Đến nội dung


Chuyên mục

 Photo

Tuần 3 tháng 1 năm 2017: Chứng minh $PA^2=PI \cdot PJ$.

15-01-2017

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 1 đã được thầy Hùng cho tại đây và kèm theo đó là bài toán mới. Xin được trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $CA,AB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong $(O)$. Tiếp tuyến qua $A$ của các đường tròn $(K),(L)$ ngoại tiếp các tam giác $ABE, ACF$ cắt $BE,CF$ lần lượt tại $S,T$. $KS$ cắt $LT$ tại $M$. Trung trực $AI$ cắt $AO$ tại $N$. $MN$ cắt $AI$ tại $P$. Chứng minh rằng $PA^2= PI \cdot PJ$.

 

 Screen Shot 2017-01-16 at 12.25.20 AM.png

  339 Lượt xem · 1 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi ecchi123 )

 Photo

Giải Wolf $2017$

13-01-2017

wolf-2017-fefferman.jpg wolf-2017-schoen.jpg

Charles Fefferman ( trái ) , đại học Princeton và  Richard Schoen ( phải ) , đại học Califonia , Irivine đã giành được giải thưởng Wolf năm $2017$ trong toán học cho " những đóng góp đột phá trong giải tích và hình học " . Giải thưởng $100000$ đô được chia cho hai người . 

Trích dẫn cho Charles Fefferman là ông ấy có những đóng góp lớn với nhiều lĩnh vực , như giải tích phức nhiều biến , phương trình đạo hàm riêng và vấn đề subelliptic . Ông giới thiệu các kĩ thuật cơ bản trong giải tích điều hóa và khám phá ứng dụng cho một loạt các lĩnh vực như động lực học vật chất , hình học phổ và vật lý toán . Ngoài ra ông ấy còn giải quyết các vấn đề lớn liên quan đến các cấu trúc phức tạp , tinh tế cho các phương trình đạo hàm riêng . Fefferman nhận giải Fields năm $1978$ , giải thưởng Bergman năm $1982$ và giải thưởng tưởng niệm Bocher năm $2008$ . 

Richard Schoen được công nhận là " người tiên phong " và tạo động lực trong hình học giải tích. Đoạn trích dẫn tiếp : " Các công trình của ông về hàm điều hòa và mặt cực tiểu đã có ảnh hưởng lâu dài . Lời giải của ông ấy cho vấn đề Yamabe là cơ sở để phát hiện một mối liên hệ sâu sắc với thuyết tương đối tổng quát . Thông qua công việc của mình trong hình học giải tích , Schoen đã có đóng góp rất lớn cho sự hiểu biết của chúng ta về mối tương quan giữa phương trình đạo hàm riêng và hình học vi phân . Schoen nhận giải tưởng niệm Bocher năm $1989$ , là thành viên viện hàn lâm khoa học , cũng như một thành viên của AMS , American Academy of Arts , Sciences , và hiệp hội Mỹ vì sự tiến bộ của khoa học . Ông hiện là một phó chủ tịch của AMS . 

Giải thưởng Wolf , được đưa ra lần đầu tiên năm $1978$ , được trao bởi quỹ Wolf . Người trúng giải sẽ nhận giải từ tổng thống Israel trong một buổi lễ đặc biệt tại tòa nhà Quốc hội Israel ở Jerusalem . Đây là danh sách những người đoạt giải năm nay . 

Nguồn : ams.org

  118 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Vài điều lý thú về định lý Brouwer và định lý Borsuk-Ulam

10-01-2017

Định lý Brouwer và định lý Borsuk-Ulam

 

 

Trong cái hỗn độn luôn có một trật tự nào đó , quả thật như vậy . Hai định lý toán học định lý điểm bất động Brouwer và định lý Borsuk-Ulam sẽ cho ta thấy một phần trật tự trong cái hỗn độn đó , và nó cũng là hai định lý rất nổi tiếng của toán học . 

Định lý điểm bất động Brouwer 

Trước tiên ta bắt đầu với một ví dụ : 

 

 

34-dinhlidiembatdong.jpg

 

400px-Mainpic134.jpg

 

Chúng ta lấy hai đĩa tròn một cái màu xanh một cái đỏ để đè lên nhau ,cái đỏ ở trên , dĩ nhiên đè khít lên sau đó chúng ta có thể bóp méo cái đĩa đỏ . Hoặc là chúng ta lấy hai tờ giấy đè sát lên nhau , nếu ta vo cục giấy kia thành hình " khá tròn " rồi để lên tờ còn lại , ép phẳng nó ra . Cũng tương tự như khi bạn làm với sợi dây hoặc xoay tròn nước trong một tách cafe .bạn lấy Định lý Brouwer nói với ta rằng luôn có một điểm tiếp xúc không thay đổi . Vậy một cách toán học thì thực ra các " bóp méo " của ta là thực hiện một ánh xạ liên tục lên chính dụng cụ ta đang dùng .

Ta cùng tham khảo thêm một số thông tin : 

Định lý điểm bất động Brouwer phát biểu năm $1912$ bởi nhà luận lý học người Hà Lan Luizen Egtebus Jan Brouwer . Đây là một trong các định lý toán học quan trọng của thế kỉ $20$ , ngày nay vẫn được mở rộng . Chứng minh của nó sử dụng phương pháp bậc của ánh xạ liên tục trong topo . Ngày nay đã có ít nhất $5$ chứng minh khác nhau . Sau đây là phát biểu nguyên thủy ( ta không tìm hiểu thêm mở rộng ) : 

" Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng trong $R^{n}$ vào chính nó phải có điểm bất động " .

Một thông tin khá thú vị mà mình tìm trên diendantoanhoc.net từ thành viên TieuSonTrangSi , xin phép trích lại đoạn đó : 

" Một trong những nhà luận lý , toán học người Hà Lan Jan Brouwer ( $1881 - 1966$) là người dẫn đầu trường phái trực giác . Trường phái của ông chống lại chủ nghĩa hình thức của Hilbert và chủ nghĩa logic của Russell . Đặc biệt Brouwer bài bác tất cả các chứng minh sử dụng phép phản chứng . Theo ông mọi chứng minh phải có tính xây dựng . Những nỗi quan tâm về triết lý toán học làm Brouwer mất ăn mất ngủ và mất giá trị trong lính vực của mình ( topo ) . Ông không bao giờ dạy topo , chỉ dạy triết lý toán học theo phái trực giác . Có điều khá mỉa mai là Brouwer tìm ra chứng minh định lý điểm bất động rất quan trọng nhưng ở thế kỉ $21$ khi người ta nhắc đến chứng minh định lý điểm bất động Brouwer thì chứng minh ngắn nhất sử dụng phép phản chứng và người ta không thể đưa ra một phép xây dựng cho nó" .

Nhưng mặc cho như vậy , định lý này vẫn là một trong các định lý quan trọng của toán học .

Định lý Borsuk - Ulam

Trong khí tượng học có một định lý khá hay là : 

" Tại mọi thời điểm trên mặt cầu trái đất luôn tồn tại hai điểm mà ở đó có cùng nhiệt độ và áp xuất khí quyển . " 

Nhưng hay thay nó không liên quan lắm đến khí tượng hay gì cả , mà lại nằm trong phần bài tập sách topology của Munkres ( cười ) . Lịch sử về nó thì không nhiều lắm nên mình chỉ nêu phát biểu nguyên thủy của nó : 

" Mọi ánh xạ liên tục $f$ từ hình cầu $S^{n}$ vào $R^{n}$ luôn có hai điểm trái tọa độ nhưng lại cùng giá trị " , nôm na là tồn tại  $x \in S^{n}, f(x) = f(-x)$ . Bạn có thể hiểu $x$ và $-x$ là hai điểm đối xứng nhau qua tâm trái đất , còn $f(x),f(-x)$ là nhiệt độ hoặc áp xuất tại đó . 

Vậy trong khí tượng hàm nhiệt độ và áp xuất ra sao như nào mình không biết như trong toán nó là có lý . Dĩ nhiên ta nên bảo với mấy ông bên khí tượng là tại sao hai hàm của các ông lại liên tục vậy . Sau đây là một video liên quan đến nó và kết thúc bài viết của mình .

Nguồn : 
Youtube.com 
Wikipedia 
Math fun fact 
diendantoanhoc.net

  891 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi bangbang1412 )

 Photo

Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

09-01-2017

Như vậy bài toán Tuần 1 tháng 1 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. $S,T$ là hai điểm cố định trên $(O)$. $PS,PT$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $EF$ cắt một đường tròn $(K)$ cố định qua $BC$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng đường tròn $(PQR)$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $P$ thay đổi.

 

 Screen Shot 2017-01-09 at 6.05.53 AM.png

  389 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi SonKHTN1619 )

 Photo

Đề cử Thành viên nổi bật 2016

06-01-2017

DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC

Vietnam Mathematics Forum

-------------------

 

 

Hà Nội, ngày 06 tháng 01 năm 2017

 

Gửi toàn thể thành viên Diễn đàn!

 

Bình chọn Thành viên nổi bật của năm là hoạt động thường niên của Diễn đàn. Đây là một hoạt động tri ân có ý nghĩa của BQT cũng như toàn thể Diễn đàn cho các thành viên có nhiều đóng góp cho Diễn đàn. Qua đó, một mặt tạo nên không khí sôi nổi trong hoạt động của Diễn đàn, một mặt tăng cường tinh thần đoàn kết, hiểu biết, tôn trọng lẫn nhau của các thành viên. Các ứng viên đứng đầu sẽ nhận được quà và chứng nhận từ BQT.

 

I. Quyền đề cử, ứng cử

Mọi thành viên Diễn đàn toán học đều có quyền ứng cử, đề cử (không giới hạn số lượng) thành viên khác đủ tiêu chuẩn vào Danh sách đề cử.

 

II. Tiêu chuẩn:

Người được đề cử (hoặc tự ứng cử) Thành viên ấn tượng năm phải có đầy đủ các tiêu chuẩn sau:

 

1) Không phải là Quản trị Diễn đàn toán học. (Admin không nên tự viết giấy chứng nhận để khen mình).

2) Là thành viên đã gia nhập Diễn đàn được tối thiểu 1 năm

3) Có nhiều đóng góp cho Diễn đàn trong năm 2016. Cụ thể là có sự nổi bật ở một trong các hoạt động sau:

- Tổ chức thi, ra đề, chấm thi, tham gia thi VMEO

- Tổ chức, tham gia viết chuyên đề

- Dịch bài, đăng bài về ứng dụng toán, tin tức toán học

- Tích cực giải bài PSW

- Tích cực tham gia Mỗi tuần 1 bài toán hình học

- Thảo luận sôi nổi trên nhiều topic của Diễn đàn

- Tham gia tích cực công tác điều hành Diễn đàn

- Tích cực quảng bá cho Diễn đàn, tương tác tốt với fan

- Các thành tích nổi bật khác do thành viên đề xuất.

 

III. Cách đề cử, ứng cử

Thành viên đề cử, ứng cử sẽ giới thiệu Ứng viên ngay trong topic này theo mẫu dưới đây:

1. Tên Nick ứng viên

2. Thành tích (đóng góp) nổi bật

3. Ghi chú thêm (nếu có)

 

 

IV. Tiến trình và thể lệ

Sau khi tất cả thành viên đề xuất, BQT và các ĐHV sẽ họp, chốt Danh sách Ứng cử viên còn 15 người. Danh sách Ứng cử viên sẽ được thông báo công khai và có topic để thành viên bình chọn. Năm thành viên có số phiếu cao nhất sẽ được BQT vinh danh, Ba thành viên có số phiếu cao nhất được khen thưởng. 

 

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Thời gian}& \textbf{Công việc} & \textbf{Người thực hiện} \\ \hline 06/01 - 13/01 & \text{Đề xuất ứng viên} & \text{Tất cả thành viên}\\ \hline 13/01 - 20/01 & \text{Chốt Danh sách ứng viên còn 15 người} & \text{BQT và ĐHV}\\ \hline 20/01 - 15/02 & \text{Bình chọn} & \text{Tất cả thành viên}\\ \hline 16/02 - 26/02 & \text{Khen thưởng} & \text{BQT}\\  \hline  \end{array}$$

 

BQT kêu gọi thành viên Diễn đàn hết sức công tâm, trách nhiệm để hoạt động này của Diễn đàn thực sự có ý nghĩa.

  2151 Lượt xem · 31 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi baopbc )

 Photo

Đề Thi VMO năm 2017

04-01-2017

     BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2017

                                                                                                         

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC

                             Môn Toán 

                         Thời gian : 180 phút

                                     

Ngày thi thứ nhất 05/01/2017

 

Bài 1 . (5,0 điểm)

 

Cho $a$ là số thực và xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi : 

 

$$u_1=a,u_{n+1}=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{2n+3}{n+1}u_n+\frac{1}{4}}\forall n\in\mathbb{N^{*}}$$

 

a)Khi $a=5$ ,chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

b)Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy số $(u_n)$ xác định và có giới hạn hữu hạn

 

Bài 2 . (5,0 điểm)

 

Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn : 

 

$$\left\{\begin{matrix} P(1+\sqrt[3]{2})=1+\sqrt[3]{2} & & \\ P(1+\sqrt{5})=2+3\sqrt{5} & & \end{matrix}\right.$$

 

Bài 3 . (5,0 điểm)

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn ,không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ .Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$ ; $AH$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $A$)

 

a)Gọi $I$ là trung điểm của $AH$ ; $EI$ cắt $BD$ tại $M$ và $FI$ cắt $CD$ tại $N$ . Chứng minh rằng: $MN\perp OH$

 

b)Các đường thẳng $DE,DF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $P,Q$ ($P$ và $Q$ khác $D$ ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ và $AO$ lần lượt tại $R$ và $S$ ($R,S$ khác $A$ ).Chứng minh rằng : $BP,CQ$ và $RS$ đồng quy

 

Bài 4 .  (5,0 điểm)

 

Cho số nguyên $n>1$ . Bảng vuông $ABCD$ kích thước $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông đơn vị , mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi ba màu : đen,trắng,xám . Một cách tô màu được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được tô màu xám và mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được tô màu đen hoặc cùng màu trắng . Người ta điền vào mỗi ô xám số $0$ , mỗi ô trắng một số nguyên dương và mỗi ô đen một số nguyên âm . Một cách điền số như vậy được gọi là $k-$ cân đối (với $k$ là số nguyên dương) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

 

    (i) Mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được điền cùng một số nguyên thuộc đoạn $\left [ -k;k \right ]$

 

    (ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được điền trên hàng đó và tập số nguyên dương được điền 

         trên cột đó không giao nhau;nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau

 

a)Với $n=5$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để tồn tại cách điền hình số $k-$ cân đối cho cách tô màu như hình bên dưới

 

Capture.PNG

 

b)Với $n=2017$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để với mọi cách tô màu đối xứng , luôn tồn tại cách điền $k$ cân đối

 

 Ngày thi thứ hai 06/01/2017

 

Bài 5 . (6,0 điểm).

 

Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức:

 

$$f\left ( xf\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+xy$$

 

với mọi số thực $x,y$

 

Bài 6 . (7,0 điểm) 

 

Chứng minh rằng:

 

a)$\sum_{k=1}^{1008}kC_{2017}^{k}\equiv 0$ (mod $2017^2$ )

 

b)$\sum_{k=1}^{504}\left ( -1 \right )^kC_{2017}^{k}\equiv 3\left ( 2^{2016}-1 \right )$ (mod $2017^2$ )

 

Bài 7 . (7,0 điểm)

 

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$  và $G$ là một điểm thuộc cung $BC$ không chứa $O$  của đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $OBC$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AC$ tại $E$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACG$ cắt $AB$ tại $F$ ( $E$ và $F$ khác $A$ )

 

a)Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Chứng minh $AK,BC$ và $OG$ đồng quy

 

b)Cho $D$ là một điểm thuộc cung $\overbrace{BOC}$ chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ; $GB$ cắt $CD$ tại $M$ . $GC$ cắt $BD$ tại $N$ . Giả sử $MN$ cắt $(O)$ tại hai điểm $P,Q$ .Chứng minh rằng: khi $G$ thay đổi trên cung BC không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ , đường tròn ngoại tiếp $GPQ$ luôn đi qua hai điểm cố định

  15588 Lượt xem · 70 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi IHateMath )

 Photo

Tuần 1 tháng 1/2017: Chứng minh đường thẳng chia đôi đoạn thẳng

01-01-2017

Như vậy thầy Hùng đã đưa lời giải cho bài Tuần 4 tháng 12/2016 tại Tuần 1 tháng 1 năm 2017 và kèm theo đó là bài toán mới. Xin được trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ có đường đối trung $AD$. $O,K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $ABC,ADB,ADC$. $J$ thuộc $KL$ sao cho $JD \perp BC$. Trung trực $KL$ cắt $OJ$ tại $P$. $I,Q$ lần lượt là trung điểm $AO,JD$. $H$ là hình chiếu của $I$ lên đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $AD$. Chứng minh rằng $QH$ chia đôi $AP$.

  729 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quynhlqd2016 )

 Photo

Số $e$ là số gì vậy?

01-01-2017

e-day-new.jpg

 

Bài viết này sẽ nói về số $e$, một hằng số nổi tiếng, có vai trò quan trọng trong Toán học giống như số $\pi $, tỉ số vàng, $\sqrt{2}$, … $e$ là một số vô tỉ, có giá trị là $2.7182818\ldots $

 

Điều thú vị ở số $e$ là nguồn gốc hình thành nên hằng số này không xuất phát từ Hình học. Một hằng số nổi tiếng có từ thời Hi Lạp cổ đại xuất phát từ Hình học đó là số $\pi $, hình thành dựa trên tỉ số của chu vi và đường kính của cùng một hình tròn. Ngoài ra, còn nhiều hằng số khác có từ thời Hi Lạp cổ đại và xuất phát từ Hình học.

 

Hinh1.PNG  Hinh2.PNG

 

Tuy nhiên, số $e$ thì khác, con số này không xuất phát từ Hình học, không dựa trên một hình nào cả. $e$ là một hằng số Toán học liên quan đến sự tăng trưởng và tốc độ thay đổi. Liên quan như thế nào ư? Ta hãy quan sát bài toán đầu tiên sử dụng đến số $e$.

 

Vào thế kỷ 17, nhà Toán học Jacob Bernoulli nghiên cứu về bài toán lãi kép, giả sử bạn có 1 Đồng trong ngân hàng, giả sử ngân hàng này hào phóng đến mức đưa ra lãi suất $100\%/\text{năm}$, điều này có nghĩa sau một năm, bạn được 2 Đồng, bao gồm 1 Đồng ban đầu và $1 \times 100\% = 1$ Đồng từ lãi.

 

Hinh3.PNG

 

Vậy nếu ngân hàng trả lãi suất $50\%/6 \text{ tháng}$ thì sao? Bạn sẽ được lãi nhiều hơn hay ít hơn? Giả sử bạn có 1 Đồng, với lãi suất trên thì sau 6 tháng bạn được 1.5 Đồng (bao gồm 0.5 Đồng tiền lãi). 6 tháng tiếp theo, bạn sẽ được 2.25 Đồng, bao gồm 1.5 Đồng ở 6 tháng trước và $1.5 \times 50\% = 0.75$ Đồng tiền lãi kì này.

 

Nếu ngân hàng trả lãi theo từng tháng, tức lãi suất là $\frac{1}{12} = 8.(3)\%/\text{ tháng}$ thì sao? Số tiền sẽ nhiều hơn chứ? Sau tháng thứ 1, khi tính luôn tiền lãi thì tổng số tiền hiện giờ là

$$1+1\times \frac{1}{12}=1\times \left( 1+\frac{1}{12} \right)=\left( 1+\frac{1}{12} \right)$$

Tương tự, đến tháng thứ 3

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}+{{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\times \frac{1}{12}={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\left( 1+\frac{1}{12} \right)={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{3}}$$

Cứ thế, ta sẽ tính được đến tháng 12, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{12}}=2.61$$

Vậy với cách tính lãi này thì sau 1 năm ta sẽ kiếm được 2.61 Đồng. Trên thực tế, càng chia nhỏ thời điểm lấy lãi theo tỉ lệ tương ứng thì số tiền thu được càng nhiều, cụ thể như ngân hàng tính lãi hàng tuần với lãi suất $\frac{1}{52} = \frac{25}{13}\% \approx 1.923\%/ \text{ tuần}$ (1 năm có 52 tuần), khi đó sau 1 năm, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{52} \right)}^{52}}=2.69$$

Có lẽ bạn đã thấy được biểu thức tổng quát sẽ có dạng

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Nếu ta tính lãi từng tháng thì $n=12$, tính từng tuần thì $n=52$. Nếu ta tính lãi theo từng ngày, tổng số tiền có được sau 1 năm là

$${{\left( 1+\frac{1}{365} \right)}^{365}}=2.71$$

Số tiền sẽ ngày càng nhiều khi ta tính lãi theo từng giây, hay thậm chí từng nano-giây. Vậy nếu ta trả lãi liên tục theo thời gian thì sao? Cứ mỗi khoảnh khắc là sẽ có lãi, lãi suất liên tục thì kết quả sẽ như thế nào? Để biết được câu trả lời, ta sẽ cho $n\to +\infty $ và xem biểu thức ấy cho ra giá trị là bao nhiêu. Tiếc thay Bernoulli khi ấy chưa tìm ra được kết quả dù ông ta biết rằng đáp án phải nằm giữa 2 và 3. Đến 50 năm sau, Euler (hoặc có thể là Gauss) đã tìm ra đáp án, đó là một số vô tỉ $2.718281828459\ldots $ Euler đặt tên cho số vô tỉ này là $e$, đương nhiên chữ $e$ này không xuất phát từ chữ “$E$” trong “Euler” đâu mặc dù ngày nay người ta hay gọi $e$ là hằng số Euler, ta có thể hiểu $e$ ở đây đơn là là 1 chữ cái dùng để ký hiệu. Ông ta tìm ra một công thức tính $e$ (không phải công thức tính lãi kép như trên) và từ đó chứng minh $e$ là số vô tỉ là

$$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots }}}}}}}}$$

Đây là liên phân số cố số tầng vô tận với các hệ số tuần theo quy luật $2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots $ Quy luật này kéo dài vô tận, khi đó số này phải là số vô tỉ, còn nếu quy luật này là hữu hạn thì ta có thể viết liên phân số trên thành phân số tối giản. 

 

Hinh4.PNG

 

Ngoài ra, Euler tìm ra được một công thức khác, từ đó ông tìm ra đến 18 chữ số ở phần thập phân.

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots $$

 

Hinh5.PNG

 

Đây là một công thức đẹp, nhưng với điều kiện là bạn phải biết thế nào là giai thừa (kí hiệu $!$). Giai thừa có thể hiểu nôm na là nhân các số nguyên dương từ $1$ đến số cần tính, ví dụ như 4 giai thừa ($4!$) là $1\times 2\times 3\times 4$. Chứng minh công thức trên thực ra không khó, chỉ cần kiến thức toán Phổ thông là đủ. Ta cần sử dụng đến định lý nhị thức có công thức tổng quát là

$${{\left( 1+x \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{x}^{k}}+\ldots +{{x}^{n}}$$

Sử dụng định lý này, ta sẽ có ngay kết quả khai triển của ${{\left( 1+x \right)}^{3}}$ hay ${{\left( 1+x \right)}^{5}}$ mà không cần phải phá ngoặc

 

\begin{align*}{{\left( 1+x \right)}^{3}}&=1+\frac{3!}{1!\left( 3-1 \right)!}{{x}^{1}}+\frac{3!}{2!\left( 3-2 \right)!}{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\&=1+3x+3{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\{{\left( 1+x \right)}^{5}}&=1+5x+10{{x}^{2}}+10{{x}^{3}}+5{{x}^{4}}+{{x}^{5}}\end{align*}

 

Bây giờ áp dụng vào biểu thức tính số $e$

$$e=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Áp dụng định lý nhị thức vào phép khai triển biểu thức này, với $x=\frac{1}{n}$, ta được:

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}+\ldots +{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Khi cho $n$ tiến ra vô cùng thì biểu thức

$$\frac{n!}{\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)}{{{n}^{k}}}$$

tiến về 1, do đó ta được

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}} \right)=\frac{1}{k!}$$

Như vậy, khi $n$ tiến ra vô cùng, biểu thức tính số $e$ đơn giản là tổng của các giai thừa

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=e=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots +\frac{1}{n!}+\ldots $$

Vì sao Toán học cần dùng đến số $e$? Vì $e$ là ngôn ngữ tự nhiên của sự tăng trưởng. Để cho dễ hiểu, ta vẽ đồ thị hàm số $y={{e}^{x}}$.

 

Hinh6.PNG

 

Lấy một điểm $x$ bất kỳ trên đồ thị, ta được giá trị tung độ tại điểm đó là ${{e}^{x}}$, độ dốc tại điểm đó cũng là ${{e}^{x}}$ và phần diện tích dưới đồ thị, phía trên trục hoành, kéo dài từ điểm $x$ xuống âm vô cùng cũng bằng ${{e}^{x}}$.

 

Hinh7.PNG

 

Tức với bất kỳ điểm nào trên đồ thị, giá trị tung độ, giá trị độ dốc và phần diện tích dưới đường cong đều bằng nhau. Cụ thể, ta lấy $x=1$, ta được giá trị hoành độ là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $, giá trị độ dốc là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $ và phần diện tích dưới đường cong là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $

 

Hinh8.PNG

 

Đây là một điều rất độc đáo, do đó $e$ la ngôn ngữ tự nhiên của vi tích phân do ngành này có nghiên cứu về tốc độ thay đổi, tăng trưởng, tính diện tích, … nhờ số $e$ nên các phép tính trở nên đơn giản hơn nhiều, nếu như bạn không muốn dung đến số $e$ thì có khi bạn tự làm khó bản thân đấy. Ngoài ra, $e$ còn nổi tiếng vì nhiều công thức Toán học nổi tiếng sử dụng đến số $e$, ví dụ như công thức Euler

$${{e}^{i\pi }}+1=0$$

Công thức này sử dụng hàm ${{e}^{x}}$ làm chủ đạo, ngoài ra còn có cả những hằng số Toán học nổi tiếng khác là số $\pi $, số $i=\sqrt{-1}$, số 1 và số 0, do đó công thức này được bầu chọn là công thức đẹp nhất của Toán học.

 

Hinh9.PNG

 

Bài viết này dịch từ clip e của tài khoản Numberphile và clip e (Extra Footage) của tài khoản Numberphile2 trên Youtube

 

  2495 Lượt xem · 0 Trả lời

 Photo

Tuần 4 tháng 12/2016 : Bài toán chia đôi cạnh

26-12-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 12 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ tâm nội tiếp $I$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA$, $AB$ và tiếp xúc trong $(O)$ tại $D$. $M$, $N$ thuộc $BC$ sao cho $IM\perp AI$ và $DN\perp AD$. $IM$ cắt $AD$ tại $L$. Đường thẳng qua $L$ vuông góc $OA$ cắt $BC$, $AM$, $AN$ lần lượt tại $P$, $Q$, $R$. Chứng minh $P$ là trung điểm $QR$.

Post 379.PNG

Hình vẽ bài toán

  968 Lượt xem · 12 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

 Photo

Tuần 3 tháng 12/2016 : Đường tròn tiếp xúc

18-12-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 3 tháng 12 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán mới,

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trung trực $BC$ cắt $CA$, $AB$ tại $A_1$, $A_2$. Trên trung trực $A_1A_2$ lấy $A_3$ sao cho $AA_3$ vuông góc với đường thẳng Euler của tam giác $ABC$. Lấy $A_4$ đối xứng với $A_3$ qua $A_1A_2$. Dựng tương tự các điểm $B_4$, $C_4$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_4B_4C_4$ tiếp xúc đường tròn $(ABC)$.

Post 374.PNG

Hình vẽ bài toán

 

  861 Lượt xem · 4 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quynhlqd2016 )


Những bài toán trong tuần

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

>>Tham gia giải bài toán này<<

Những bài toán đã qua


Mỗi tuần 1 bài toán hình học

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $CA,AB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong $(O)$. Tiếp tuyến qua $A$ của các đường tròn $(K),(L)$ ngoại tiếp các tam giác $ABE, ACF$ cắt $BE,CF$ lần lượt tại $S,T$. $KS$ cắt $LT$ tại $M$. Trung trực $AI$ cắt $AO$ tại $N$. $MN$ cắt $AI$ tại $P$. Chứng minh rằng $PA^2= PI \cdot PJ$.


Tham gia giải bài toán này

Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học

 

 

 

Bài viết mới


  • 563728 Bài viết
  • 91272 Thành viên
  • bin1123456789521 Thành viên mới nhất
  • 17600 Online đông nhất

234 người đang truy cập (trong 20 phút trước)

2 thành viên, 232 khách, 0 thành viên ẩn danh   (Xem đầy đủ danh sách)


chiakisempai, thanhgiong


Portal v1.4.0 by DevFuse | Based on IP.Board Portal by IPS