Đến nội dung


Chuyên mục

 Photo

Đề thi chọn đội tuyển HSG quốc gia tỉnh Đồng Nai năm học 2016-2017

Hôm nay, 20:32

Câu I. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

$$\left\{\begin{matrix} u_1\in(1;2)\\u_{n+1}=1+u_n-\dfrac{u_n^2}{2},\forall n=1,2,..  \end{matrix}\right.$$

Chứng minh rằng $u_n$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

Câu II. Cho các số thưc dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Chứng minh rằng :

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a^3+b^3+c^3+3}}.$$

 

Câu III. Cho tam giác nhọn $ABC( AB<AC).$ có $M$ là trung điểm cạnh $BC,$ ; các đường cao $AD,BE,CF.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC, K$ là trung điểm $AH,$ và $L$ là giao điểm $EF$ và $AH.$ Gọi $N$ là giao điểm của đoạn $AM$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCH.$

1/ Chứng minh rằng $5$ điểm $A,E,N,H,F$ cùng thuộc 1 đường tròn.

2/ Chứng minh rằng $\widehat{HMA}=\widehat{LNK}.$

 

Câu IV. Có bao nhiêu hoán vị $(a_1,a_2,..,a_{10})$ của các số $1,2,3,..,10$ sao cho $a_i>a_{2i}$ với $1\leq i  \leq 5$ và $a_j>a_{2j+1}$ với $1\leq i  \leq 4$.

 

Câu V. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$

 

Câu VI. Gọi $O,I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác $ABC$ không đều. Chứng minh rằng :

$$\widehat{AIO}\leq 90^0\Leftrightarrow 2BC\leq AB+AC$$

 

Câu VII. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho : Với $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$ đôi một khác nhau , luôn tồn tại hai chỉ số $i,j\in\begin{Bmatrix}1,2,3,..,n \end{Bmatrix}$ để $a_i+a_j\geq 2017(a_i,a_j)$

với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a,b.$

  141 Lượt xem · 7 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi IHateMath )

 Photo

Tuần 4 tháng 9/2016: Đường vuông góc trên cấu hình đường tròn Mixlinear

25-09-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 4 tháng 9 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán đó.

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ đường kính $AS$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ và tiếp xúc trong $(O)$ tại $D$. Trung trực $AD$ cắt tiếp tuyến tại $S$ của $(O)$ tại $T.P$ đối xứng với $D$ qua $TK$. Trung trực $AP$ cắt $PK$ tại $R.AK$ cắt $(O)$ tại $X$ khác $A.DX$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy $Q$ trên trung trực $AX$ sao cho $AQ\perp BC$. Chứng minh rằng $QR\perp AG$.

Post 339.PNG

Hình vẽ bài toán

 

  360 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

 Photo

Đề chọn đội tuyển HSG QG Phú Thọ 2016-2017

24-09-2016

Ngày 1:

Bài 1: Xét dãy số thực vô hạn $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn 

$|x_{m+n}-x_{m}-x_{n}| < \dfrac{1}{m+n}$ với mọi số nguyên dương $m,n$

Chứng minh rằng $(x_n)$ là cấp số cộng

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. Các cạnh $AB,AC$ tiếp xúc với $(I)$ tại $E,F$. Đường thằng qua $B$ song song với $AC$ cắt $EF$ tại $K$. $CK$ cắt $AB$ tại $G$. Chứng minh tam giác $AIG$ vuông

Bài 3: Một hàng cây bưởi Đoan Hùng gồm $17$ cây thẳng hàng đánh số cây theo thứ tự là các số tự nhiên từ $1$ đến $17$. Ban đầu mỗi cây có một con đậu trên đó để hút mật hoa. Sau đó, cứ mỗi giờ có hai con ong nào đó bay sang hai cây bên cạnh để tìm và hút mật nhưng theo hai chiều ngược nhau. Hỏi sau giờ có hay không trường hợp mà 

a) Không có con ong ở cây có số thứ tự chẵn 

b) Có $9$ con ong ở cây cuối cùng 

Bài 4: Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ khác đa thức không sao cho $10^n-3n-2016$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n$

Ngày 2:

Bài 5: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn

$$(x^2-6x+8)P(x)-(x^2+2x)P(x-2)=6x^2-12x$$ 

Bài 6: Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$. Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ nằm về một phía đối với đường thẳng $AB$, Tiếp xúc với nhau tại $T$ đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến chung tại $T$ của $(O_1),(O_2)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ (Với $C$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa $(O_1),(O_2)$). Chứng minh rằng $T$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Bài 7: Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số cách chọn các dấu cộng, trừ trong biểu thức $E_n= \pm 1 \pm 2 \pm \dots \pm n$ sao cho $E_n=0$. Chứng minh rằng

a) $f(n)=0$ khi $n \equiv 1,2 (mod 4)$ 

a) Khi $n \equiv 0,3 (mod 4)$ ta có $\dfrac{\sqrt{2^n}}{2} \leq f(n) \leq 2^n -2^{1+[\dfrac{n}{2}]}$

  1062 Lượt xem · 14 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi Nguyen Van Luc )

 Photo

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016

24-09-2016

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA THPT CHUYÊN KHTN
Câu $1$ : Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa $x_{1}=3,x_{2}=7$ và
$$x_{n+2}=x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}+x_{n}$$
Đặt dãy
$$y_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k}}$$
Chứng minh $(y_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó .
Câu $2$ : Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $2p^{2}-1$ là một lũy thừa của $7$ .
Câu $3$ : Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$ , lấy điểm $P$ thuộc trung trực $BH$ . Đường thẳng qua $A$ song song $HP$ cắt $(O)$ ở $E$ , đường thẳng qua $E$ song song $AH$ cắt $(O)$ tại $F$ . Lấy $Q$ đối xứng của $P$ qua $O$ , điểm $G$ thuộc $HP$ sao cho $FG$ song song $AQ$ .
$a)$ Chứng minh $B,C,Q,P$ đồng viên trên đường tròn $(K)$
$b)$ Gọi $AQ$ cắt $(O)$ ở $R$ , $FR$ cắt trung trực $BC$ ở $L$ . Chứng minh $OP = KL$
Câu $4$ : Tìm số lớn nhất phần tử của một tập hợp là tập con của $\left \{ 1,2,3,....2016 \right \}$ thỏa mãn hiệu hai phần tử bất kỳ khác $4$ và $7$ .

  1138 Lượt xem · 13 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi supermember )

 Photo

Đề thi chọn ĐT dự thi HSGQG Đà Nẵng, 2016-2017

23-09-2016

ĐỀ THI CHỌN ĐT DỰ THI HSGQG ĐÀ NẴNG NGÀY 1

Bài 1. Cho dãy số Fibônaci xác định như sau: $u_1=u_2=1;u_n=u_{n-1}+u_{n-2} (n=3,4,...).$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p \geq 7$ thì có đúng một trong hai số $u_{p-1},u_{p+1}$ là bội của $p.$

Bài 2. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức $f(x)$ bậc $n$ có hệ số nguyên thỏa mãn:

$f(0)=0,f(1)=1$ và với mọi $m \in \mathbb{N^*},f(m)(f(m)-1)$ là bội của 2017.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O),H$ là trực tâm tam giác. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $OH$ cắt $BC$ tại $D.$

$K.L$ là tâm $(ADB),(ADC).$

a. Chứng minh $A,K,L,O$ thuộc một đường tròn gọi là $(S).$

b. $AH$ cắt lại $(S)$ tại $E.F$ đối xứng với $E$ qua $BC.$ Chứng minh $HA=HF.$

Bài 4. Trong mặt phẳng cho $n \geq 2$  đường thẳng đôi một cắt nhau và không có ba đường nào đồng quy. Các đường này chia mặt phẳng thành các miền hữu hạn và vô hạn. Chứng minh ta có thể đánh dấu các miền đó bằng các số nguyên thỏa mãn cả ba điều kiện sau:

(i) Các số đó khác $0.$

(ii) Trị tuyệt đối của mỗi số không lớn hơn $n.$

(iii) Mỗi đường thẳng đã cho sẽ phân mặt phẳng làm hai phần mà tổng các số của mọi miền thuộc mỗi phần sẽ bằng $0.$

  1387 Lượt xem · 16 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi halloffame )

 Photo

Đề chọn đội tuyển PTNK ngày 2 năm 2016-2017

22-09-2016

Bài 1 : Với mỗi số nguyên dương $n$ ,tồn tại duy nhất số tự nhiên $a$ thỏa mãn $a^2 \le n<(a+1)^2$ 
Đặt $\Delta_n=n-a^2$
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $\Delta_n$ khi $n$ thay đổi và luôn thỏa $n=15m^2$ với $m$ là số nguyên dương
b) Cho $p,q$ là các số nguyên dương và $d=5(4p+3)q^2$. Chứng minh $\Delta_d \ge 5$
Bài 2 : Với các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa $1 \le a<b<c<d$, kí hiệu 
$T(a,b,c,d)=\{{x,y,z,t} \subset N /1 \le x<y<z<t,x \le a,y \le b,z \le c,t \le d \}$ 
a) Tính số phần tử của $T(1,4,6,7)$ 
b) Cho $a=1$ và $b \ge 4$. Gọi $d_1$  là số phần tử của $T(a,b,c,d)$ chứa $1$ và không chứa $2$,$d_2$ là số phần tử chứa $1,2$ nhưng không chứa $3$,$d_3$ là số phần tử chứa $1,2,3$ nhưng không chứa $4$
Chứng tỏ $d_1 \ge 2d_2-d_3$. Dấu $=$ xảy ra khi nào ?
Bài 3 : Trong một hệ thống máy tính ,một máy tính bất kì có thể kết nối trực tiếp với ít nhất $30$% máy tính khác của hệ thống.Hệ thống này có một chương trình ngăn chặn và cảnh báo khá tốt,do đó khi một máy tính bị virus,nó chỉ đủ thời gian lây virus cho các máy tính  được kết nối trực tiếp với nó . Chứng minh rằng dù vậy ,kẻ tấn công vẫn có thể chọn hai máy tính  của hệ thống   mà nểu thả virus vào hai máy đó ,ít nhất $50$% máy tính  của hệ thống sẽ bị nhiễm virus 
Bài 4 : Cho tam giác nhọn $ABC$,đường tròn $(I)$ có tâm $I$ thuộc cạnh $BC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$ . Lấy $M,N$ bên trong tứ giác $BCEF$ sao cho $EFNM$ nội tiếp $(I)$ và các đường thẳng $MN,EF,BC$ đồng quy . $MF$ cắt $NE$ tại $P$,$AP$ cắt $BC$ tại $D$ 
a) Chứng minh $A,D,E,F$ cùng thuộc một đường tròn 
b) Trên đường thẳng $BN,CM$ lấy các điểm $H,K$ sao cho $\widehat{ACH}=\widehat{ABK}=90^{o}$. Lấy $T$ là trung điểm $HK$ . Chứng minh $TB=TC$
Nguồn : Thầy Trần Nam Dũng 

  600 Lượt xem · 7 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi I Love MC )

 Photo

Đề thi chọn đội tuyển PTNK ngày 1 năm 2016-2017

21-09-2016

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSGQG PTNK NGÀY 1

 

Bài 1. Tìm $a$ để dãy số $(u_n)$ hội tụ biết $u_1=a$ và 

\[u_{n+1}=\left\{\begin{matrix} 2u_n-1 \ \text{nếu} \ u_n>0 & \\ -1 \ \text{nếu} \ -1\leq u_n\leq 0 & \\ u_n^2+4u_n+2 \ \text{nếu} \ u_n<-1 & \end{matrix}\right.\]

 

Bài 2. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức $x^ky^kz^k(x^3+y^3+z^3)\leq 3$ đúng với mọi số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=3$.

 

Bài 3. Cho hàm số $f:\mathbb{N^*}\to\mathbb{N^*}$ thỏa mãn các điều kiện : $f$ tăng thực sự và $f(2n)=2f(n)$ với mọi số $n$ nguyên dương.

a, Giả sử $f(1)=3$ và $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh tồn tại $n$ sao cho $f(n)$ chia hết cho $p$.

b, Cho $q$ là số nguyên tố lẻ. Hãy xây dựng một hàm $f$ thỏa mãn điều kiện bài toán mà $f(n)$ không chia hết cho $q$ với mọi số nguyên dương $n$.

 

Bài 4. Tam giác $ABC$ có $\angle BAC$ tù, $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$. Điểm $M$ thay đổi trên cạnh $AB$. Dựng $N$ sao cho $\triangle BMN\sim \triangle HCA$ ($H,N$ nằm khác phía đối với $AB$).

a, $CM$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle BMN$ tại $K$ khác $M$. Chứng minh $NK$ luôn đi qua điểm cố định.

b, $NH$ cắt $AC$ tại $P$. Dựng $Q$ sao cho $\triangle HPQ\sim \triangle HNM$ ($Q,M$ nằm khác phía đối với $NP$). Chứng minh rằng $Q$ thuộc một đường thẳng cố định.

  1299 Lượt xem · 7 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi huya1k43pbc )

 Photo

Tuần 3 tháng 9/2016: Mở rộng bài thi chọn đội tuyển KHTN 2016

18-09-2016

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ trong tuần 3 tháng 9 và kèm theo đó là bài toán mới, xin trích dẫn lại bài toán đó.

 

Cho hình thang cân $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O).K$ là trung điểm $CD.AD$ cắt đường tròn $(K)$ đi qua $A,B$ tại $P$ khác $A.Q$ là trực tâm tam giác $PAB$. Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt $AB,PQ$ lần lượt tại $M,N.MQ,NP$ lần lượt cắt đường tròn $(L)$ ngoại tiếp tam giác $BMN$ tại $S,T$ khác $M$. Tiếp tuyến tại $S,T$ của $(L)$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng $RD$ tiếp xúc $(O)$.

Post 328.png

Hình vẽ bài toán

  407 Lượt xem · 2 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi quanghung86 )

  1159 Lượt xem · 18 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi viet nam in my heart )

 Photo

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 1 năm 2016

17-09-2016

                                                                                                           ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA THPT CHUYÊN KHTN VÒNG 1

Câu $1$ : Giải phương trình nghiệm nguyên dương $(a,p,n)$ trong đó $p$ là một số nguyên tố thỏa mãn :

$$a^{2}(a^{2}+1)=5^{n}(5^{n+1}-p^{3})$$

Câu $2$ : Tìm tất cả đa thức hệ số thực thỏa mãn : 

$$2(P(x)-P(\frac{1}{x}))^{2}+3P(x^{2})P(\frac{1}{x^{2}})=0$$

Câu $3$ : Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ , $H,O$ lần lượt là trực tâm và tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$ . $E$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $OE || BC$ . Gọi $OE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $EBC$ tại $F$ . Tiếp tuyến tại $F$ của đường tròn $(EBC)$ cắt $BC,AH$ lần lượt ở $P,Q$ .

$a)$ Chứng minh đường tròn $(K)$ ngoại tiếp tam giác $BPQ$ đi qua trung điểm $M$ của $AH$ 

$b)$ Gọi $PA,PH$ cắt $(K)$ ở $S,T$ khác $P$ . Chứng minh rằng hai tiếp tuyến tại $S,T$ của $K$ cắt nhau trên $ME$ 

Câu $4$ : Một số nguyên dương $n \geq 2$ được gọi là tốt nếu với mọi $2 \leq k \leq n$ thì $n$ có dạng $n = a_{1}+a_{2}+....+a_{k}$ trong đó $(n,a_{k})=1$ và các số $a_{i}$ là nguyên dương . Tính tổng tất cả các số tốt nhỏ hơn $2016$ 

:( làm khá là chán , mọi người vào chém đi .

  2207 Lượt xem · 22 Trả lời ( Trả lời cuối cùng bởi lahantaithe99 )


Những bài toán trong tuần

Gọi n là 1 số nguyên dương và : $ x_{1} ,...,x_{n}, y_{1} ,..., y_{n} $ là các số thực dương thỏa mãn tính chất sau : Với mỗi tập con khác rỗng $S \subset {1,2,...,n} $ thì tồn tại một tập con khác không rỗng $T \subset {1,2,...,n} $ và : $$ \dfrac{ \sum _{i \in T} x_{i} }{ \sum _{i \in T} y_{i} }=\dfrac{ \sum _{i \in S} y_{i} }{ \sum _{i \in S} x_{i} } $$ Chứng minh rằng : Với mọi $i=1,2,...,n$ thì tồn tại $j$ sao cho : $$ x_{j} = y_{i} $ và : $ y_{j} = x_{i}. $$

>>Tham gia giải bài toán này<<

Những bài toán đã qua


Mỗi tuần 1 bài toán hình học

 

 

 


Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ đường kính $AS$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ và tiếp xúc trong $(O)$ tại $D$. Trung trực $AD$ cắt tiếp tuyến tại $S$ của $(O)$ tại $T.P$ đối xứng với $D$ qua $TK$. Trung trực $AP$ cắt $PK$ tại $R.AK$ cắt $(O)$ tại $X$ khác $A.DX$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy $Q$ trên trung trực $AX$ sao cho $AQ\perp BC$. Chứng minh rằng $QR\perp AG$..

 

Tham gia giải bài toán này

Ấn phẩm của Diễn đàn Toán học

 

 

 

Bài viết mới


Portal v1.4.0 by DevFuse | Based on IP.Board Portal by IPS