"Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm."
Gottfried Wilhelm Leibniz
Bạn đang ở: Trang chủTrung học Phổ thôngGiải tíchGiới hạn và vi phân

Giới hạn và vi phân

Tiếp theo bài "Vi phân (đạo hàm)", để hiểu rõ hơn về ngành này, trước tiên chúng ta phải hiểu về giới hạn

I. Giới hạn:

Trong việc nghiên cứu về ngành vi tích phân, chung ta sẽ cảm thấy thú vị về điều gì sẽ xảy ra với một hàm số khi các giá trị khác nhau thay vào hàm thì hàm đó đến gần để một giá trị cụ thể. Chúng ta đã bắt gặp điều này trong bài "Vi phân (đạo hàm)" khi phóng to đường cong để tìm giá trị xấp xỉ của độ dốc đường cong.

II. Giới hạn khi $x$ tiến đến một con số cụ thể:

Thỉnh thoảng việc tìm giá trị giới hạn của một biểu thức chỉ đơn giản là thế số.

Ví dụ 1: Tìm giới hạn khi $t$ tiến đến $10$ của biểu thức $P=3t+10$

Trả lời

Sử dụng ký hiệu giới hạn, ta viết như sau:

$$\lim_{t\rightarrow 10}(3t+7)$$

Ví dụ này không khó khăn gì cả, ta chỉ thế số $10$ vào biểu thức và viết:

$$\lim_{t\rightarrow 10}(3t+7)=37$$

Điều này hợp lý vì hàm $f(t)=3t+7$ là hàm liên tục

Tuy nhiên có một vài trường hợp ta không thể áp dụng cách này.

Ví dụ 2: Trong biểu thức sau thì hiển nhiên $x$ không thể bằng $3$ (do mẫu số phải khác $0$), hãy tìm giới hạn biểu thức khi $x$ tiến đến $3$

$$f(x)=\frac{x^{2}-2x-3}{x-3}$$

Trả lời

Chúng ta có thể thấy hàm số tiến đến gần một giá trị cụ thể khi $x$ tiến đến $3$ từ bên trái

Tiếp tục tiến gần đến giá trị $x=3$

Tương tự, tiến đến $3$ từ bên phải cho ta giá trị giới hạn tương tự

Ta nhận thấy rằng các giá trị hàm tiến gần đến $4$

Ta viết:

$$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-2x-3}{x-3}=4$$

Chú ý: Ta có thể tìm giá trị giới hạn này bằng cách phân tích thành nhân tử:

$$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-2x-3}{x-3}$$

$$=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x+1)(x-3)}{x-3}$$

$$=\lim_{x\rightarrow 3}(x+1)$$

$$4$$

Cách làm này đúng vì ta có $x\neq 3$

Đây là ví dụ cơ bản nhằm giới thiệu việc nghiên cứu giới hạn. Nó có vẻ khá ngớ ngẩn vì những gì ta làm chả khác gì bài toán cấp 2, nhưng lại rất quan trọng vì nó thể hiện rằng hàm không tồn tại giá trị thực nào khi $x=3$, nhưng khi ta cho $x$ ngày càng dần tới $3$ thì giá trị hàm càng đi về 1 giá trị thực (như trong ví dụ trên là $4$).

III. Giới hạn khi $x$ tiến đến $0$:

Chúng ta phải nhớ rằng chúng ta không thể chia cho số $0$ (xem thêm vì sao mẫu số phải khác $0$?).

Nhưng có 1 vài điều rất thú vị và quan trọng, đó là giới hạn khi $x$ tiến đến $0$ và nơi mà giá trị giới hạn xuất hiện khi ta có mẫu số bằng $0$.

Ví dụ 3: Tìm giới hạn khi $x$ tiến đến $0$ của $\frac{\sin x}{x}$

Trả lời

Ta không thể thay số $0$ vào biểu thức vì $\frac{\sin 0}{0}$ không xác định.

Không có phương pháp đại số nào để tìm giới hạn này, nhưng ta có thể tìm bằng cách cho $x$ tiến gần đến $0$ từ bên trái và phải và có kết luận rằng:

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

Một cách để kiểm chứng kết quả này đó là dựa vào đồ thị và ta thấy rằng giá trị hàm số khi $x$ gần đến $0$ là $1$

Có chỗ trống nơi $x=0$ trong đồ thị nhưng nó quá nhỏ để chúng ta thấy được.

IV. Giới hạn khi $x$ tiến đến vô cực:

Ví dụ 4: Cho biểu thức $\frac{5}{x}$, chuyện gì sẽ xảy ra với biểu thức khi $x$ tiến ra vô cực ?

Trả lời

Rõ ràng khi giá trị $x$ càng lớn thì giá trị biểu thức ngày càng nhỏ cho đến khi đến sát giá trị $0$, ta nói rằng "giới hạn của $\frac{5}{x}$ khi $x$ tiến ra vô cực là $0$".

V. Giới hạn khi giá trị biến thiên ở mẫu:

Một cách tổng quát:

$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty }(\frac{1}{x})=0$$ 

Tương tự:

$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty }(\frac{1}{x^{2}})=0$$

Ta dùng những giá trị giới hạn này khi cần ước lượng giới hạn của các hàm số và đặc biệt hữu ích khi ta vẽ đồ thị đường cong

Ví dụ 5: Tìm giới hạn:

$$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{5-3x}{6x+1})$$

Trả lời

Bài này không mấy rõ ràng giá trị giới hạn là bao nhiêu. Ta có thể thay $x$ giá trị càng lớn dần vào biểu thức cho đến khi ta phát hiện điều gì khả quan (hãy thử với $100$, rồi $1000$, rồi $1000000$ và cứ thế).

Hoặc ta có thể sắp xếp biểu thức và dùng công thức:

$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty }(\frac{1}{x})=0$$ 

để tìm giá trị giới hạn.

Ta chia cả tử và mẫu cho $x$ để tạo ra biểu thức mà ta có thể đánh giá được giá trị giới hạn.

$$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{5-3x}{6x+1})$$

$$=\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{\frac{5}{x}-3}{6+\frac{1}{x}})$$

$$=\frac{0-3}{6+0}$$

$$-\frac{1}{2}$$

Chú ý rằng ta không thay ký hiệu $\infty $ vào biểu thức $\frac{\frac{5}{x}-3}{6+\frac{1}{x}}$ vì nó không có nghĩa trong toán học

Đừng viết $\frac{5-3.(\infty) }{6.(\infty) +1}$, điều này không đúng đâu nhé!

Ví dụ 6: Tìm giới hạn:

$$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{1-x^{2}}{8x^{2}+5})$$

Trả lời

Cách thế số: Thay các giá trị lớn dần vào biểu thức  như $100$, rồi $10000$, rồi $1000000,...$ và ta nhận thấy biểu thức tiến về $-\frac{1}{8}$

Cách đại số: Chia tử và mẫu cho $x^{2}$ rồi lấy giới hạn:

$$\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{1-x^{2}}{8x^{2}+5})$$

$$=\lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{\frac{1}{x^{2}}-1}{8+\frac{5}{x^{2}}})$$

$$=-\frac{1}{8}$$

VI. Tính liên tục và vi phân:

Trong phần này ta sẽ lấy vi phân của đa thức, sau đó ta sẽ giải quyết nhiều hàm khó hơn, có khi ta không thể lấy vi phân được. Ta cần phải hiểu điều kiện nào để một hàm có thể lấy vi phân.

Một hàm số như $f(x)=x^{3}-6x^{2}-x+30$ là hàm liên tục với mọi giá trị của $x$ nên có thể lấy vi phân với mọi giá trị của $x$


Tuy nhiên, hàm số như $f(x)=\frac{2}{x^{2}-x}$ không xác định tại $x=0$ và $x=1$

Hàm không liên tục tại 2 điểm đó, vì vậy ta không thể lấy vi phân với những giá trị như vậy.


VII. Hàm số nhiều phương trình và vi phân:

Hàm số nhiều phương trình lấy được vi phân với mọi $x$ nếu hàm số ấy liên tục với mọi $x$

Ví dụ 7: 

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}2x+3;x<1\\ -x^{2}+2;x\geq1\end{matrix}\right.$$


Hàm số này không liên tục tại $x=1$, nhưng vẫn tồn tại giá trị tại $x=1$ (cụ thể $f(1)=1$). Hàm số này có vi phân với mọi $x$ trừ giá trị $x=1$ vì hàm không liên tục tại điểm trên.

Thảo luận bài viết này tại đây

 

 

 

 

 

Bình luận

  • Chưa có bình luận

Gửi bình luận

Đăng bình luận như là khách viếng thăm

0
điều khoản sử dụng.

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...