Đăng nhập

Bạn có thể sử dụng tài khoản GMail để đăng nhập.

Toán Olympic

Kazakhstan National Olympiad 2015

Ngày 1

Câu 1

Chứng minh rằng: 

$$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2} < n \cdot \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}\right).$$
 
Câu 2
Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
$$x^yy^x=(x+y)^z$$

Câu 3
Một hình chữ nhật được gọi là nội tiếp một hình tam giác nếu tất cả các đỉnh của nó đều thuộc các cạnh của tam giác. Chứng minh rằng tập hợp các tâm hình chữ nhật nội tiếp một tam giác nhọn là ba đoạn thẳng đồng quy không đóng.
 
Ngày 2
Câu 4
Đặt $P_k(n)$ là tích tất cả các số là ước nguyên dương của $n$ và chia hết cho $k$ (Nếu không có số nào thì quy ước tích bằng $1$). Chứng minh rằng $P_1(n)P_2(n)...P_n(n)$ là bình phương một số hoàn hảo với bất kì số $n$.
 
Câu 5
Tìm tất cả các bộ $(x_1,x_2,...,x_n ), (n \geq 4)$ là một hoán vị của $\{1,2,...,n\}$ sao cho khi $1 \leq i \leq n-2 $ ta có: $ x_i < x_{i+2}$ và khi $1 \leq i \leq n-3$  ta có $x_i < x_{i+3}$.
 
Câu 6
Tứ giác $ABCD$ có đường tròn nội tiếp đường kính $d$, tiếp xúc với cạnh $BC$…

Read more: Kazakhstan National Olympiad 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 114
APMO 2015
Câu 1.
Cho tam giác $ABC$ có $D$ là một điểm thuộc cạnh $BC$. Một đường thẳng đi qua $D$ cắt cạnh $AB$ tại $X$ và tia $AC$ tại $Y$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BXD$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tại $Z$ (khác $B$). Đường thẳng $ZD$ và $ZY$ cắt $\omega$ lần lượt tại $V$ và $W$. Chứng minh rằng $AB=VW$
 
Câu 2.
Đặt $S = \{2,3,4,...\}$ là tập hợp các số nguyên không nhỏ hơn $2$. Có tồn tại hay không một hàm số $f: S \to S$ sao cho:  $f (a)f (b) = f (a^2 b^2 ), \forall a, b \in S, a \neq b$.
 
Câu 3.
Dãy số thực $a_0,a_1,... $ được gọi là "tốt" nếu $3$ thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:
$(i)$ $a_0$ là một số nguyên dương.
$(ii)$ Với mỗi số nguyên không âm $i$, ta có: $a_{i+1}=2a_i+1$ hoặc $a_{i+1} =\frac{a_i}{a_i + 2} $
$(iii)$ Tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $a_k=2014$.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho tồn tại một…

Read more: APMO 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 206

Bài 1(4 điểm)

Giải hệ phương trình : 

$$\left\{\begin{matrix} (x+y)^{3}+\frac{3}{x+y}=4\\ 2(4-3y)\sqrt{2x^{2}-1}=10y^{2}-20y+3x+4 \end{matrix}\right.$$

 

Bài 2(4 điểm)

Cho $\Delta ABC$. 1 đường thẳng song song $BC$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $D,E$. $P$ là điểm trong tam giác $ADE$. $PB,PC$ theo thứ tự cắt $DE$ tại $M,N$.   

$O_{1},O_{2}$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDN, PEM$. Gọi $I$ là giao điểm của $AP$ với $O_{1}O_{2}$. Tính $\widehat{AIO_{1}}$

 

Bài 3(3 điểm)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương sao cho $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Tìm giá trị lớn nhất của

$$T=\frac{1}{a^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+2}+\frac{1}{c^{2}+2}$$

 

Bài 4(3 điểm)

Cho $10$ điểm thuộc mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Biết mỗi điểm đều có tọa độ nguyên. Tìm số tam giác ít nhất tạo bởi $3$ trong $10$ điểm trên có diện tích nguyên.

 

Bài 5(3 điểm)

Có $8$ phong thư và $8$ tem thư được đánh số từ $1$ đến $8$. Hỏi có bao nhiêu cách dán tem vào thư sao cho có ít nhất 1 tem được đánh số trùng với số của phong thư.

 

Bài 6(3 điểm)

Tìm hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn: 

$$f(m+f(n))=n+f(m+2015), \forall m, n \in \mathbb{N}^{*}$$

$$\text{---Hết---}$$

Mời bạn tham gia giải tại đây

Read more: Đề thi Olympic 30/4 môn Toán 10 năm 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 484
Đề thi Olympic 30/4 môn Toán 11 năm 2015

Bài 1 (4 điểm)

Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} (2x-1)\sqrt{x+y}=(6-x-y)\sqrt{2-x}\\ y+3+2\sqrt[3]{12x^2+3xy-18x}=(x-1)^3 \end{matrix}\right.$$

 

Bài 2 (4 điểm)

Cho dãy $(u_n)$ như sau :

$$u_{n}=\dfrac{e^{\frac{1}{n+1}}}{n+1}+\dfrac{e^{\frac{1}{n+2}}}{n+2}+...+\dfrac{e^{\frac{1}{2n}}}{2n}$$

Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_n$.

 

Bài 3 (3 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $X$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$. Phân giác góc $BAC$ cắt đường tròn tâm $X$ bán kính $XB$ tại điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$. Tia $OM$ cắt $BC$ tại $P$. Gọi $E,F$ là hình chiếu của $M$ xuống $AC,AB$. Chứng minh rằng $PE,PF$ vuông góc nhau.

 

Bài 4 (3 điểm)

Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố. Đặt $x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a$. Gỉa sử rằng $x^2=y$ và hiệu $\sqrt{z}-\sqrt{y}$ là bình phương của một số nguyên tố. Tính giá trị biểu thức :

$$T=(a+2)(b-10)(c+2)$$

 

Bài 5 (3 điểm) 

Tìm tất cả các hàm số đơn ánh $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả :

$$f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left [ f^2(x)-f(x)f(y)+f^2(y) \right ],\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

Bài 6 (3 điểm)

Tại ba đỉnh $A,B,C$ của một tam giác $ABC$, người ta viết các số $a,b,c$. Người ta thực hiện phép biến đổi sau : Nếu mỗi bộ trước là $(x,y,z)$ thì sau đó ta thay bởi bộ $(x+y-2z,y+z-2x,z+x-2y)$. Chứng minh rằng…

Read more: Đề thi Olympic 30/4 môn Toán 11 năm 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 378
Vietnam TST 2015 (cập nhật ngày 2)

Ngày thứ nhất

Bài 1

Gọi $\alpha $ là nghiệm dương của phương trình ${{x}^{2}}+x=5$. Với số nguyên dương $n$ nào đó, gọi ${{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}}, \ldots ,{{c}_{n}}$ là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức

$${{c}_{0}}+{{c}_{1}}\alpha +{{c}_{2}}{{\alpha }^{2}}+...+{{c}_{n}}{{\alpha }^{n}}=2015.$$
a) Chứng minh rằng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}\equiv 2\text{ }(\bmod 3).$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}$.

Bài 2.

Cho đường tròn $(O)$, dây cung $BC$ cố định và điểm $A$ chạy trên $(O)$. Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC$ và trực tâm tam giác $ABC$, tia $IH$ cắt $(O)$ tại $K$, $AH$ cắt $BC$ tại $D$, $KD$ cắt $(O)$ tại $M$. Từ $M$ vẽ đường vuông góc với $BC$ cắt $AI$ tại $N$.
a) Chứng minh $N$ thuộc đường tròn cố định.
b) Đường tròn tiếp xúc với $AK$ tại $A$ và đi qua $N$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Gọi $J$ là trung điểm $P,Q$. Chứng minh rằng: $AJ$ qua điểm cố định.

Bài 3
Một số nguyên dương $k$ có tính chất “$t-m$” nếu với mọi số nguyên dương $a$, tồn tại số…

Read more: Vietnam TST 2015 (cập nhật ngày 2)

Bình luận (0) Lượt xem: 614

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...

Go to top