Đăng nhập

Bạn có thể sử dụng tài khoản GMail để đăng nhập.

Toán Trung học Phổ thông

Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Bình Định năm học 2014 - 2015

Bài 1: (6,0 điểm)

a) Cho phương trình:

$$\sin^2[ (x+1)y ]=\sin^2(xy)+sin^2[(x-1)y]$$

Tìm nghiệm $(x,y)$ để $(x+1)y,xy,(x-1)y$ là số đo các góc của một tam giác.

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x-3y^2x-3y+y^3=0 & \\ y-3x^2y-3x+x^3=0& \end{matrix}\right.$

Bài 2: (3,0 điểm)

Cho tập hợp $A$ có $n$ phần tử. Tính số cặp tập hợp (không kể thứ tự) không giao nhau từ các tập con của tập hợp $A$.

Bài 3: (3,5 điểm)

Cho số thực $a>2$. Đặt

$$f_n(x)=a^{10}x^{n+10}+x^n+x^{n-1}+...+x+1 (n=1,2,...).$$

Chứng minh rằng với mỗi $n$, phương trình $f_n(x)=a$ có đúng một nghiệm $x_n \in (0,+\infty)$ và dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$.

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $xy$ là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ thuộc cung $BC$ không chứa điểm $A$. Gọi $h_A,h_B,h_C$ lần lượt là khoảng các từ các đỉnh $A,B,C$ đến đường thẳng $xy$.

Chứng minh rằng: 

$$\sqrt{h_A} \sin A = \sqrt{h_B} \sin B+\sqrt{h_C}  \sin C$$

(với $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$).

Bài…

Read more: Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Bình Định năm học 2014 - 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 138
Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bắc Giang năm học 2014 - 2015

Câu 1. Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $d: 2x+3y-1=0$ một góc $45^0$.

 

Câu 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất.

 

Câu 3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh ($n\in\Bbb{N}, n>4$). Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.

 

Câu 4. Tính tích phân $I=\int\limits_1^2\dfrac{\ln x-1}{x^2-\ln^2x}\;\mathrm{d}x$.

 

Câu 5. Giải phương trình $(1+x)(2+4^x)=3.4^x$

 

Câu 6.Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều tâm $O$. Hình chiếu vuông góc của $C'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với $O$. Biết khoảng cách từ $O$ đến…

Read more: Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bắc Giang năm học 2014 - 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 128

Bài 1 (5,0 điểm): Giải phương trình :

  1. $2sin(2x)+4 = 7sin(x)+2cos(x)+cos(2x)$.
  2. Cho tam giác $ABC$ có 3 góc thỏa mãn: $sin^{2}(B)=cos(C).cos(A-B)$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Bài 2 (2,0 điểm): Chứng minh rằng:

 $$\frac{1}{1!2014!}+\frac{1}{3!2012!}+\frac{1}{5!2010!}+...+\frac{1}{2013!2!}+\frac{1}{2015!0!}=\frac{2^{2014}}{2015}$$

Bài 3 (3,0 điểm): 

 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. $M$ là một điểm trên đoạn $SC$ ($M$ không trùng với $S$ và $C$). Mặt phẳng $(P)$ qua $AM$, song song với $BD$ và cắt các cạnh $SB, SD$ lần lượt tại $H, K$.

  1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
  2. Chứng minh $\frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SK}-\frac{SC}{SM}=1$.

Bài 4 (4,0 điểm):

  1. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left ( x_{n} \right )$ được xác định bởi: 

 $$x_{1}=1, x_{n+1}=\frac{x_{n}}{(2n+1)^2x_{n}+1}, \forall n\geq 1$$

  1. Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ được xác định bởi: $x_{1}=6, x_{n+1}=x_{n}^{2}-5x_{n}+5, \forall n\geq 1$. Tính $lim \frac{x_{1}x_{2}x_{3}...x_{n}}{x_{n+1}}$.

Bài 5 (6,0 điểm):

  1. Chứng minh phương trình $\frac{1}{2x}+\frac{1}{3(x^2+1)}+\frac{1}{4(x^3+2)}+...+\frac{1}{2016(x^{2015}+2014)}=\frac{2014}{2015}$ có nghiệm lớn hơn 1.
  2. Tìm tất cả các hàm số f: $\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ thỏa mãn $f(1+y.f(x))=x.f(x+y) \forall x, y \epsilon \mathbb{R}^+$.

$$\text{ ---HẾT---}$$

Mời bạn tham gia giải tại đây

Read more: Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm học 2014 - 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 275
Một bổ đề BĐT thú vị

Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những mảng khó của toán học sơ cấp. Do đó, trong các đề thi HSG các cấp cũng như kì thi Vô địch Toán Quốc Tế (IMO) thường có những BĐT hay và thú vị. Trong bài viết nhỏ này, mình xin được giới thiệu một bổ đề BĐT rất hữu hiệu trong việc giải các BĐT, phát biểu như sau:


$\blacktriangleright$ Cho $a,b,c\geq 0$. Khi đó: 
$$(a+b+c)^3\geq \frac{27}{4}(a^2b+b^2c+c^2a+abc)$$

BĐT rõ ràng có hình thức khá cồng kềnh. Từ đó, ta nghĩ tới hướng CM bằng kĩ thuật chuẩn hóa vì nhận thấy vai trò các biến là như nhau.

CM: Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Khi đó, ta phải CM:
$$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4\qquad (*)$$
Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$
$$\begin{align*}& c(b-a)(b-c)\leq 0 \\ & \Leftrightarrow b^2c-bc^2-abc+c^2a\leq 0 \\ & \Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq a^2b+b^2c+2abc \\ & \Leftrightarrow VT\leq b(a+c)^2=b(3-b)^2 \end{align*}$$
Như vậy, cần CM: $b(3-b)^2\leq 4\Leftrightarrow (b-1)^2(b-4\leq 0)$ (điều này đúng)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1; (a,b,c)=(2;1;0)$ và hoán vị $\square$ 
Vì dấu bằng xảy ra tại $(2;1;0)$ nên ta có thể làm khó BĐT $(*)$ bằng cách bỏ $abc$ ở $VT$: 
$$a^2b+b^2c+c^2a\leq 4$$
Một…

Read more: Một bổ đề BĐT thú vị

Bình luận (0) Lượt xem: 508
Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2014 - 2015

Câu I (3,0 điểm).
Cho hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị là $\left ( C \right )$

$M$ là điểm tùy ý trên $\left ( C \right )$ có hoành độ lớn hơn $1$. Tiếp tuyến của $\left ( C \right )$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận tại $A$ và $B$ phân biệt. Xác định tọa độ điểm $M$ để diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất ($O$ là gốc tọa độ).

 

Câu II  (4,0 điểm).

Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}  &  & \\ \sqrt{2y^2+1}+y=m+\sqrt{x+4}  &  &  \end{matrix}\right.$ ($m$ là tham số; ẩn $x,y$ là số thực).

1. Giải hệ phương trình khi $m=4$.

2. Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm.

 

Câu III (2,0 điểm).

Giải phương trình: $2\cos \left ( \frac{\pi}{3}-2x \right )+(4+\sqrt{3})\cos x+3\sin x+2\sqrt{3}+1=0$

 

Câu IV (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình: $(x-2)^2+(y-2)^2=4$. 

Lập phương trình đường tròn $\left ( C' \right )$ tâm $I(4;4)$, cắt đường tròn $\left ( C \right )$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=2\sqrt{2}$.

 

Câu V (3,0 điểm).
Cho hình…

Read more: Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2014 - 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 555

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...

Go to top