"Hãy luôn thay cái bị định nghĩa bởi cái định nghĩa."
Leonhard Euler
Bạn đang ở: Trang chủTrung học Cơ sởĐại số

Cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính

BBT: Em Bùi Thế Việt là học sinh lớp 9A6, THCS Lương Thế Vinh (TP.Thái Bình, Thái Bình) và cũng là một thành viên tích cực của diễn đàn. Bài viết dưới đây của em được trích từ một chủ đề thảo luận khá sôi nổi của diễn đàn. 

alt

 

 

Sau đây ta sẽ sử dụng máy tính CASIO $fx$ 570 MS để giải phương trình bậc 4. Đối với phương trình bậc 4 dạng $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, ta chia làm 2 mảng lớn:

 

1) Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm, ta xét hai trường hợp
a) Trường hợp 1: Nhập phương trình bậc 4 của bạn vào máy, ấn Shift + Solve và sau đó ấn "=" để giải phương trình bậc 4 đó:
(*) Nếu máy tính hiện ra $X=$ một số nguyên cụ thể nào đó hoặc là số vô hạn có tuần hoàn (VD:1,3333333...) thì bạn ấn AC, sau đó ấn RCL + X thì máy sẽ hiện lên chính xác nghiệm đó của bạn (số nguyên hoặc phân số tối giản). 
Khi đó $f(x)$ có một nhân tử là $(x - X)$ (với X là nghiệm bạn vừa tính được). Sau đó bạn sẽ phân tích: 
$$f(x)=(x - X) (mx^3+nx^2+px+q)$$.
Dùng máy tính để giải nghiệm phương trình bậc 3 bằng cách vào Mode Mode Mode 1 rồi lần lượt nhập hệ số của phương trình. Từ đó bạn nhận được tất cả các nghiệm của $f(x)$ gồm $X$ và 3 nghiệm của phương trình bậc 3 đó. 

 

 

(**) Nếu máy tính hiên ra $X=$ một số vô hạn không tuần hoàn, bạn chuyển sang Trường hợp 2.

 

b) Trường hợp 2:
Khi tìm được 1 nghiệm của phương trình bậc 4 đó, bạn chuyển dữ liệu sang A bằng cách ấn Alpha X Shift Sto ASau đó bạn nhập lại phương trình bậc 4 đó, Ấn Shift + Solve, máy hiện tiếp $X?$ bạn nhập 100 vào, ấn "=", ấn "=" để giải. Khi đó máy sẽ tính một nghiệm nữa khác với nghiệm ban đầu.

 

Bạn chuyển dữ liệu nghiệm vừa tìm được sang B bằng cách ấn Alpha X Shift Sto B. Sau đó bạn viết lại phương trình bậc 4 đó, Ấn Shift + Solve, máy hiện tiếp $X?$ bạn nhập -100 vào, ấn "=", ấn "=" để giải. Khi đó máy sẽ tính một nghiệm nữa khác với nghiệm ban đầu.

 

Bạn chuyển dữ liệu nghiệm vừa tìm được sang C bằng cách ấn Alpha X Shift Sto C (Thế là đủ). Cuối cùng: Ấn Alpha A + Alpha B rồi "=", nếu kết quả là số nguyên hoặc phân số thì bạn ấn tiếp Alpha A x (nhân) Alpha B rồi "=" để tính được tích của 2 số đó.

 

Khi ấy áp dụng định lý Viét đảo ta được $f(x)$ có một nhân tử là $x^2 - (A+B)x + AB$. Còn nếu $A+B$ không là số nguyên hoặc số thập phân vô hạn có tuần hoàn thì Bạn làm tương tự với tổng $B+C, C+A$ từ đó tìm được nhân tử của $f(x)$

 

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$

 Ta ấn phím trên máy tính CASIO như sau:

(1) Viết PT $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$ trên máy tính CASIO fx-570MS hoặc fx-570ES.
Ấn shift + SOLVE
Máy hỏi $X?$
Ấn 10 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)
Sau một hồi, máy hiện $X=1,791287847$
Ấn AC,
Ấn Alpha X Shift STO A

 

(2) Viết lại phương trình : $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$
Ấn shift + SOLVE
Máy hỏi $X?$
Ấn -10 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)
Sau một hồi, máy hiện $X= - 2,791287847$
Ấn AC,
Ấn Alpha X Shift STO B

 

(3) Viết lại phương trình : $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$
Ấn shift + SOLVE
Máy hỏi $X?$
Ấn -1 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)
Sau một hồi, máy hiện $X= 0,4142135624$
Ấn AC,
Ấn Alpha X Shift STO C

 

Nhận xét:
Ấn Alpha B + Alpha C =
Máy hiện : $-2,377074285$

 

Ấn Alpha C + Alpha A =
Máy hiện : $2,20550141$

 

Ấn Alpha A + Alpha B =
Máy hiện : $-1$. Chứng tỏ trong các tổng $A+B, B+C, C+A$ thì chỉ thấy $A+B$ nguyên (hoặc là một số vô hạn tuần hoàn)

 

Ấp tiếp Alpha A x(nhân) Alpha B =
Máy hiện : -5. Chứng tỏ A, B là nghiệm của phương trình bậc 2 ẩn x : $x^2 - (A+B)x+AB=0$

 

Mà $A+B= -1, A.B= -5$. Suy ra $A, B$ là nghiệm của phương trình $x^2+x-5=0$. Mà $A, B$ cũng là nghiệm của phương trình: $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$. Suy ra $x^4+3x^3-4x^2-11x+5$ khi phân tích nhân tử có một nhân tử là $x^2+x-5$. Suy ra
$$x^4+3x^3-4x^2-11x+5 = (x^2+x-5)(ax^2+bx+c)$$
Từ đó ta phân tích thành nhân tử được

 

2) Đối với phương trình bậc 4 vô nghiệm
Xét PT $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ với $d>0$ và $a,b,c$ là các hệ số.
Khi bạn giải mãi mà không ra nghiệm (Can't solve), bạn hãy chứng minh phương trình vô nghiệm

 

Ví dụ 2: Giải phương trình: $x^4-6x^3+16x^2-22x+16=0$

 

Cách 1:  Phân tích $f(x)$ thành tích 2 đa thức bậc 2 cộng với một hệ số tự do không âm, Chẳng hạn:
$$f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$$
Khi đó 

$$f(x)=(x^2-2x+3)(x^2-4x+5)+1>0$$
[?] Làm thế nào để thể phân tích như thế, đó là câu hỏi khó ?
Cách làm ở đây là đặt 

$$f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)+e$$
Suy ra 

$$f(x)=x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(bc+ad)x+bd+e$$
Đồng nhất với đa thức ban đầu là $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$. Ta có:
$$\left \{ \begin{matrix}a+c=-4\\d+ac+b=16\\bc+ad=-22\\bd+e=16 \end{matrix}\right.$$

Từ đó dễ dàng suy ra $a=-2, \;b=3, \;c=-4, \; d=5, \; e=1$.

 

Cách 2:
Cũng từ: $A=f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$. Ta sẽ chứng minh $f(x)>0$ bằng cách đặt $x=y-\frac{a}{4}$, để mất đi hệ số của $y^3$. Ở đây ta đặt $x=y+\frac{3}{2}$. Biểu thức đã cho trở thành:
$$A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}=y^4-m y^2+m^2+(m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$$
Cần tìm $m > -\frac{5}{2}$ để PT $(m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2=0$ vô nghiệm. Tức là

$$\Delta = 4m^3+10m^2-\frac{61}{4}m-\frac{297}{8}<0$$
Ta cần tìm bất kì số $m$ nào thỏa mãn BĐT trên và phải thỏa mãn $m> \frac{5}{2}$. Có nhiều $m$ thỏa mãn, VD: $m=0$ hoặc $m=-1$ hoặc $m=1$, ... Ta chỉ cần chọn 1 giá trị. Chẳng hạn,
a) $m=-1$ thì 

$$A=(y^2+1)^2+\frac{3}{2}(y-\frac{1}{3})^2+\frac{175}{48}= (x^2-3x+\frac{13}{4})^2+\frac{3}{2}(x-\frac{11}{6})^2+\frac{175}{48}>0$$

 

b) $m=0$ thì
$$A=y^4+\frac{5}{2}(y-\frac{1}{5})^2 +\frac{297}{80}=(x-\frac{3}{2})^4+\frac{5}{2}(x-\frac{17}{10})^2 +\frac{297}{80}>0$$

 

c) $m=1$ thì 
$$A=(y^2-1)^2+\frac{7}{2}(y-\frac{1}{7})^2+\frac{419}{112}=(x^2-3x+\frac{5}{4})^2+\frac{7}{2}(x-\frac{23}{14})^2+\frac{419}{112}>0$$

 

Nhận xét: Nhưng các bạn cũng không nên lợi dụng nó quá, giống như minhtuyb đã nhận xét:
"Khi đã có $A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}$ thì trước khi chọn hệ số $m$ thích hợp như trên nên kiểm tra xem tam thức bậc hai $\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}$ có vô nghiệm hay không:
+) Nếu vô nghiệm $(\Delta
+) Nếu có nghiệm thì tìm $m$"

 

Ví Dụ 3: Giải phương trình $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
Nhận xét: Trước khi bắt tay vào giải phương trình, các bạn phải kiểm chứng rằng phương trình có nghiệm hay không !!!
Mình khuyên các bạn nên dùng Máy Tính Bỏ túi CASIO để giải phương trình, nếu nó báo Can't solve thì nhiều khả năng phương trình không có nghiệm

 

Hướng làm:
Ta thấy:
$$12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0 \Leftrightarrow {x}^{4}-9\,{x}^{3}+26\,{x}^{2}+{\frac {61}{4}}\,x+{\frac {119}{12}}=0$$
Đặt  $A={x}^{4}-9\,{x}^{3}+26\,{x}^{2}+{\frac {61}{4}}\,x+{\frac {119}{12}}$
Giống như phương trình bậc 4 tổng quát có dạng $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ thì bạn đặt $x=y-\frac{a}{4}$ rồi rút gọn lại
Vậy đặt $x=y-\frac{-9}{4}$. Suy ra

$$A=\left (y+\frac{9}{4} \right )^4-9\left (y+\frac{9}{4} \right )^3+26\left (y+\frac{9}{4} \right )^2+\frac{61}{4}\left (y+\frac{9}{4} \right )+\frac{119}{12}$$

$$A=y^4-\dfrac{35}{8}y^2+\dfrac{329}{8}y+\dfrac{76007}{768}$$

Bước tiếp theo là cộng hệ số thích hợp:

$$A=y^4-2my^2+m^2+ \left( 2m-\frac {35}{8} \right) y^2+\frac {329}{8}y-m^2+\frac {76007}{768}$$

Để $A>0$ thì ta sẽ tìm $m> \frac{35}{16}$ để phương trình $ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{2}+{\frac{76007}{768}}=0$ vô nghiệm. Hay
$$\Delta =8\,{m}^{3}-{\frac {35}{2}}\,{m}^{2}-{\frac {76007}{96}}\,m+{\frac {5258029}{1536}} <0$$
(Nếu bạn muốn tìm nhanh mà không mất công rút gọn biểu thức thì hãy nhập $\Delta$ vào máy tính Casio rồi ấn Calc. Máy hỏi M? Ấn thử xem với $M$ bằng bao nhiêu thi kết quả là một số âm)
Có nhiều giá trị của $m$ thỏa mãn BĐT đấy, ta chọn số thỏa mãn $m > \frac{35}{16}$. Chẳng hạn, ta lấy $m$ bất kì chỉ cần thỏa mãn $\frac{51}{10} \leq m \leq \frac{39}{5}$ là BĐT đúng !!!
(Cách tìm $m$ nhanh: ... Vào mode EQN, nhập các hệ số của PT bậc 3 vào lần lượt $a, \; b, \;c$ rồi máy sẽ tính được 3 nghiệm và lập bảng xét dấu)
Cho $m=6$ hay $m=7$ thì ta được:
*) Nếu $m=6$ thì
$$\left( 2m-\frac {35}{8} \right) y^2+\frac {329}{8}y-m^2+\frac {76007}{768}=\frac {61}{8} \left( y+\frac {329}{122} \right)^2+\frac {352115}{46848}$$
Do đó 
$$A= ({x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {15}{16}})^2+{\frac {61}{8}}\, \left( x+{\frac {109}{244}} \right) ^{2}+{\frac {352115}{46848}}>0$$

*) Nếu $m=7$ thì
$$\left( 2m-\frac {35}{8} \right) y^2+\frac {329}{8}y-m^2+\frac {76007}{768}=\frac {77}{8} \left( y+\frac {47}{22} \right)^2+\frac {51013}{8448}$$
Do đó
$$A=({x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {31}{16}})^2+{\frac {77}{8}}\, \left( x-{\frac {5}{44}} \right) ^{2}+{\frac {51013}{8448}}>0$$

 

Do đó có nhiều cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, nhưng lời giải thì rất ngắn gọn:
Lời giải 1:
Ta có: 
$$12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$$
$$\Leftrightarrow 12\, \left( {x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {15}{16}} \right) ^{2}+{\frac {183}{2}}\, \left( x+{\frac {109}{244}} \right) ^{2}+{\frac {352115}{3904}}=0$$
Mâu thuẫn, do VT > 0 với mọi $x$
Lời giải 2:
Ta có: 
$$12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$$
$$\Leftrightarrow 12\, \left( {x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {31}{16}} \right) ^{2}+{\frac {231}{2}}\, \left( x-{\frac {5}{44}} \right) ^{2}+{\frac {51013}{704}}=0$$
Mâu thuẫn, do VT > 0 với mọi $x$

 

Mời bạn cùng trao đổi và đặt câu hỏi cho tác giả Bùi Thế Việt tại: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=68787&;

 

Bình luận (24)

Xem bình luận trước
  • cai nay cu roi

    0 Thích
  • Khách - Lò Văn Linh

    Được đấy. Giờ giải phương trình bậc 4 không ngại nữa rồi.

    0 Thích
  • Khách - Nguyễn quang linh

    cái hệ phương trình để chứng minh vô nghiệm giải ntn vậy ạ?

    0 Thích
  • Khách - điệp

    ai có thể giải giup ko x^4-4x^3-2x^2-4x+5=0 :):D:p:(;)

    0 Thích
  • Khách - nguyễn văn thiệu

    đúng thế, sao nhập số 10 mà không phải là số khác vậy

    0 Thích
  • Khách - Đặng Tuấn Anh

    bài này hay nhưng em thắc mắc là nếu phân tích thành nhân tử mà pt luôn lớn hơn 0 thì sao mà giải đc hả anh ???

    0 Thích
  • mn cho e hỏi. nếu mình ko tìm dk tổng nguyên thì s. a+b ko nguyen. b+c ko ng. a+c ko ng. z làm cách j. bí cái đó khó à. mn cho e hỏi thêm. mình giải cái hệ số bất định thế nào z a???

    0 Thích
  • nhu the khong duoc friend thieu mot dk quan trong:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:DD:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D

    0 Thích
  • Khách - Pinky ha

    hay quá đi!!!! cảm ơn nhìu nhá!!!! :D:D:D:D

    0 Thích
  • :):):):):)

    0 Thích

Gửi bình luận

Đăng bình luận như là khách viếng thăm

0
điều khoản sử dụng.

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...