"Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó."
Georg Cantor
Bạn đang ở: Trang chủTrung học Phổ thôngĐại số và Lượng giácPhương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ (phần 4)

Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỉ (phần 4)

Xem Phần 1 - Phần 2Phần 3

alt

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25: Giải phương trình $x^2 + \sqrt{x + 5} = 5$

Lời giải:
ĐK:  $x \geq - 5$
Đặt $t = \sqrt{x + 5} , t \geq 0 $. Khi đó: $x = t^2 - 5$. Do đó ta có:
$$\left\{ \begin{array}{l} x^2  + t = 5 \\  t^2  - x = 5 \\  \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2  + t = 5 \\  x^2  - t^2  + t + x =0 \\  \end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2  + t = 5 \\  (x + t)(x + 1 - t) = 0 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \begin{array}{l}  \\  \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x^2  + t = 5 \\  x + t = 0 \\  \end{array} \right. \\  \left\{ \begin{array}{l} x^2  + t = 5 \\  x + 1 - t = 0 \\  \end{array} \right. \\  \end{array} \right. \\  \end{array}$$
Giải hệ và kiểm tra điều kiện, ta được:
$$x = \frac{{ \pm 1 - \sqrt {21} }}{2}$$

Bài toán tổng quát: Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + a} = a$$

b. Dùng 2 ẩn phụ .
Đối với phương trình dạng
$$\sqrt[m]{a + f(x)} + \sqrt[n]{b - f(x)} = c$$
Ta đặt:  
$$u = \sqrt[m]{a + f(x)};v = \sqrt[n]{b - f(x)}$$
Như vậy ta có hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l} u + v = c \\  u^m  + v^n  = a + b \\  \end{array} \right.\]

Ví dụ 26: Giải phương trình
$$\sqrt[4]{57 - x} + \sqrt[4]{x + 40} = 5, \ \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK: $ - 40 \leq x \leq 57$
Đặt $u = \sqrt[4]{57 - x} ; v = \sqrt[4]{x + 40}$
Khi đó:
$$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\  u^4  + v^4  = 97 \\  \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\  2(uv)^2 - 10uv + 528 = 0 \\  \end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\  \left[ \begin{array}{l} uv = 6 \\  uv = 44 \\  \end{array} \right. \\  \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u + v = 5 \\  uv = 6 \\  \end{array} \right.$$

Ta thu được $u = 2 ; v = 3 $hoặc $u = 3 ; v = 2$. Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .

Ví dụ 27: Giải phương trình
$$\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } + \sqrt[4]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2} }$$
Lời giải:
ĐK:  $0 \leq x \leq \sqrt{2} - 1 $
Đặt: $\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } = u ;\sqrt[4]{x} = v$ Với $0 \leq u \leq \sqrt{\sqrt{2} - 1} ; 0 \leq v \leq \sqrt[4]{\sqrt{2} - 1}$
Như vậy ta được hệ:
$$\left\{\begin{array}{l}u+v=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\\u^2+v^4=\sqrt{2}-1.\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}-v\\ \left (\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}-v \right)^2+v^4=\sqrt{2}-1\end{array}\right.$$

Giải $(1)$:
$$(1)\Rightarrow (v^2+1)^2-\left (\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}+v\right )^2 = 0\Rightarrow  v^2-v+1-\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}=0$$

$$\Rightarrow v_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{\dfrac{4}{\sqrt[4]{2}}-3}}{2},\ \ (v_{1,2} > 0)$$
Vậy $v_{1,2}$ (thỏa mãn điều kiện) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho .

Ví dụ 28: Giải phương trình:
$$\sqrt{\dfrac{7}{4}\sqrt{x} - 1 + x^2} = (1 - \sqrt{x})^2$$
Lời giải: 
Đặt: $y = \sqrt{x} , y \geq 0;z = 1 - \sqrt{x}$. Ta có:
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y+z=1, \ \ \ (1)\\uv=6 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  y + z = 1 \\  {y^4} - {z^4} = \frac{7}{4}\sqrt x  - 1, \ \ (2)\end{gathered}  \right. $$
Thế $(1)$ vào $(2)$ ta có
$$y^4 - (1 - y)^4 = \dfrac{7}{4}y - 1\Rightarrow 4y(y - \dfrac{3}{4})^2 = 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=0\\y=\frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=\frac{9}{{16}}\end{array} \right.$$

2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1: Phương trình dạng $x^n + b = a\sqrt[n]{ax - b}$
Cách giải: Đặt $t = \sqrt[n]{ax - b}$ ta có hệ:
$$\left\{\begin{matrix}x^n + b = at\\t^n + b = ax\end{matrix}\right.$$

Ví dụ 29: Giải phương trình $x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}$
Lời giải:
Đặt: $t = \sqrt[3]{2x - 1}$ ta có:
$$t^3=2x-1\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\t^3+1= 2x\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t \\x^3-t^3=2(t-x)\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\(x-t)(x^2+t^2+t+tx+2)=0\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=t\\x^3-2x+1=0\ \ \ (1)\end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix}x^3+1=2t\\x^2+t^2+tx+2=0, \ \ \ (2)\end{matrix}\right.$$
$$(1)\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-1)=0\Leftrightarrow x=1\vee x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$
$$(2) \Leftrightarrow  (t + x)^2 + x^2 + t^2 + 4 = 0, \ \ (3) $$
Phương trình $(3)$ vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=1 ;x= \dfrac{- 1 \pm \sqrt{5} }{2}$

Dạng 2: Phương trình dạng  $x = a + \sqrt{a + \sqrt{x} }$
Cách giải: Đặt $t = a + \sqrt{x}$
$$PT \Leftrightarrow  \left\{ \begin{matrix}x = a + \sqrt{t} \\t = a + \sqrt{x}\end{matrix}\right.$$

Ví dụ 30: Giải phương trình $x = 2007 + \sqrt{2007 + \sqrt{x} }$
Lời giải:
ĐK: $x > 0$
Đặt: $t = 2007 + \sqrt{x},\ \ (1)$
$$PT  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2007 + \sqrt{t},\ \ (2) \\t = 2007 + \sqrt{x}, \ \ (3)\end{matrix}\right.$$
Trừ từng vế của $(3)$ cho $(2)$ ta được:
$$x - t = \sqrt{t} - \sqrt{x} \Leftrightarrow  (\sqrt{t} - \sqrt{x})(\sqrt{t} + \sqrt{x} + 1) = 0\Leftrightarrow  x = t$$
$$(1) \Rightarrow  x - \sqrt{x} - 2007 = 0\Rightarrow x = \dfrac{8030 + 2\sqrt{8029} }{4}\ \ (x > 0)$$

Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược:
Ví dụ 31:  Giải phương trình $x^2 - 2x = 2\sqrt{2x - 1} $
Lời giải: 
ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$. Đặt$\sqrt{2x - 1} = ay + b $. Chọn $a, b$ để hệ:
$$(I) \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(ay + b) \\(ay + b)^2 = 2x - 1\end{matrix}\right. ,\ \ \left (x \geq \dfrac{1}{2} ; y \geq 1  \right )$$
là hệ đối xứng.
Lấy $a = 1 , b = - 1 $ta được hệ:
$$ \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(y - 1) \\y^2 - 2y = 2(x - 1)\end{matrix}\right.\Rightarrow   \left\{ \begin{matrix}x^2 - 2x = 2(y - 1) \\x^2 - y^2 = 0\end{matrix}\right.$$
Giải hệ trên ta được: $x = y = 2 \pm \sqrt{2}$
Đối chiếu với điều kiện của hệ $(I)$ ta được nghiệm duy nhất của phương trình là: $x = 2 + \sqrt{2}$

 

Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương trình : $\sqrt[n]{ax + b} = c(dx + e)^n + \alpha x + \beta$
Với các hệ số thỏa mãn :
$$\left\{\begin{matrix}d=ac+\alpha\\ e=bc+\beta\end{matrix}\right.$$
Cách giải: Đặt $dy + e = \sqrt[n]{ax + b}$

 

Ví dụ 32: Giải phương trình:
$$\sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} } = 7x^2 + 7$$
Lời giải:
ĐK : $x \geq - \dfrac{9}{4}$
$$PT\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} } = 7(x + \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{7}{4}$$
- Kiểm tra: $a = \dfrac{1}{7}; b = \dfrac{9}{28} ; c = 7 ; d = 1 ; e = \dfrac{1}{2} ; \alpha = 0 ; \beta = - \dfrac{7}{4} .$
Đặt
$$y + \dfrac{1}{2} = \sqrt{\dfrac{4x + 9}{28} }$$
$$\Leftrightarrow y^2 + y + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4x + 9}{28}\Leftrightarrow  7y^2 + 7y + \dfrac{7}{4} = x + \dfrac{9}{4}\Leftrightarrow  x + \dfrac{1}{2} = 7y^2 + 7, \ \ \ (1)$$
Mặt khác : $y + \dfrac{1}{2} = 7x^2 + 7,\ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ :
$$\left\{\begin{matrix}x + \dfrac{1}{2} = 7y^2 + 7 \\y + \dfrac{1}{2} = 7x^2 + 7 \end{matrix}\right.$$
Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .

Ví dụ 33 : Giải phương trình
$$x^2 - 6x + 3 = \sqrt{x + 3} , x \geq 3 .$$
Lời giải
$$PT \Leftrightarrow (x - 3)^2 - 6 = \sqrt{x + 3}$$
- Kiểm tra : $a = 1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 1 ; e = -3 ; \alpha = 0 ; \beta = - 6 .$
Đặt :
$$y - 3 = \sqrt{x + 3} \Leftrightarrow y^2 - 6y + 9 = x +3 \Leftrightarrow  x - 3 = y^2 - 6y + 3, \ \ \ (1)$$
Mặt khác : $y - 3 = x^2 - 6x + 3, \ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ :
$$\left\{\begin{matrix}x - 3 = y^2 - 6y + 3 \\ y - 3 = x^2 - 6x + 3  \end{matrix}\right.$$
Các bạn tự giải hệ trên.

Ví dụ 34: Giải phương trình:
$$\sqrt[3]{3x - 5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25$$
Lời giải :
$$PT\Leftrightarrow  \sqrt[3]{3x - 5} = (2x)^3 - 3.4x^2.3 + 3.9.2x - 27 - x + 2$$

$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x - 5} = (2x -3)^3 - x + 2$$
- Kiểm tra :$ a = 3 ; b = - 5 ; c = 1 ; d = 2 ; e = - 3 ; \alpha = - 1 ; \beta = 2 .$
Đặt :
$$2y - 3 = \sqrt[3]{3x - 5}\Leftrightarrow (2y - 3)^3 = 3x – 5$$
$$\Leftrightarrow 8y^3 - 36y^2 + 54y - 27 = 3x - 5$$

$$\Leftrightarrow 8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y – 3,\ \ \ (1)$$
Mặt khác : $8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y – 3,\ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ :
$$\left\{\begin{matrix}8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3 \\8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3 \end{matrix}\right.$$
Các bạn tự giải hệ trên.

Còn tiếp ...

Mời các bạn cùng thảo luận về vấn đề này tại http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=68077

 

 

Bình luận

  • Chưa có bình luận

Gửi bình luận

Đăng bình luận như là khách viếng thăm

0
điều khoản sử dụng.

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...