"Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó."
Georg Cantor
Bạn đang ở: Trang chủThi Đại họcChuyên đề ôn thiBài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số

Bài giảng I.1 - Tính đơn điệu của hàm số

Bài giảng này thuộc Khóa ôn thi ĐH 2013. Thảo luận và đặt câu hỏi tại đây

- Thông báo và lịch học

- Đăng kí làm Giảng viên

- Đăng kí làm học viên

 

logo8namvmf

 

Trong đề thi các em gặp vấn đề này ở các bài toán chẳng hạn như:

 

Bài toán: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x-5$.Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên trên $\left( 2,3 \right)$.

Để làm được bài toán này cần hiểu được:

-  Đồng biến là gì?

-  Để làm bài toán này cần thực hiện công việc gì?

  

A – Lý thuyết

1.Định nghĩa:

Kí hiệu: $K$ là một khoảng hoặc một đoạn, hoặc nửa khoảng và hàm số $\left( C\right): y= f \left( x \right)$ xác định trên $K$.

Hàm số $y=f \left( x \right)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $x$ tăng thì $y$ tăng mà $x$ giảm thì $y$ giảm, tức là với bất kì $x_1,x_2$ thuộc $K$, ta có $x_1 > x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$.

Ngược lại, $y=f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $x$ tăng thì $y$ giảm mà $x$ giảm thì $y$ tăng, tức là với bất kì $x_1,x_2$ thuộc $K$, ta có $x_1 > x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$

$y=f\left( x \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ thì ta nói chung là $y=f\left( x \right)$ đơn điệu trên $K$.

Chú ý:$K$ là một khoảng hoặc một đoạn, hoặc nửa khoảng.

 

2. Định lý: (Cách xét tính đơn điệu của hàm số):

Cho hàm số  $\left( C\right)$ : $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $K$:

- $\left( C\right)$ đồng biến trên$K$ $\Leftrightarrow f'\left( x \right)\geq 0,\forall x\in K$ và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc $K$.

- $\left( C\right)$ nghịch biến trên $K$ $\Leftrightarrow f'\left( x \right)\leq 0,\forall x\in K$ và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc $K$.

 

Nhận xét:

1.Việc xét tính đơn điệu của hàm số được quy về việc xét dấu biểu thức đạo hàm của nó!

2.Với 3 loại hàm ta xét, có thể bỏ điều kiện “bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc $K$”

3.Trong ba loại hàm:

Hàm đa thức bậc 3:

$$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{3}}+cx+d\Rightarrow y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c,\left( a\ne 0 \right)$$

Hàm đa thức bậc 4 trùng phương:

$$y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\Rightarrow y'=4a{{x}^{3}}+2bx=2x\left( 2a{{x}^{2}}+b \right),\left( a\ne 0 \right)$$

Hàm đa thức bậc nhất trên bậc nhất:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow y'=\frac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$$

(dấu không phụ thuộc vào biến $x$)

Thì việc xét dấu biểu thức đạo hàm $y’$ hoặc là rất đơn giản hoặc là quy về bài toán tam thức bậc 2

 

B – Một số ví dụ:

Bắt đầu với một ví dụ đơn giản và các em cần chú ý cách trình bày

 

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số sau: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+2.$

LG:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có: $y'={{x}^{2}}-x-2$, $y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow$$\left[ \begin{array}{l}x = -1\\x=2 \end{array} \right.$

Lập Bảng xét dấu $y’$:

 

Kết luận:

- Hàm số nghịch biến trên $\left( -1;2 \right)$

- Hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 2;+\infty  \right)$

 

Chú ý: Khi kết luận tính đơn điệu các em không được viết, chẳng hạn:

“Hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)$”, hoặc “hàm số đồng biến $\forall x\ne a$”, hoặc “đồng biến trên tập xác định”

Viết như thế là sai về bản chất, nếu $y' > 0,\forall x\ne a$ thì ta kết luận: hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;a \right)$ và $\left( a;+\infty  \right)$

 

Ví dụ 2: Cho hàm số: $y=\frac{mx+4}{x+m}$.Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$.

 

Phân tích:

- Nhận dạng, thuộc dạng xét tính đơn điệu, như vậy cần tính $y’$ và xét dấu $y’$

- Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, đạo hàm của nó có dấu không phụ thuộc vào $x$, tức là $y' > 0,\forall x\in D$ hoặc $y' < 0,\forall x\in D$, như vậy với điều kiện đầu tiên “hàm nghịch biến” ta cần:

$$y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}} < 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4 < 0$$

- Khi đó ta có hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ;-m \right)$ và $\left( -m;+\infty  \right)$

- Vậy làm thế nào để có hàm nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$?  Tốt nhất các em thực hiện việc xét vị trí tương đối của ba điểm $1,-1,-m$ trên trục số các em sẽ nhận ra được để thỏa mãn điều kiện này thì $-m$ phải nằm ngoài 2 điểm $-1$ và 1, tức là $-m\notin \left( -1;1 \right)\Leftrightarrow m\notin \left( -1;1 \right)$.

 

Từ đó các em có lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\}$

$$y'=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}$$

Để hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ thì $y' < 0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\ -m\notin \left( -1;1 \right) \end{array} \right.$$\Leftrightarrow m\in \left( -2;-1 \right)\cup \left( 1;2 \right)$

Vậy với $m\in \left( -2;-1 \right)\cup \left( 1;2 \right)$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

Ví dụ 3: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x-5$

Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên trên $\left( 2;3 \right)$.

 

Phân tích:

Với việc phân tích tương tự như trên ta nhận thấy rằng bài toán trên thực chất là bài toán sau:

Tìm $m$ để $y'={{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$

Với bài toán này thì các em có thể có các cách làm khác nhau.

 

LG:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

$y'={{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3$

Để hàm số đồng biến trên $\left( 2;3 \right)$ thì $y'\geq 0,\forall x\in \left( 1,2 \right)$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$

 

Cách 1: $\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-2m+3={{m}^{2}}-4m+4={{\left( m-2 \right)}^{2}}$

Do đó:

Nếu $m=2$ thì $y'={{x}^{2}}+2x+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$ (t/m)

Nếu $m\ne 2$ thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$, ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left\{ -1;-2m+3 \right\}$

Khi đó: $y'\geq 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty  \right)$

Để $y'\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$ thì $3 < {{x}_{1}}$ hoặc ${{x}_{2}} < 2$ (*)

TH1: ${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-2m+3 \Rightarrow -1 < -2m+3 \Leftrightarrow m < 2$

 thì $\left( * \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left [ \begin{array}{l}3 < -1\\-2m+3 < 2 \end{array} \right.\\ m < 2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 2$

TH2: ${{x}_{1}}=-2m+3;{{x}_{2}}=-1 \Rightarrow -2m+3 2$ thì

$\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left [ \begin{array}{l}3 < -2m+3\\-1 2 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow m > 2$

Vậy với $m > \frac{1}{2}$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

Cách 2:

${{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\geq 0,\forall x\in \left( 2;3 \right)$

$\Leftrightarrow g\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{2\left( x+1 \right)}\leq m,\forall x\in \left( 2;3 \right)$

$\Leftrightarrow \underset{x\in \left( 2;3 \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)\leq m$

Xét: $g\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{2\left( x+1 \right)},$$g'\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}-2x-1}{2{{\left( x+1 \right)}^{2}}} < 0,$$\forall x\in \left( 2;3 \right)$

$\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( 2;3 \right)$ $\Rightarrow \underset{x\in \left( 2;3 \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=\frac{1}{2}$

Vậy với $m > \frac{1}{2}$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài.

 

Nhận xét:

- Cách thứ 2 có thể có một số em chưa quen, đó là điều dễ hiểu khi các em mới làm quen với phương pháp hàm số, nhưng chắc chắn các em sẽ thích và thấy nó khá dễ dàng khi tiếp xúc với nhiều lớp bài toán sử dụng phương pháp này hơn!

- Ở cách thứ nhất, trong nhiều trường hợp đối với bài toán dạng này các em sẽ không tính được ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ "đẹp" như bài toán trên, khi đó các em cần sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để giải quyết, ví dụ dưới đây là một minh họa:

 

Ví dụ 4: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 3m+2 \right)x-5m+2$

Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$

 

LG:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

$y'={{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+3m+2$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ thì $y'\leq 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$

$\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+3m+2\leq 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$

$\Leftrightarrow $ phương trình $f\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ sao cho ${{x}_{1}}\leq 0 < 1\leq {{x}_{2}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_{1}\leq 0  < x_{2}\\ x_{1} < 1\leq x_{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x}_{1}{x}_{2}\leq 0\\ \left({x}_{1}-1 \right)\left( {x}_{2}-1 \right)\leq 0  \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m+2\leq 0\\ m+2\leq \end{array} \right. \Leftrightarrow m\leq -2$

Nhận xét:

- $f\left( x \right)$ có hệ số $a=1 > 0$ nên trường hợp $f\left( x \right)=0$ vô nghiệm ($\Delta  < 0$) hoặc nghiệm kép ($\Delta =0$) không thỏa mãn bài toán (các em chú ý lại định lí dấu tam thức bậc 2)

- Hệ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}\leq 0 < {{x}_{2}}\\ {{x}_{1}} < 1\leq {{x}_{2}} \end{array} \right.$ đã bao hàm điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt.(Chú ý điều kiện phương trình có hai nghiệm trái dấu)

 

 

Ví dụ 5: (ĐH QGHN – 2000)

Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m$

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

 

Phân tích:

Bài toán tương đương với:

Tìm $m$ để $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x+m$ có mang dấu âm trên một đoạn có độ dài bằng 1.

Vấn đề cần phân tích là âm trên một đoạn có độ dài bằng 1, nếu chưa từng gặp thì các em sẽ có cảm giác khá lạ lẫm với kiểu câu hỏi như thế này.

Cùng suy nghĩ một chút nhé, khi xét dấu tam thức bậc hai có những khả năng nào?

- Nếu $\Delta \leq 0$ thì $g\left( x \right)$ mang dấu âm trên những khoảng nào, và khoảng ấy có độ dài như thế nào?

- Tương tự nếu $\Delta  > 0$ thì sao?

Khi trả lời 2 câu hỏi này các em sẽ phát hiện ra rằng chỉ khi $\Delta \geq 0$ thì mới xuất hiện một đoạn “Trong khoảng hai nghiệm” có độ dài hữu hạn và độ dài của đoạn này là $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ (với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của $g\left( x \right)$)

Từ đó ta có điều kiện tương đương của bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta '=9-3m > 0\\ \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1 \end{array} \right.$ Và đến đây một phản xạ tự nhiên là ta sẽ nghĩ đến định lí Viet! Bài toán được giải quyết.

 

LG:

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

$y'=g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+6x+m,$ $\Delta '=9-3m$

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì $y'\leq 0$ trên một đoạn có độ dài bằng 1

Nếu $\Delta '\leq 0$ thì $g\left( x \right)\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}=\left( -\infty ;+\infty  \right)$ (không thỏa mãn)

Nếu  $\Delta ' > 0\Leftrightarrow m < 3$, $g\left( x \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$ và $g\left( x \right)\leq 0,\forall x\in \left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]$

Khi đó, để  $y'\leq 0$ trên một đoạn có độ dài bằng 1 thì

$\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{2}}-4.\frac{m}{3}=1\Leftrightarrow m=\frac{9}{4}$ (thỏa mãn)

 

Bài toán: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$.Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trong một khoảng có độ dài $\geq k$

Cách giải: Điều kiện của bài toán được thỏa mãn khi $y'\geq 0$ trên một khoảng có độ dài $\geq k$, điều đó xảy ra khi và chỉ khi $a 0$) thỏa mãn

$\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\geq k$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}\geq {{k}^{2}}$$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\geq {{k}^{2}}$

Sử dụng định lí Viet và suy ra kết quả.

 

Sau đây sẽ là một ví dụ về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất.(Loại hàm này sẽ không gặp trong câu I.2, nhưng vẫn có thể gặp trong phần riêng trong chương trình nâng cao)

 

Ví dụ 6: Cho hàm số: $y=\frac{{{x}^{2}}-\left( 3m+1 \right)x+5m-1}{x-m}$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 0;1 \right)$.

 

LG:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$

Hàm số xác định trên khoảng $\left( 0;1 \right)$ nếu $m\notin \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right)$.Khi đó:

                                          $y'=\frac{{{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}-4m+1}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$

Để hàm số đồng biến trong khoảng $\left( 0;1 \right)$ thì $y'\geq 0$,$\forall x\in \left( 0;1 \right)$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}-4m+1\geq 0$,$\forall x\in \left( 0,1 \right)$ (*)

Xét tam thức $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx+3{{m}^{2}}-4m+1$, $\Delta '=-2{{m}^{2}}+4m-1$

- Nếu: $\Delta \leq 0\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+4m-1\leq 0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right]\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty  \right)$

Thì $f\left( x \right)\geq 0,$$\forall x\in \mathbb{R}$, khi đó kết hợp với điều kiện ban đầu thì (*)$\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty  \right)$

- Nếu: $\Delta  > 0\Leftrightarrow $$m\in \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2};\frac{2+\sqrt{2}}{2} \right)$

Thì $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$ và $f\left( x \right)\geq 0,$$\forall x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty  \right)$

Do đó để $f\left( x \right)\geq 0,$$\forall x\in \left( 0;1 \right)$ thì $\left( 0;1 \right)\subset \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty  \right)$ tức là: $1\leq {{x}_{1}} < {{x}_{2}}$ hoặc ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}\leq 0$

 

TH1: ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}\leq 0\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}} < 0\\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}\geq 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}2m < 0\\ 3{{m}^{2}}-4m+1\geq 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow m < 0$ (Không t/m)

 

TH2: $1 < {{x}_{1}} < {{x}_{2}}$$\Leftrightarrow 0 < {{x}_{1}}-1 < {{x}_{2}}-1$ (**)

Đặt $t=x-1\Leftrightarrow x=t+1$, thế vào $f\left( x \right)$ ta được:

$g\left( t \right)={{\left( t+1 \right)}^{2}}-2m\left( t+1 \right)+3{{m}^{2}}-4m+1={{t}^{2}}+\left( 2-2m \right)t+3{m}^{2}-6m+2$

 

(**)$\Leftrightarrow 0\leq {{t}_{1}} < {{t}_{2}}$ với ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ là nghiệm của $g\left( t \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{t}_{1}}+{{t}_{2}} < 0\\ {{t}_{1}}{{t}_{2}}\geq 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}2m-2 < 0\\ 3m-6m+2\geq 0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow $$m\leq \frac{3-\sqrt{3}}{3}$

Kết luận: Vậy với $m\in \left( -\infty ;0 \right]\cup \left[ \frac{2+\sqrt{2}}{2};+\infty  \right)$ thì thỏa mãn điều kiện đề bài!

Chú ý: Nhiều tài liệu trình bày lời giải bài toán trên rất ngắn gọi dựa vào định lí đảo dấu tam thức bậc hai, định lí này hiện không được giới thiệu trong SGK chương trình THPT, vì vậy các em cần chú ý.

 

Xu hướng ra đề hiện nay thường không quá khó mà đánh vào tâm lí lười suy nghĩ của học sinh, đề bài thường dùng ngôn ngữ khác để ẩn đi nội dung của câu hỏi, vì vậy các em cần rèn luyện một tâm lí bình tĩnh vững vàng và không được lười biếng!

Với một số ví dụ như trên chắc chắn chưa thể giúp các em nắm chắc được các bài toán về tính đơn điệu vì vậy các em cần tự mình rèn luyện bằng cách làm các bài tập.một lời khuyên chân thành đó là dù bài tập dễ hay khó các em nên ít nhất một lần làm nó thật cẩn thận trình bày rõ ràng và làm ra đến kết kết quả cuối cùng!

 

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}\left( m-1 \right){{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

 

Bài 2: Cho hàm số: $y=\frac{mx+5m-6}{x+m}$.

a.Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

b.Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$

c.Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên hai khoảng $\left( -\infty ;-4 \right)$ và $\left( 1;+\infty  \right)$

 

Bài 3: Cho hàm số: $y=\tfrac{-1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-4$.Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $(0, 3)$

 

Bài 4: Cho hàm số: $y={{x}^{3}}-2(m+1){{x}^{2}}+(12m+5)x+2$.

Tìm $m$ đề hàm số đồng biến trên $( - \infty ; - 1]$ và $[2;+ \infty )$.

 

Bài 5: Cho hàm số $y=\tfrac{1}{3}\left( m+1 \right){{x}^{3}}+\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+m$.

Tìm $m$ để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4

 

Bài 6: Cho hàm số: $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 3m+2 \right)x-5m+2$

Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1.

 

Bài 7: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-3m+1$.Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$

 

Bài 8: Tìm $m$ để hàm số$y=mx+\sin x+\tfrac{1}{4}\sin 2x+\tfrac{1}{9}\sin 3x$ tăng với mọi $x\in \mathbb{R}$

 

Bài 9: Cho hàm số: $y=\tfrac{2{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+1+m}{x-m}$.Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\left( 1,+\infty  \right)$

 

Tài liệu tham khảo:

[1] Trần Sĩ Tùng: 200 bài toán khảo sát hàm số - 2012

[2] Trần Phương: Bài giảng luyện thi Đại học

[3] Nguyễn Anh Dũng: Chuẩn bị trước kì thi - Tạp chí TH & TT

[5] Các bài thảo luận trên VMF.

 

Bình luận (9)

  • em cảm ơn. :p

    0 Thích
  • Khách - nguyen van a

    Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số sau: y=13x3−12x2−2x+2.
    LG:
    TXĐ: D=R
    Ta có: y′=x2−x−2, y′=0⇔x2−x−2=0⇔[x=−1x=2

    x2-x-2=0 sao lại có kết quả là -1 và 2 ???
    phải tính như thế nào ? có phải là
    x2-x=2
    ->x=2 ?

    0 Thích
  • Em học lớp mấy rồi? Em đã học về phương trình bậc 2 chưa?

    0 Thích
  • cac bai luyen tap k co loi giai ak thay:(

    0 Thích
  • Khách - phương

    ôi trời k có lời giải làm s mà pít làm . ít ra cũng phải hướng dẫn 1 câu đi chứ

    0 Thích
  • Bạn phải nói rõ là bạn đang làm bài nào, gặp khó khăn ở đâu thì mới có thể hướng dẫn được. Ngoài đọc bài thì tự làm bài mới là cách ôn thi hiệu quả nhất.

    0 Thích
  • Vậy làm thế nào để có hàm nghịch biến trên (−1;1)? Tốt nhất các em thực hiện việc xét vị trí tương đối của ba điểm 1,−1,−m trên trục số các em sẽ nhận ra được để thỏa mãn điều kiện này thì −m phải nằm ngoài 2 điểm −1 và 1, tức là −m∉(−1;1)⇔m∉(−1;1).
    em chưa hiều phần này lắm, thầy giài thích dc k ạ? em cảm ơn(em lớp 11)

    0 Thích
  • Khách - Phương Thảo

    cho e hỏi ví dụ 6 có cách nào nhanh hơn ko ạ ? :(

    0 Thích
  • Khách - Phong

    Ví dụ 6 TH2: mình nghĩ thay vì đặt t cứ để x giải trực tiếp sẽ nhanh hơn và tránh đc sai sót nhiều hơn.
    TH2: $1<x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow 0<x_{1}-1<x_{2}-1$
    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
    (x_{1}-1)+(x_{2}-1)>0& & \\
    (x_{1}-1)(x_{2}-1)>0& &
    \end{matrix}\right.
    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
    x_{1}+x_{2}-2>0& & \\
    x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1>0& &
    \end{matrix}\right.$
    Sau đó từ định lý Viet ở trên, thay vào giải ra m :D;)

    0 Thích

Gửi bình luận

Đăng bình luận như là khách viếng thăm

0
điều khoản sử dụng.

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...