Dành cho giáo viên

Bài viết này được đăng trong Thông tin toán học số 1 năm 1998 của Hội Toán học Việt Nam. Mời bạn thảo luận tại đây

Lời giới thiệu:      

Gian-Carlo Rota là một trong những nhà toán học Mỹ hàng đầu hiện nay. Ông là giáo sư về toán học ứng dụng và triết học ở Học viện công nghệ Massachussett (MIT) và là trưởng ban biên tập của tạp chí Advances in Mathematics, một trong những tạp chí danh giá nhất của nền toán học thế giới. Vừa qua ông đã trình bày những kinh nghiệm của ông về "nghề toán" trong một bài phát biểu với tên gọi: Mười bài học tôi ước đã được người ta dạy cho biết trước đây (Ten lessons I wish I have been taught). Bài phát biểu của Rota đã gây ra một cuộc tranh luận sôi nổi trong những nhà toán học Mỹ vì nhiều bài học không tuân theo lối suy nghĩ thông thường. Tôi hy vọng rằng bản dịch sau phản ánh được những điều Rota muốn truyền đạt

(Ngô Việt Trung).

 

1. Giảng bài

Bốn yêu cầu sau cho một bài giảng hay không phải là hiển nhiên đối với mọi người nếu tôi nghĩ đến các bài giảng tôi đã được nghe 40 năm qua.

a. Mỗi một bài giảng chỉ nên có một chủ đề.

Nhà triết học Đức Hegel từng nói rằng một nhà tiết học hay dùng từ "và" không phải là một nhà triết học giỏi. Tôi cho rằng ông ta nói đúng, ít nhất là đối với các bài giảng. Mỗi một bài giảng chỉ nên nêu lên một chủ đề và nhắc lại nó liên tục giống như một bài hát có nhiều lời. Người nghe cũng giống như một đàn bò chuyển động một cách chậm chạp theo hướng được dẫn đi. Nếu ta chỉ nêu một chủ đề thì ta có cơ may hướng được người nghe theo đúng hướng. Nếu ta dẫn theo nhiều hướng thì đàn bò sẽ tán loạn trên đồng. Người nghe sẽ mất hứng thú và mọi người phải quay trở lại chỗ họ đã dừng nghe để có thể tiếp tục theo dõi bài giảng.

b. Không bao giờ giảng quá giờ.

Giảng quá giờ là một lỗi không thể tha thứ được. Sau 50 phút (một vi thế kỷ như von Neumann thường nói) thì mọi người sẽ không còn quan tâm đến bài giảng ngay cả khi ta đang chứng minh giả thuyết Riemann. Một phút quá giờ giảng sẽ làm hỏng cả bài giảng hay nhất.

c. Liên hệ đến người nghe.

Khi vào phòng ta phải để ý xem có ai trong số người nghe mà công trình của người đó có liên quan đến bài giảng. Hãy ngay lập tức bố trí lại bài giảng sao cho công trình người ấy sẽ được đề cập đến. Bằng cách này, ta có ít nhất một người chăm chú theo dõi bài giảng và thêm một người bạn. Tất cả mọi người đến nghe bài giảng của ta đều hy vọng một cách thầm kín là công trình của họ sẽ được nhắc đến.

d. Đem đến cho người nghe một điều gì đó họ có thể mang về nhà.

Đây là một lời khuyên của Struik. Không dễ gì thực hiện được lời khuyên này. Ta có thể dễ dàng nêu lên mặt gì của một bài giảng sẽ được người nghe nhớ mãi và những cái này không phải là cái mà người giảng bài trông đợi. Tôi thường gặp những cựu sinh viên MIT đã từng nghe các bài giảng của tôi. Phần lớn họ thú nhận rằng đã quên nội dung bài giảng và tất cả những kiến thức toán học mà tôi nghĩ là đã truyền đạt được cho họ. Tuy nhiên, họ sẽ vui vẻ nhắc lại những câu đùa tếu, những mẩu chuyện tiếu lâm, những nhận xét bên lề hay một lỗi nào đấy của tôi.

 

 Hãy thôi dạy làm tính và bắt đầu dạy toán (stop teaching calculating, start teaching math).

Đó là ý tưởng đột phá của nhà toán học người Anh Conrad Wolfram về giáo dục toán học trong nhà trường phổ thông.

Wolfram đề xuất một bước nhảy vọt từ "toán học nhà trường" đến "toán học thực tiễn".

Tôi nghĩ việc dạy toán trong nhà trường đang thực sự có vấn đề.Điều cơ bản là ai cũng thấy không ổn. Người học cảm thấy môn toán nhàm chán, không thiết thực. Giới doanh nghiệp thấy rằng trình độ toán học của nhân viên không đạt yêu cầu.Chính phủ nhiều nước nhận ra rằng toán học rất quan trọng đối với việc phát triển kinh tế nhưng không biết phải làm gì để việc giảng dạy toán học đạt hiệu quả mong muốn.Trong khi đó, thế giới chúng ta sống ngày càng trở nên định lượng hơn.Trong lịch sử loài người, chưa bao giờ toán học có vai trò to lớn như hiện tại

Tại các hội thảo TED (Technology, Entertainment, Design Conference) năm 2009 và 2010, nhà toán học Conrad Wolfram đề xuất việc thay đổi hoàn toàn chương trình giảng dạy toán học trong giáo dục phổ thông. Trên trang mạng của mình, ông kêu gọi những người quan tâm cùng ông xây dựng chương trình giảng dạy toán học hoàn toàn mới, sử dụng máy tính triệt để ngay từ lớp vỡ lòng. Theo chương trình mới, máy tính vừa là công cụ làm tính, vừa là phương tiện để tiếp thu những khái niệm của toán học hiện đại.

 

  Conrad Wolfram

 

Cùng với người anh của mình là nhà vật lý tài năng Stephen Volfram - người sáng tạo phần mềm toán học nổi tiếng Mathematica - Conrad Wolfram thành lập Công ty Wolfram Research, cung cấp dịch vụ Wolfram|Alpha. Wolfram|Alpha hoạt động dựa trên công nghệ đột phá, cho phép lưu trữ tri thức ở dạng thức toán học, có khả năng làm tính với tri thức được lưu trữ (bằng trị số và bằng ký hiệu) để tạo ra tri thức mới.

Theo Conrad Wolfram, nội dung của môn toán trong nhà trường hiện tại quá khác biệt với toán học đang được sử dụng trong các ngành kinh tế. Những vấn đề trong mọi lĩnh vực kinh tế và kỹ thuật đều vận dụng toán học thông qua máy tính.Trong khi đó, nhà trường dành quá nhiều thời gian để học sinh rèn luyện kỹ năng làm tính thủ công - loại kỹ năng chỉ cần thiết trong quá khứ - thay vì rèn luyện tư duy toán học.Rèn luyện tư duy toán học không có nghĩa là định hướng học sinh thành nhà toán học.Trong thực tiễn, hầu hết người dùng toán học không phải là nhà toán học.

Trong cách nhìn của Wolfram, "làm tính" (calculating) chỉ là một bước trong việc "làm toán" (doing math).

Về thực chất, làm toán nghĩa là gì? Tôi cho rằng việc làm toán gồm bốn bước.

Bước 1 là đặt câu hỏi đúng. Nếu bạn đặt câu hỏi sai, chắc chắn bạn sẽ nhận được lời giải sai. 

Bước 2 là chuyển vấn đề của thực tế thành dạng thức toán học.

Bước 3 là những thao tác toán học để đi đến kết quả.

Bước 4 là chuyển kết quả toán học thành lời giải thực tế và kiểm tra lời giải đó. 

Có điều ngộ nghĩnh là hiện nay chúng ta nhất quyết tin rằng mọi người đều phải thực hiện bước 3 một cách thủ công. Có lẽ đến 80% việc dạy toán tập trung vào bước 3, hầu như bỏ qua bước 1, 2 và 4. Trong khi đó, máy tính có thể thực hiện bước 3 tốt hơn con người rất nhiều. Tôi nghĩ rằng chúng ta cần để học sinh dùng máy tính ở bước 3 và dạy học sinh thực hiện bước 1, 2 và 4 trên phạm vi rộng lớn hơn nhiều so với hiện nay.

Điều cốt yếu là toán học không đồng nghĩa với việc làm tính.Toán học là khoa học rộng lớn hơn nhiều.Trước khi có máy tính, chúng ta buộc phải làm tính thủ công vì không có cách nào khác. Việc làm tính chỉ là thao tác máy móc, là phương tiện chứ không phải mục tiêu. Muốn tiến xa, chúng ta cần đứng trên sự tự động hóa mà máy tính mang lại.

Wolfram nói rõ rằng ông không hề có ý khẳng định việc dạy học sinh làm tính thủ công là sai, nhưng vì đó là thao tác có thể tự động hóa hoàn toàn, không nên sử dụng quá nhiều công sức của học sinh nhằm hình thành loại kỹ năng không còn cần thiết trong thực tiễn.

Người ta nói rằng bạn cần tiếp thu điều cơ bản trước tiên. Khi nói như vậy, người ta ngụ ý rằng việc làm tính thủ công là cơ bản hơn sử dụng máy tính.Nhưng cơ bản nghĩa là gì?Cơ bản của cái gì? Liệu cơ bản của việc lái xe là việc sửa xe? Đúng là ở thời điểm trăm năm trước đây, muốn lái xe, người lái phải hiểu rõ sự vận hành của máy xe. Ngày nay, bạn không phải trở thành thợ máy trước khi lái xe. Đó là hai loại hoạt động hoàn toàn tách biệt. Điều cần thiết là làm cho con người có được trải nghiệm thực sự về hoạt động mà họ muốn thực hiện.

Đáp lại ý kiến khẳng định việc làm tính không dùng máy tính giúp phát triển tư duy toán học hơn là thao tác bấm nút máy móc, Wolfram cho rằng có sự nhầm lẫn về lịch sử phát triển tư duy toán học của loài người với trình tự phát triển tư duy toán học của từng người. Từ kinh nghiệm dạy toán cho con gái năm tuổi của mình, Wolfram thấy rằng cô bé tiếp thu dễ dàng những khái niệm của toán học giải tích nhờ phần mềm thích hợp, không cần rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm, tích phân, vốn là thao tác mà máy tính thực hiện cực nhanh.Chính thông qua tương tác với máy tính, những chuyên viên trong các ngành kinh tế, kỹ thuật có thể suy nghĩ trên những mô hình rất phức tạp.Đó là những điều mà họ không thể tiếp cận nếu họ chỉ làm tính thủ công. Người làm toán bằng máy tính tư duy theo cách rất khác với người làm tính thủ công.

 

 

 

Ví dụ của Wolfram về việc giới thiệu khái niệm giới hạn cho học sinh bé:

khi tăng dần số cạnh, đa giác đều tiến đến hình tròn.

 

 

 
 "Máy tính giấy"của con gái Conrad Wolfram.

 

Theo Wolfram, có những học sinh vui thích khi làm tính thủ công (thích tính nhẩm, thích biến đổi biểu thức,...), đó là hoạt động đáng khuyến khích vì đem lại niềm vui, nhưng không nên áp đặt điều đó cho tất cả học sinh, xem là mục tiêu của giáo dục toán học. Điều quan trọng là cho học sinh thấy được những vấn đề toán học trong muôn mặt của đời sống thực tiễn.

Liệu bạn có nghĩ rằng những học sinh hiện nay khi làm tính thủ công thấy rằng đó không phải là công việc máy móc? Học sinh hầu như không cần hiểu ý nghĩa thực sự của từng thao tác của mình khi làm tính thủ công, chỉ cần thực hiện thao tác thành thạo. Đó là lề lối của 50-100 năm trước.Ngày nay bên ngoài trường học không ai làm tính như vậy.

Người ta cho rằng máy tính làm giảm tư duy toán học nơi học sinh.Sự thực hoàn toàn ngược lại.Máy tính là công cụ tuyệt vời để hiểu những khái niệm toán học.Máy tính giải phóng bạn khỏi việc làm tính để suy nghĩ ở mức cao hơn. Muốn xác tín điều đó, bạn hãy nhìn vào thực tiễn. Liệu bạn có tin rằng những người làm khoa học kỹ thuật, những người chuyên nghiệp trong nhiều lĩnh vực phụ thuộc nhiều vào máy tính nên tư duy của họ có tính máy móc, giản đơn? Hoàn toàn không phải như vậy.Máy tính cho phép họ tiến xa.Họ giao việc làm tính cho máy tính và tập trung vào những khái niệm.

Có sự ngộ nhận phổ biến, nhầm lẫn những điều cơ bản của một môn học với thứ tự phát minh. Con gái tôi từng làm một cái máy tính xách tay bằng giấy. Tôi nói với cháu: 'Khi ở tuổi con, bố không làm việc này. Vì sao con làm máy tính bằng giấy?'. Cháu suy nghĩ vài giây và ngạc nhiên hỏi lại: 'Không có máy tính bằng giấy hả bố?'. Nếu bạn ở tuổi lên năm, thứ tự phát minh không quan trọng. Chúng ta cần hướng dẫn học sinh học tập bằng công cụ tốt nhất.

Để thực hiện mục tiêu giáo dục toán học mới, Wolfram cho rằng cần thay đổi hoàn toàn chương trình giảng dạy và cách thức kiểm tra.Giữa toán học được giảng dạy trong nhà trường và toán học được vận dụng trong thực tiễn là một "khe vực".Phải vượt qua khe vực đó bằng một bước nhảy vọt, thay vì tiến dần từng bước. Wolfram tin chắc rằng quốc gia nào thực hiện được bước nhảy vọt trong giáo dục toán học sẽ có bước nhảy vọt trong phát triển kinh tế.

 Cần phải nói rõ rằng tôi không nghĩ đây là việc cải tiến từng bước. Nếu bạn đứng trước một khe vực và bạn chọn cách tiến lên từng bước, bạn sẽ rớt xuống khe vực. Điều bạn cần là chạy thật nhanh, nhảy qua khe vực và hy vọng đến được bờ bên kia. Dĩ nhiên bạn phải xác định qũy đạo cho đúng trước khi nhảy!.

Bản thân việc xác định qũy đạo của bước nhảy cần đến toán học.

 

 Theo Tạp chí Echip

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Giáo viên thường tìm các biện pháp rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua các hoạt động dạy học Toán như tư duy sáng tạo, tư duy thuật giải, tư duy hàm, … mà ít quan tâm đến việc rèn luyện tư duy biện chứng.

Theo giảng viên Nguyễn Thị Kiều - Khoa Toán học (Trường ĐH Đồng Tháp), Toán học là một khoa học, nghiên cứu những quy luật của thế giới khách quan, bản thân những kiến thức toán học đã mang tính tư tưởng của duy vật biện chứng. 

Nên trong giảng dạy cần khai thác tính tư tưởng nội tại của Toán học và nghiên cứu sâu sắc để thấy được tính chất khoa học của Triết học trong Toán học. Từ đó, có phương pháp rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh. 

Để thực hiện tốt vấn đề này, theo giảng viên Nguyễn Thị Kiều, cần thực hiện tốt các biện pháp sau:

Nêu rõ tính chất thực tiễn của Toán học khi xây dựng khái niệm hay tính chất 

Trong dạy học, giáo viên cần nghiên cứu rõ lịch sử phát triển của toán học, để giải thích rằng trong điều kiện thực tế nào, hoàn cảnh nào đã phát sinh khái niệm, tính chất, …

Chẳng hạn, sự xuất hiện số nguyên là do nhu cầu phát triển của xã hội, cùng với sự phát triển đó là sự phát triển của các nền kinh tế nảy sinh nhu cầu mua, bán, trao đổi hàng hoá. Từ đó xuất hiện khái niệm “lỗ” và “lãi” trong mua bán.

Hay một quả cam chia cho ba người, về thực tế mỗi người được một miếng nhưng không thể dùng số nguyên để diễn tả một phần cam đã được chia đẫn đến sự hình thành nên số hữu tỷ; … 

Xem xét các đối tượng Toán học trong cái chung và cái riêng 

Theo Triết học, “Cái riêng” là phạm trù được dùng để chỉ một sự vật, một hiện tượng, một quá trình riêng lẻ nhất định. “Cái chung” là phạm trù được dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính chung, không những có mặt ở một kết cấu nhất định, mà còn được lặp lại trong nhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng lẻ khác. 

Vì thế, cần rèn luyện cho học sinh theo các  hướng sau:

Tìm nhiều cái chung từ việc xét một cái riêng

Tìm cái chung từ cái riêng có thể thực hiện theo quy trình 4 bước :

Bước 1: Quan sát cái riêng;

Bước 2: Phân tích và tìm mối quan hệ giữa các thành phần;

Bước 3: Khái quát hoá rút ra tính chất chung;

Bước 4: Kiểm chứng và áp dụng vào tính huống mới.

Tìm cái chung từ nhiều cái riêng: Cái riêng chỉ tồn tại trong mối quan hệ để đưa tới cái chung. Do đó, ta quan sát nhiều cái riêng sẽ phát hiện ra cái chung.

Tập cho HS xem xét các đối tượng toán học theo quan điểm vận động và biến đổi: Trong nhiều nội dung toán học chứa đựng bản chất duy vật biện chứng theo quan điểm vận động và biến đổi như: vị trí tương đối giữa hai đường tròn, vị trí tương đối của hai đường cong, quỹ tích, hàm số, công thức nghiệm của phương trình bậc..., ta cần khai thác triệt để nhằm rèn luyện khả năng tư duy biện chứng cho học sinh.

Khai thác bài toán từ bài toán trong sách giáo khoa

Từ một bài toán trong sách giáo, nếu học sinh biết khai thác và từng bước giải được hệ thống bài tập thì học sinh có khả năng phát triển tư duy trong đó có cả tư duy sáng tạo.

Giảng viên Nguyễn Thị Kiều cho rằng, với các biện pháp trên, giáo viên biết khai thác và vận dụng đúng hướng sẽ phát triển khả năng giải toán của học sinh; phát triển khả năng tư duy toán học đặc biệt là tư duy sáng tạo; nắm được các mối liên hệ của các tri thức trong chương trình một cách hệ thống.

 

 

 

Là một người thầy dạy toán, lại có hai lần là trưởng đoàn Việt Nam dự cuộc thi Olympic Toán học quốc tế (IMO 2005, 2013), tôi cũng nhận được nhiều câu hỏi, như: Có thành tích này, phải chăng cũng do đổi mới tư duy học và dạy toán, hay chỉ là do may mắn.

 

Lúc này, có nên vội vàng, quá sốt sắng với kết quả đạt được từ các kỳ thi toán quốc tế, hân hoan với các thành tựu xếp hạng như vậy. Học trò Việt Nam tư duy toán giỏi, đã phải là tư duy về các lĩnh vực khác cũng giỏi? Cần đổi mới hơn nữa việc dạy, học toán thế nào sao cho các em đi học thì đạt kết quả cao, phát triển tư duy tốt, đi thi quốc tế thì không bẽ mặt với thiên hạ?

Tôi muốn bắt đầu từ một “trò chơi chữ” nho nhỏ: Bên văn, theo tôi, cái tài của một ông thầy là chỉ nên “gợi” sao cho tài tình, để rồi trò có thể tự “cảm” được cái hay, vẻ đẹp, sự thâm thúy… của văn chương, sẽ tự mở ra cho chính mình một thế giới mới. Còn bên toán, người thầy “gợi” làm sao để trò có thể tự “mở” vấn đề.

Hơn 20 năm trước, tôi tốt nghiệp khoa Toán – Đại học Tổng hợp quốc gia Mátxcơva (Nga). Tới giờ, tính ra, tôi cũng đi dạy được 20 năm. Chừng 10 năm đầu, đi dạy – với tôi – vẫn chỉ là học việc. Tới giờ, vào tuổi 50, tương đối “chín” một chút, tôi thấy mình cũng đã có chút kinh nghiệm đúc kết được điều gì đó: Một bài toán ông thầy đưa ra tuy hay nhưng cổ, cũ rồi, trò thuộc cách giải rồi, thì đưa ra cũng bằng thừa. Là thầy, thì phải động não, phải tự tìm để đưa ra những bài toán mới với cách đặt vấn đề thật mới, có cấu trúc mới – một bài gói hai hay nhiều vấn đề.

Bài toán khó và hay đưa ra không phải để đánh đố trò, mà buộc trò rèn luyện kỹ năng, cũng phải động não tìm cách giải hay; trò muốn giải quyết được vấn đề, trước hết phải có tư duy liên hệ.

Rất quan trọng là người thầy đưa vấn đề làm sao gây bất ngờ để trò tìm được cách giải đẹp. Trên bục giảng, người thầy, khi trình bày vấn đề, cần tìm cách trình bày ngắn gọn nhất, xuyên suốt để trò nắm bắt nội dung có hệ thống. Khi đưa ra vấn đề, luôn có ý thức chờ đợi học trò sẽ “cải tiến” tư duy cho mình.

Vấn đề thầy đưa ra tốt, nghĩa là “gợi” tốt thì trò sẽ “mở” tốt. Cũng đôi khi, chính cách giải thú vị bất ngờ của học trò lại gợi cho thầy hướng nghiên cứu mới… Trong trường hợp này, thầy trò cộng hưởng với nhau, cùng làm giàu tri thức, tư duy cho nhau.

Tôi có cảm giác, chưa chắc những em nào được cho là thông minh là đã tìm được ra lời giải hay; chính những em “xoay xở” nhanh tìm được lời giải hay là khi không có gì bấu víu. Làm toán – cũng như sống – nếu cứ trong cảm giác “biết trước, cái gì mình biết là cũng đúng hết cả rồi” thì không còn gì sự lãng mạn cần thiết làm cuộc sống thi vị hơn.

Lại có người hỏi tôi chiếc chìa khóa nào dùng để mở cho “bài toán” giáo dục nước mình? Trong thời hạn 3 năm, 5 năm, bài toán này có giải quyết được một cách gọn ghẽ? Tôi không mơ mộng hão huyền, cũng không bi quan, tôi nghĩ là, một lời giải rất đẹp là có chứ, đó chính là sự cộng hưởng từ nhiều phía, trước hết giữa nhà quản lý với những người trực tiếp làm giáo dục.

Người làm quản lý giáo dục cần phải nhạy bén. Đổi mới giáo dục, trước hết thay đổi tư duy, não trạng của người thầy, đào tạo lại thầy. Thầy không thay đổi, sao trò thay đổi? Làm thầy hơn 20 năm nay, câu hỏi này, dưới một góc độ nào đó, với tôi, là khó đấy; vì thay đổi từng con người, nhất là những người đã qua tuổi 50, vào tuổi trung niên, bắt người ta thay đổi là thay đổi ra sao, kiểu nào?

Hay là hai bên cùng nhau “thỏa hiệp”? Các nhà quản lý và người trực tiếp giảng dạy cùng thay đổi. Nếu không có sự vận động tích cực từ hai phía thì sẽ không tạo ra các giá trị mới cho nền giáo dục.

Theo tôi, thời điểm canh tân rất thích hợp, hãy bắt tay vào, làm đi, đừng nói nhiều, đừng hô hào khẩu hiệu. Đưa ra một bài toán mà không chịu động não tìm lời giải, thì cũng vô ích. Đối với nền giáo dục nước ta, nếu quyết tâm thay đổi và bắt tay vào hành động, tôi tin sẽ có biến chuyển tốt.

(Theo Lao động)

 

 

 

Chương trình toán phổ thông hiện nay là thứ toán theo trào lưu toán học mới (new mathematics) của nhóm Bourbaki ở phương Tây những năm 1960. Đó là thứ toán tư duy hình thức đã cáo chung vào những năm 1970 – 1980 vì làm rối trí học trò, nhưng ở ta đến nay nó vẫn còn hiện diện trong sách giáo khoa (SGK). Ví dụ một kiểu toán học mới: Người ta chỉ quan tâm $2 + 5 = 7$, không quan tâm đến đơn vị. Bà Stella Baruk, nhà giáo dục Pháp, nêu bài toán Tuổi của vị thuyền trưởng cho học sinh tiểu học Pháp: “Trên con thuyền có $26$ con cừu và $10$ con dê. Hỏi thuyền trưởng bao nhiêu tuổi?”. Trong $97$ học sinh có $76$ em trả lời $26$ tuổi, $10$ tuổi và $26 + 10 = 36$ tuổi. Nguyên nhân là cộng số thuần túy mà không ràng buộc vào vật, đơn vị. Bà kết luận: “Không có toán học rắc rối, chỉ có những đứa trẻ bị (toán học mới) làm cho rối óc mà thôi(1).

Kiến thức xa rời thực tiễn

Vì ngại quá tải, không dám đào sâu những kiến thức liên quan đến thực tiễn, ví dụ như phần Hàm số khởi điểm từ lớp 7 đến lớp 10 vẫn rất sơ sài, thiếu nhiều khái niệm, cụm kiến thức như biến độc lập, biến phụ thuộc, họ hàm số, hàm số chuẩn… Ở Pháp, Đức học sinh lớp 6 đã được tiếp cận khái niệm hàm số, hiểu các mối tương quan, các giá trị thực tiễn qua biểu đồ hình cột, đường gấp khúc, đồ thị liên tục, rời rạc(2)… Trong khi đó SGK toán ở ta “tránh vỏ dưa gặp vỏ dừa”, lại có những chương nặng tính hình thức như:

Phương pháp tọa độ trong không gian (hình học lớp 12) ở đó đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu… được “đại số hóa” chẳng liên quan gì đến cuộc sống cả. Hãy hình dung mặt phẳng như mặt quyển vở sẽ được số hóa, có phương trình: $2x + 3y + z – 7 = 0$; mặt cầu như trái banh có phương trình: $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = 4$ . Tham vọng hoàn thiện một thứ hình học thuần túy hình thức, không cần hình vẽ(!). Việc số hóa hình học nên dừng ở hình học phẳng là vừa.   

Số phức (giải tích lớp 12) chẳng hạn, cả một chương phức tạp chỉ để hoàn thiện tập hợp số các loại gọi là cho xong, và để cho mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm, mọi số âm đều có căn bậc hai. Trừ những nhà nghiên cứu chuyên sâu về vật lý, toán học thì không ai cần đến số phức cả(!). Để dành số tiết này ứng dụng vào thực tế của đạo hàm, tích phân không thiết thực hơn sao?

Các tác giả viết SGK toán ngại liên hệ đời sống, hay vì lý do khác, đành lấp chỗ trống bằng cách dàn trải những chương vô bổ, mỗi thứ học một ít. Không lẽ đến lúc phải học một chút hình học Riemann, một chút Topo đại số ở trường phổ thông? Chương thiết thực nhất cho đời sống là tổ hợp – xác suất thì mức yêu cầu chưa tới ngưỡng. Một số toán ứng dụng trong SGK, bộ sách phân ban hiện nay, chỉ như vội vàng lắp ghép vào bài học cho có để chữa cháy. Giáo viên dạy toán chưa bao giờ đụng đến phần ứng dụng này bởi trong các kỳ thi, đề toán không hề có bóng dáng chúng. Lạ hơn, đề thi toán thường là những bài toán rời rạc thiếu liên kết. Ở những nền giáo dục hiện đại, liên hệ thực tiễn luôn là “kim chỉ nam” trong quá trình soạn SGK toán bậc phổ thông.

SGK toán hiện rất khô khan, thiếu hình ảnh minh họa để học sinh tư duy trực quan. SGK nên nêu rõ yêu cầu, kỹ năng làm toán sau mỗi bài học cho học sinh biết, chứ không thể một mình giáo viên biết thông qua quyển chuẩn kiến thức – kỹ năng rồi muốn nói sao với học trò cũng được. Bài tập nên chịu khó phân ra từng cấp độ từ thấp đến cao, tìm cách ngăn ngừa giáo viên chạy theo thành tích hoặc muốn dạy thêm, họ sẽ dạy nâng cao để làm khó và rào đón rộng đề thi như viên bác sĩ dở chữa cảm xoàng bằng đống thuốc kháng sinh nặng đô.

Phải nghĩ viết SGK là cho học sinh chứ không phải cho giáo viên. Giáo viên chỉ cần nắm chương trình là đủ. Khi SGK khéo léo nhắm đến việc để học sinh tự học phần lớn, lúc đó buộc giáo viên phải mở rộng tầm hiểu biết, đào sâu chuyên môn, bằng không anh sẽ không biết dạy gì trên một tiết học. SGK phải nghĩ đến chuyện bổ sung, chỉnh sửa (lần này đừng nghĩ cải cách nữa) chứ tài giỏi gì mà viết một lần hoàn chỉnh ngay. Điều này càng dễ dàng hơn khi SGK điện tử được thông dụng.

Đừng lấy sự cô đọng làm tiêu chí soạn SGK. Toán học càng chặt chẽ càng xa rời thực tế, tôi nhớ Einstein đã nói vậy (The laws of mathematics, as far as they are certain, they do not refer to reality). Chương trình toán phổ thông như con gà cồ đẹp mã ở phương Tây, sang ta đã bị vặt trụi lông.

Không biết ứng dụng vào cuộc sống

Thói thường người đến trước hay chê kẻ đi sau, rằng học sinh lớp 12 bây giờ không biết gì cả, không có “tầm vóc” của một tú tài. Tất nhiên là vơ đũa cả nắm nhưng quả thật số “không biết gì” đông quá. Xin kể:

Tôi hỏi một cán bộ địa chính xã, làm cách nào đo diện tích mảnh đất có hình đa giác bất kì? (hình 1). Trả lời: “Canh một hình chữ nhật lớn để đo, các mảnh nhỏ còn lại thì phỏng chừng”. Tôi nói: “Sao không chia mảnh đất ấy thành nhiều tam giác rồi dùng công thức Héron (lớp 10)?”. Trả lời: “Nhưng lâu nay làm thế, đâu có thấy ai kiện cáo vì thiếu diện tích”. Anh ta còn lấy ra tấm kính, trên đó kẻ những ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông tương ứng 1 sào. Khi cần biết diện tích mảnh đất X trên bản đồ (do địa chính tỉnh vẽ) anh ta áp tấm kính lên, đếm số ô vuông, những phần không trọn ô ở ngoài rìa thì độ chừng ghép lại. Ôi, cán bộ địa chính. Công thức Héron tính diện tích tam giác liên quan đến độ dài ba cạnh, nó là lựa chọn tối ưu bởi ngoài thực địa xác định đường vuông góc là không khả thi. Thế nhưng vận dụng nó vô thực tế, hoàn toàn không được nhắc đến trong SGK(*).

 

Hình học lớp 12 nêu công thức tính thể tích hình trụ: $V = B.h$. Trong đó $B$ là diện tích mặt tròn đáy, $h$ là chiều cao. Một học sinh theo cha chở mấy khúc gỗ tròn (hình trụ) đến xưởng cưa. Khúc gỗ không có mặt tròn đáy rõ rệt, chỗ phình to, chỗ hơi nhỏ, cậu học sinh bảo không thể ứng dụng công thức SGK. Thợ cưa đo chu vi (vành) khúc gỗ, đo chiều dài rồi tính: vành nhân vành nhân chiều dài rồi nhân cho $0,08$ là ra thể tích, qui tiền công. Công thức trong SGK với công thức người thợ cưa là như nhau nhưng cậu học trò lớp 12 kia mù tịt, vì nó không hề được nói trong SGK. Tôi thường đề nghị học sinh chứng minh hai công thức trên là tương đương để nhận điểm 10 nhưng chưa hề có phản hồi. Công thức kia không có trong SGK, tức không thi cử chỗ ấy, hơi sức đâu. Có lẽ học sinh nghĩ thế(**).

 

Một xe phân chuồng, cát, đá đã đổ xuống đất, nghi bị thiếu, làm sao? Học sinh tốt nghiệp lớp 12 trả lời: “Em biết tính thể tích khối hộp chữ nhật là thùng xe, biết thể tích khối chóp, còn bây giờ nó đổ ra đất đâu có hình thù gì đã học”(!). Ta dễ dàng vun phân chuồng thành dạng gần giống hình chóp cụt, đáy là hình chữ nhật (hình 2), tính thể tích bằng công thức: $V = (B + 4B'' + B').\frac{h}{6}$ gọi là công thức vạn năng(3). Trong đó diện tích đáy dưới $B = a.b$, diện tích đáy trên $B'= a'.b'$, diện tích thiết diện giữa $B'' = \frac{a+a'}{2}.\frac{b+b'}{2}$. Cũng có thể vun sơ đống cát thành dạng chóp cụt có đáy là hình tròn khi đó $B, B', B''$ là diện tích hình tròn, ta vẫn áp dụng được công thức trên. Gặp khúc gỗ một đầu quá to, đầu kia quá nhỏ, ta cũng áp dụng công thức này. Một công thức thiết thực như thế không có trong SGK. Tôi cũng đề nghị học sinh liên hệ công thức vạn năng vào các trường hợp riêng tính thể tích khối hộp, khối chóp xem có ứng với công thức SGK? Lại lần nữa như hỏi vào thinh không(***).

Tôi nêu một số ví dụ để thấy học toán mà không ứng dụng được vào đời sống thì có còn là toán phổ thông nữa không? Fukuzawa Yukichi (1835-1901), nhà tư tưởng khai sáng ở Nhật, nói: “Dù có nhồi nhét đầy kiến thức trong đầu nhưng không thể ứng dụng vào thực tế thì cũng vô nghĩa” mà thôi.

Tham khảo

(1) http://vietsciences.free.fr/timhieu/trietly-giaoduc/thayboixemvoi7.htm

(2) Mathematiques 6e. Hatier, Paris, Avril 1996, ISBN 2-218-1720-2.

(3) Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, trang 149, in tháng 8 năm 2004.

Bổ sung

(*) Công thức Héron:$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác, $p=\frac{a+b+c}{2}$.

(**)  $V= B.h = \pi R^2h$ ($R$ là bán kính mặt tròn đáy), $h$ là chiều cao (dài); công thức SGK.

$$V = \text{vành } \times \text{vành } \times \text{chiều dài } \times 0,08 = 2\pi R.2\pi R.h.0,08 = \pi R^2.h.4 \pi .0,08= \pi R^2.h$$

(vì  $4\pi .0,08 \approx 1$); công thức thợ cưa. Vậy hai công thức là như nhau.

(***) Thử kiểm tra công thức

$V=\frac{1}{6}(B+4B''+B')h \text{  (a)}$ có ứng với công thức trong SGK cho các hợp riêng hay không? Nếu hình 2 là hình hộp thì ba đáy bằng nhau, khi đó

$V=\frac{1}{6}(B+4B+B)h = Bh$. Nếu là hình chóp thì $B'=0, B''=\frac{1}{4}B$, thay vào $(a)$ ta được $V = \frac{1}{6}(B+B)h = \frac{1}{3}Bh$ ứng với các công thức trong SGK.

 

Theo Hocthenao.vn

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...

Go to top