Toán Trung học Phổ thông

Một bổ đề BĐT thú vị

Bất đẳng thức (BĐT) là một trong những mảng khó của toán học sơ cấp. Do đó, trong các đề thi HSG các cấp cũng như kì thi Vô địch Toán Quốc Tế (IMO) thường có những BĐT hay và thú vị. Trong bài viết nhỏ này, mình xin được giới thiệu một bổ đề BĐT rất hữu hiệu trong việc giải các BĐT, phát biểu như sau:


$\blacktriangleright$ Cho $a,b,c\geq 0$. Khi đó: 
$$(a+b+c)^3\geq \frac{27}{4}(a^2b+b^2c+c^2a+abc)$$

BĐT rõ ràng có hình thức khá cồng kềnh. Từ đó, ta nghĩ tới hướng CM bằng kĩ thuật chuẩn hóa vì nhận thấy vai trò các biến là như nhau.

CM: Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Khi đó, ta phải CM:
$$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4\qquad (*)$$
Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$
$$\begin{align*}& c(b-a)(b-c)\leq 0 \\ & \Leftrightarrow b^2c-bc^2-abc+c^2a\leq 0 \\ & \Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq a^2b+b^2c+2abc \\ & \Leftrightarrow VT\leq b(a+c)^2=b(3-b)^2 \end{align*}$$
Như vậy, cần CM: $b(3-b)^2\leq 4\Leftrightarrow (b-1)^2(b-4\leq 0)$ (điều này đúng)
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1; (a,b,c)=(2;1;0)$ và hoán vị $\square$ 
Vì dấu bằng xảy ra tại $(2;1;0)$ nên ta có thể làm khó BĐT $(*)$ bằng cách bỏ $abc$ ở $VT$: 
$$a^2b+b^2c+c^2a\leq 4$$
Một…

Read more: Một bổ đề BĐT thú vị

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2014 - 2015

Câu I (3,0 điểm).
Cho hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị là $\left ( C \right )$

$M$ là điểm tùy ý trên $\left ( C \right )$ có hoành độ lớn hơn $1$. Tiếp tuyến của $\left ( C \right )$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận tại $A$ và $B$ phân biệt. Xác định tọa độ điểm $M$ để diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất ($O$ là gốc tọa độ).

 

Câu II  (4,0 điểm).

Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}  &  & \\ \sqrt{2y^2+1}+y=m+\sqrt{x+4}  &  &  \end{matrix}\right.$ ($m$ là tham số; ẩn $x,y$ là số thực).

1. Giải hệ phương trình khi $m=4$.

2. Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm.

 

Câu III (2,0 điểm).

Giải phương trình: $2\cos \left ( \frac{\pi}{3}-2x \right )+(4+\sqrt{3})\cos x+3\sin x+2\sqrt{3}+1=0$

 

Câu IV (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình: $(x-2)^2+(y-2)^2=4$. 

Lập phương trình đường tròn $\left ( C' \right )$ tâm $I(4;4)$, cắt đường tròn $\left ( C \right )$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=2\sqrt{2}$.

 

Câu V (3,0 điểm).
Cho hình…

Read more: Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2014 - 2015

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm học 2014 - 2015

Bài 1 (4,0 điểm)

 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$, biết tiếp tuyến đó cắt đường tròn $(T):x^2+y^2-2x-4y-\frac{11}{5}=0$ tại hai điểm $A, B$ sao cho tứ giác $IOAB$ có diện tích lớn nhất, trong đó $I$ là tâm đường tròn $(T)$.

 2. Cho hàm số $y=x^3-3mx^2 +(m-1)x+2m$ có đồ thị $(C_{m})$ và điểm $P(1;9)$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để đồ thị $(C_{m})$ có hai điểm cực trị $M, N$ sao cho tam giác $MNP$ có trọng tâm $G(1;3)$.

 

Bài 2 (6,0 điểm)

 1. Giải phương trình $\sqrt{3}cos2x+sin2x-(4+\sqrt{3})cosx-sinx+2+\sqrt{3}=0$

 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, sao cho trong mỗi số tự nhiên đó chữ số 1 có mặt đúng hai lần, chữ số 2 có mặt đúng một lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần?

 3. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2(1+y^2)+y^2(1+x^2)=4\sqrt{xy}\\ x^2y\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}=x^2y-x \end{matrix}\right.$

 

Bài 3 (4,0 điểm)

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $AB=a, BC=2a, \widehat{ACB} = 30^{\circ}$ , hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm $G$ của…

Read more: Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm học 2014 - 2015

Câu 1  (4 điểm). Cho hàm số $\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị là $\left( C \right)$

a) Tìm $m$ để đường thẳng $y=-x+m$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $AB=2$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ biết khoảng cách từ $I(1;1)$ đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.

 

Câu 2 (3 điểm). Giải phương trình:

$$6\sin 2x - \cos 2x + 6\sin x + 13\cos x+ 6=0$$

 

Câu 3 (4 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:

$$y=2(1+\sin2x\cos4x) - \frac{1}{2}(\cos4x-\cos8x)$$

 

Câu 4 (6 điểm).  Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, $\widehat{ABC}=60^o$, hình chiếu của $S$  lên $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $BO$, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^o$.

a) Tính thể tích hình chóp $S.ABCD.$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$

c) Tính khoảng cách từ $B$ đến $(SCD)$.

 

Câu 5 (3 điểm). Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^3-y^3+6x^2+6y^2-32=0\\ x^2+y^2+4x-4y+6=0\end{matrix}\right.$$

$$\text{---Hết---}$$

 Mời bạn thảo luận và tham gia giải tại  đây

 

 

 

Read more: Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Lạng Sơn năm học 2014 - 2015

Đảo đề (phần 2 - hết)

Xem phần 1 tại đây


Thêm những chứng minh nghiêm ngặt về sự tương đương của đảo đề:

Tương đương logic giữa hai mệnh đề nghĩa là chúng cùng đúng hoăc cùng sai. Để chứng minh đảo đê là tương đương logic, chúng ta cần hiểu khi nào các thành phần của nó là đúng hoặc sai.

$$\left( P\Rightarrow Q \right)$$

Khi đó nó chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. Do đó, chúng ta có thể giản lược mệnh đề sau thành phát biểu “Sai khi $P$ và không $Q$” (hoặc “Đúng khi không phải trường hợp mà $P$ và không $Q$”):

$$\tilde{\ }\left( P\wedge \tilde{\ }Q \right)$$

Các yêu tố của phép hội có thể được đảo ngược mà không gây ra thay đổi kết quả (bằng  giao hoán):

$$\tilde{\ }\left( \tilde{\ }Q\wedge P \right)$$

Ta định nghĩa $R$ bằng “$\tilde{\ }Q$” và $S$ là $P$ (từ điều này ta có $\tilde{\ }S$ bằng $\tilde{\ }\tilde{\ }P$, và hiển nhiên bằng $P$):

$$\tilde{\ }\left( R\wedge \tilde{\ }S \right)$$

Nó nói rằng “đây không phải trường hơp mà (R là…

Read more: Đảo đề (phần 2 - hết)

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...

Go to top