"Trong toán học, nghệ thuật nêu vấn đề có giá trị cao hơn việc giải quyết nó."
Georg Cantor
Bạn đang ở: Trang chủTrung học Cơ sởĐề thi, Kiểm traĐề thi HSG lớp 9 thành phố Hà Nội năm học 2011 - 2012

Đề thi HSG lớp 9 thành phố Hà Nội năm học 2011 - 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI


ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: TOÁN

Ngày thi: 04/04/2012

Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

-------------------

 

Bài 1.
1) Chứng minh rằng: $A=(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012})-(a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}) \,\,\,\vdots \,\,\,\, 30 $ với mọi $a,b,c$ nguyên dương
2) Cho $f(x)=(2x^3-21x-29)^{2012}$. Tính $f(x)$ khi $x=\sqrt[3]{7+\sqrt{\frac{49}{8}}} +\sqrt[3]{7-\sqrt{\frac{49}{8}}}$

 


Bài 2.
1) Giải phương trình: $\sqrt{x^2+5}+3x=\sqrt{x^2+12}+5$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + xy + x - y - 2{y^2} = 0 \\ {x^2} - {y^2} + x + y = 6 \\ \end{gathered} \right.$

 

Bài 3.

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $2x^2-5xy+3y^2-x+3y-4=0$

 

Bài 4.

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ và $A$ bất kì nằm trên đường tròn. Từ $A$ hạ $AH$ vuông góc $BC$ và vẽ đường tròn đường kính $HA$ cắt $AB;AC$ ở $M$ và $N$.
1) Chứng minh rằng: $OA$ vuông góc $MN$
2) Cho $AH=\sqrt{2};BC=\sqrt{7}$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$.

 

Bài 5.
1) Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao $h_1;h_2;h_3$ và bán kính đường tròn nội tiếp $r$ là tam giác đều là:
$$\frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r}$$
2) Cho $8045$ điểm trên một mặt phẳng sao cho cứ $3$ điểm bất kì thì tạo thành $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$. Chứng minh rằng: Luôn có thể có ít nhất $2012$ điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của $1$ tam giác có diện tích nhỏ hơn $1$.

 

----HẾT----

 

BBT xin trân trọng cảm ơn bạn minhtuyb đã cung cấp cho chúng tôi đề thi này. Mời các bạn cùng thảo luận về đề thi này tại: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=70627

Bình luận

  • Chưa có bình luận

Gửi bình luận

Đăng bình luận như là khách viếng thăm

0
điều khoản sử dụng.

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...