"Hãy luôn thay cái bị định nghĩa bởi cái định nghĩa."
Leonhard Euler
Bạn đang ở: Trang chủTrung học Phổ thôngĐề thi, Kiểm traĐề thi HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2013-2014

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Quảng Bình năm học 2013-2014

Vòng I:

Câu 1: Giải phương trình:

$$x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{3-x}$$

Câu 2: Cho $a$ là số thực tùy ý .Xét dãy số $(x_n)$ được sác định như sau:

$$x_1=a;x_{n+1}=\frac{x_n\sqrt{2+\sqrt{2+ ... +\sqrt{2}}}}{x_{n}+1}, \forall n=1,2,3 ...$$

(tử số có $n$ dấu căn)

Tìm giới hạn của dãy số trên.

Câu 3: Tìm các hàm số $f$ :$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$\frac{1}{2}f(xy)+\frac{1}{2}f(xyz)-f(x)f(yz)\geq \frac{1}{4},\forall x,y,z \in\mathbb{R}$$

Câu 4:

Cho tam giác $ABC$ và $M, N$ là hai điểm di động trên đường thẳng $BC$ sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$. Đường thẳng $d_1$ đi qua $M$ và vuông góc với $AC$, đường thẳng $d_2$ đi qua $N$ và vuông góc với $AB$. Gọi $K$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$. Chứng minh rằng trung điểm $I$ của đoạn $AK$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Câu 5:

Chứng minh rằng trong $39$ số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho $11$.

 

Vòng II:

Câu 6: Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix}9y^4+24y^3-xy^2+7y^2=16-x+24y & \\ 8y^3+9y^2+20y-\sqrt[3]{6y+1}+15=x \end{matrix}\right.(x,y\in\mathbb{R})$$

Câu 7: Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn: $xyz=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$P=\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{8}{(2+y)^3}+\frac{64}{(4+z)^3}$$

Câu 8: Cho hai đường tròn $(I)$ và ($J$) cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $IA$ vuông góc với $JA$. Đường thẳng $IJ$ cắt hai đường tròn tại $C, E, D, F$ sao cho các điểm $C, I, E, D, J, F$ nằm trền đường thẳng theo thứ tự đó.$BE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm thứ hai $K$ và cắt $AC$ tại $M$.$BD$ cắt đường tròn $(J)$ tại điểm thứ hai $L$ và $AF$ tại $N$.

1.Chứng minh rằng $MN$ vuông góc $AB$

2.Chứng minh rằng: $KE.LN.ID=JE.KM.LD$

Câu 9:

Cho các số nguyên dương $n, k, p$ với $k\geq 2$ và $k(p+1)\leq n$. Cho $n$ điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng. Tô $n$ điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tô đúng một màu). Tìm số cách tô màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:

1. Có đúng $k$ điểm được tô bởi màu xanh

2.Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất $p$ điểm được tô màu đổ.

3.Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối cùng có ít nhất $p$ điểm được tô màu đỏ.

(Hai cách tô màu được coi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tô màu khác nhau)

------ Hết ------

Mời các bạn thảo luận tại đây

 

 

 

Bình luận

  • Chưa có bình luận

Gửi bình luận

Đăng bình luận như là khách viếng thăm

0
điều khoản sử dụng.

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...