"Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic."
Albert Einstein
Bạn đang ở: Trang chủToán OlympicĐề thi, Kiểm tra OlympicĐề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2012

Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2012

 

Lời Ban Biên Tập: kì thi học sinh giỏi Quốc gia được diễn đàn trong hai ngày 11 và 12 tháng 1 năm 2012. Dưới đây chúng tôi xin giới thiệu đề thi chính thức của cả hai ngày. Thời gian làm bài mỗi ngày là 180 phút. Đáp án của kì thi sẽ nhanh chóng được cập nhật.

 

 

 

Ngày thi thứ nhất (11-01-2012)

 

 

Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số thực$(x_n)$ xác định bởi

$x_1=3$ và $x_n=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$ với mọi $n \ge 2$.

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n \to + \infty $. Tìm giới hạn đó.

Bài 2 (5,0 điểm). Cho các cấp số cộng $(a_n), \ (b_n)$ và số nguyên $m>2$. Xét $m$ tam thức bậc hai: $P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m$. Chứng minh rằng nếu hai tam thức $P_1(x),\ P_m(x)$ đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.

Bài 3 (5,0 điểm). Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $M,N$ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB$ và $CD$, $AD$ và $BC$. Gọi $P, Q, S, T$ tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp $\widehat{MAN}$ và $\widehat{MBN}, \widehat{MBN}$ và $\widehat{MCN}, \widehat{MCN}$ và $\widehat{MDN}, \widehat{MDN}$ và $\widehat{MAN}$. Giả sử bốn điểm $P, Q, S, T$ đôi một phân biệt.

  1. Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, S, T$ cùng nằm trên một đường tròn. Gọi $I$ là tâm của đường tròn đó.
  2. Gọi $E$ là giao điểm của các đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh rằng ba điểm $E, O, I$ thẳng hàng.
Bài 4 (5,0 điểm). Cho số nguyên dương $n$. Có $n$ học sinh nam và $n$ học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số $2n$ học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của $X$. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả $2n$ học sinh nhận được không vượt quá $\frac{1}{3}n(n^2-1)$.
 

 

 

Ngày thi thứ hai (12-01-2012)

 

 

Bài 5 (7,0 điểm). Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$, và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

  1. Mỗi ghế có đúng một người ngồi;
  2. Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$;
  3. Giữa $G_1$ và $G_2$ có ít nhất 3 chàng trai;
  4. Giữa $G_4$ và $G_5$ có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.
Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy? (Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau).

Bài 6 (7,0 điểm). Xét các số tự nhiên lẻ $a,b$ mà $a$ là ước số của $b^2+2$ và $b$ là ước số của $a^2+2$. Chứng minh rằng $a$ và $b$ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n)$ xác định bởi
$v_1=v_2=1$ và $v_n=4v_{n-1} - v_{n-2}$ với mọi $n \ge 3$.

Bài 7 (6,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập số thực $\mathbb R$, lấy giá trị trong $\mathbb R$ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
  1. $f$ là toàn ánh từ $\mathbb R$ đến $\mathbb R$;
  2. $f$ là hàm số tăng trên $\mathbb{R}$;
  3. $f(f(x))=f(x)+12x$ với mọi số thực $x$.

 

 

Độc giả có thể tham gia thảo luận về các bài toán hay đề xuất lời giải ở đây: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=67328.

Bình luận (3)

Gửi bình luận

Đăng bình luận như là khách viếng thăm

0
điều khoản sử dụng.

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...