"Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó."
Georg Cantor
Bạn đang ở: Trang chủToán cao cấpĐề thi Toán cao cấpĐề thi Olympic toán sinh viên ĐHBKHN 2014

Đề thi Olympic toán sinh viên ĐHBKHN 2014

 

                                                                            MÔN GIẢI TÍCH

 

Câu 1. Cho $x>0$, tính giới hạn:

 $$\lim_{n\to +\infty} n^2\left(\sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x}\right).$$

 Câu 2. Cho hàm $f(x)=\sin x+\sin (\sqrt{2}x),\: x\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng không tồn tại số $T>0$ sao cho:

 $$f(x)=f(x+T), \forall x\in \mathbb{R}$$.

 Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, giả sử tồn tại 2 số $x_1, \: x_2$ sao cho $f(x_1)f(x_2)<0$. Chứng minh rằng: Tồn tại ba số $a,\: b,\: c$ sao cho $a<b<c,\: a+c=2b$ đồng thời: 

 $$15f(a)+2f(b)+2014f( c)=0$$

 Câu 4. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và

 $$\left | f'(x) \right |\leq 2014\left | f(x) \right |, \: \forall x\in \mathbb{R}$$

 Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $(0,+\infty)$. Chứng minh rằng:

 Nếu $\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+2013f'(x)\right)=2014$ thì $\lim_{x\to +\infty}f(x)=2014$

 Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0,1]$, $f(x)\geq 0,\forall x\in [0,1]$. Chứng minh rằng:  

 $$\lim_{n\to +\infty}\left ( \int_{0}^{1}f^n(x)dx \right )^{\frac{1}{n}}=\underset{x\in [0,1]}{\max}f(x)$$

 

                                                                               MÔN ĐẠI SỐ

 

Câu 1. Cho 3 dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}, \left ( y_n \right )_{n\geq 0}, \left ( z_n \right )_{n\geq 0}$ xác định như sau: $x_0=a, y_0=b, z_0=c$ và 

$$\left\{\begin{matrix}4x_{n+1}=2x_n+y_n+z_n\\4y_{n+1}=x_n+2y_n+z_n\\4z_{n+1}=x_n+y_n+2z_n \end{matrix}\right.,\: \forall n\geq 0$$.

Đặt $U_n=\begin{bmatrix} x_n\\y_n\\z_n\end{bmatrix},\: \forall n\geq 0$

a) Xác định ma trận $A$ sao cho $U_{n+1}=AU_{n}, \forall n\geq 0$. Chéo hóa ma trận $A$.

b) Chứng minh rằng: $\lim_{n\to \infty} x_n=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} z_n=\frac{1}{3}\left ( a+b+C \right )$.

Câu 2. Ma trận $A\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $A^k=0$. Cho $P, Q\in M\left ( n, \mathbb{R} \right )$ là các ma trận lũy linh.

a) Tìm các trị riêng của $P$. Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $P$.

b) Chứng minh rằng nếu $PQ=QP$ thì $PQ$ cũng là ma trận lũy linh.

c) Giả sử $PQ+P+Q=0$. Tính $\det\left(I+2P+3Q\right)$.

Câu 3. Cho $A$ là ma trận cấp $3\times 2$, $B$ là ma trận cấp $2\times 3$ sao cho $AB=\begin{bmatrix} 1&1&2\\2&1&3\\2&-1&1\end{bmatrix}$

a) Chứng minh rằng: $\left ( AB \right )^3=3\left ( AB \right )^2$.

b) Tìm $BA$

Câu 4. Cho ma trận $A=\left [ a_{ij} \right ]$ vuông cấp 2014, trong đó $a_{ij}=\left\{\begin{matrix}0,\: i=j\\b^{i-j},\: i\neq j \end{matrix}\right.,\: b\neq 0$. Chứng minh rằng:  $A$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của $A$.

Câu 5. Cho đa thức $f(x)=2014x^{2014}+a_{2013}x^{2013}+\cdots+a_1x+a_0$ có 2014 nghiệm thực $x_1,x_2,...,x_{2014}$ và $g(x)=2014x^{2013}+a_{2013}x^{2012}+\cdots+a_2x+a_1$. Chứng minh rằng:

$$\sum_{i=1}^{2014}\frac{g(x_i)}{f'(x_i)}=1$$

 

Mời các bạn thảo luận tại đây.

 

 

 

 

 

 

Bình luận

  • Chưa có bình luận

Gửi bình luận

Đăng bình luận như là khách viếng thăm

0
điều khoản sử dụng.

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...