 1],\ \ \ \ (1)$
Đặt $t = \sqrt{1 - \sqrt{x} }\Rightarrow  0 \leq t \leq 1$. Khi đó:
$$\sqrt{x} = 1 - t^2 , x = (1 - t^2)^2 $$
phương trình đã cho trở thành :
$$(1 - t^2)^2 = (2006 + 1 - t^2)(1 - t)^2$$
$$\Leftrightarrow (1 - t)^2(1 + t)^2 = (2007 - t^2)(1 - t)^2 \Leftrightarrow 2(1 - t)^2(t^2 + t - 1003)$$
Vì $0 \leq t \leq 1$ nên: $t^2 + t - 1003 < 0$
Do đó phương trình tương đương với :
$$t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$$
Do vậy $x = 0$ (thỏa $(1)$)

 

2. Dùng 2 ẩn phụ.
Ví dụ 9: Giải phương trình
$$\sqrt{4x^2 + 5x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 9x - 3$$
Lời giải
Đặt $ a = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} , b = 2\sqrt{x^2 - x + 1}$
$$\Rightarrow  a^2 - b^2 = 9x – 3 \Rightarrow  a - b = a^2 - b^2 \Leftrightarrow (a - b)(a + b - 1) = 0$$
*$ a - b = 0 \Rightarrow  x = \dfrac{1}{3}$
*$  a + b - 1 = 0  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b = 9x - 3 \\  2a = 9x - 2 \\  \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\  x = \frac{{56}}{{65}} \\  \end{array} \right.$

Ví dụ 20: Giải phương trình
$$2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{x^3 + 8},\ \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ - 2 \leq x \leq 1$ hoặc$ x \geq 2$
Đặt $ u = \sqrt{x^2 - 2x + 4} , v = \sqrt{x + 2}$ ta có :
$$ u^2 - v^2 = x^2 - 3x + 2 .$$
$(1)$ trở thành :
$$ 2(u^2 - v^2) = 3uv \Leftrightarrow  (2u + v)(u - 2v) = 0 \Leftrightarrow  u = 2v$$
(Do $ 2u + v > 0$)
Để tìm $x$, ta giải :
$$\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 \sqrt{x + 2} \Leftrightarrow  x^2 - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow  x = 3 \pm \sqrt{13}$$
Kết hợp với điều kiện, phương trình $(1)$ có 2 nghiệm : $ x = 3 \pm \sqrt{13}$

Ví dụ 21: Giải phương trình
$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \  (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ x \geq 5$
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:
$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$
$\Leftrightarrow  2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$
Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:
$$(2)\Leftrightarrow  2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$
* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$
* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$

Ví dụ 22: Giải phương trình
$$\sqrt{x} + \sqrt[4]{x(1 - x)^2} + \sqrt[4]{(1 - x)^3} = \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1 - x)}$$
Lời giải:
ĐK : $ 0 \leq  x \leq  1$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt[4]{x} \\  v = \sqrt[4]{{1 - x}} \\  \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u \ge 0 \\  v \ge 0 \\  u^4  + v^4  = 1 \\  \end{array} \right.$
Từ phương trình ta được :
$$ u^2 + uv^2 + v^3 = v^2 + u^3 + u^2v$$
$\Leftrightarrow   (u - v)(u + v)(1 - u - v) = 0$

$\Leftrightarrow  (u - v)(1 - u - v) = 0 $( Do $ u + v > 0$)

từ đó ta giải ra được các nghiệm :$ x = 0 , x = \dfrac{1}{2} , x = 1 $

3. Dùng 3 ẩn phụ.
Ví dụ 23: Giải phương trình
$$\sqrt[3]{7x + 1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1} = 2$$
Lời giải:
Đặt $ a =  \sqrt[3]{7x + 1}  , b = - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} , c =   \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1}$, ta có:
$$ a + b + c = 2$$
$$ a^3 + b^3  +c^3 = (7x + 1) - (x^2 - x - 8) + (x^2 - 8x - 1) = 8,\ \ \  (1)$$
Mặt khác:  $ (a + b +c)^3 = 8,\ \ \   (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$$ (a + b + c)^3 -  (a^3 + b^3  +c^3) = 3(a + b)(b + c)(c + a)$$
Nên:
$$ (a + b)(b + c)(c + a) = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a =  - b \\  b =  - c \\  c =  - a \\  \end{array} \right.$$
Từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình: $ S = {- 1 ; 0 ; 1 ; 9}$

Ví dụ 24: Giải phương trình
$$\sqrt[3]{3x + 1} + \sqrt[3]{5 - x} + \sqrt[3]{2x - 9} - \sqrt[3]{4x - 3} = 0, \ \ \ (1)$$
Lời giải:
Đặt $ a =  \sqrt[3]{3x + 1} ; b = \sqrt[3]{5 - x} ; c = \sqrt[3]{2x - 9}$ Suy ra:
$$ a^3 + b^3 + c^3 = 4x - 3$$
khi đó từ $(1)$ ta có:
$$ (a + b + c)^3  =  (a^3 + b^3  +c^3)  \Leftrightarrow  (a + b)(b + c)(c + a) = 0$$
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình: $ x = -3  ;  x = 4  ;  x = \dfrac{8}{5}$

Còn tiếp ... Phần 4

Cùng thảo luận về vấn đề này tại: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=68077

Bình luận

  • Chưa có bình luận

Gửi bình luận

Đăng bình luận như là khách viếng thăm

0
điều khoản sử dụng.

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...