"Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó."
Georg Cantor
Bạn đang ở: Trang chủToán Olympic

Toán Olympic

Bulgaria National Olympiad 2014

Ngày 1:

Bài 1. Cho $k$ là một đường tròn cố định, $A$ là một điểm cố định nằm ngoài $k$. Gọi $BC$ là đường kính đường tròn $k$. Tìm quỹ tích của trực tâm tam giác $ABC$ khi $BC$ thay đổi.

Bài 2. Trên bàn cờ $a$ có $ m\times n$ ô $( m\ge 2,n\ge 2 )$ được tô bởi $4$ màu: xanh dương, xanh lam, trắng, đỏ. Ta gọi là ô "màu đẹp" nếu $4$ ô trong hình vuông kích thước $ 2\times 2 $ có đủ $4$ màu khác nhau. Hãy xác định số ô màu đẹp có thể tạo...

France Team Selection Test 2014

Bài 1. Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất thảo mãn tính chất sau: Cho các số thực $a_1,a_2, \cdots ,a_d$ bất kì sao cho $a_1+a_2+ \cdots + a_d=n$ với $0 \le a_i \le 1$ cho mọi $i=1,2, \cdots, d$, ta có thể chia các số này thành $k$ nhóm (có thể có nhóm không có số nào) sao cho tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.

Bài 2. Cho hai đường tròn $O_1$ và $O_2$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến chung gần $m$ của hai đường tròn này tiếp...

Spain Mathematical Olympiad 2014

Ngày 1.

Bài 1. Có thể đặt các số $0,1,2, \cdots, 9$ thành một hình tròn sao cho tổng ba số liền nhau là a) $13$ b) $14$ c) $15$ hay không ?

Bài 2. Cho các số hữu tỉ $r,q$ và $n$ thoả mãn $ \frac{1}{r+qn}+\frac{1}{q+rn}=\frac{1}{r+q} $. Chứng minh rằng $\sqrt{ \frac{n-3}{n+1}}$ là số hữu tỉ.

Bài 3. Cho $B$ và $C$ là hai điểm cố định trên đường tròn tâm $O$ mà không đối nhau qua $O$. Cho $A$ là một điểm di động trên đường tròn khác $B$ và $C$ và không thuộc đường trung trực của $BC$. Cho $H$ là

Netherlands BxMO/EGMO TST 2014

Ngày 21 tháng 3 năm 2014

Bài 1. Tìm mọi số nguyên không âm $n$ sao cho tồn tại hai số nguyên $a,b$ sao cho $n^2=a+b,n^3=a^2+b^2$.

Bài 2. Tìm mọi hàm số: $ f:\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R} $ khi $xf(xy)+f(-y)=xf(x)$ với mọi số thực $x,y$ khác $0$.

Bài 3. Trong tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Một đường tròn tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và đi qua $B$. Đường tròn này cắt $AB$ tại $P$ và $BC$ tại $Q$. Đường thẳng $QI$ cắt $AC$ tại $R$. Chứng minh $|AR| \cdot |BQ|=|PI|^2$.

Bài 4. Cho $m \ge 3$ and $n$ là các...

Netherlands IMO Team Selection Tests 2014

TST I 

Ngày 6 tháng 6 năm 2014

Bài 1. Tìm cặp số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^2+b|a^2b+a$ và $b^2-a|ab^2+b$.

Bài 2. Cho $\triangle ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ là điểm nằm trên cạnh $AB$. $AM$ cắt $CD$ tại $E$. Gỉa sử rằng $|AD|=|DE|$. Chứng minh rằng $|AB|=|CE|$.

Bài 3. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ với $a+bc,b+ac$ và $a+b$ là các số khác $0$ thỏa mãn $$\frac{1}{a+bc}+ \frac{1}{b+ac}= \frac{1}{a+b}.$$

Chứng minh rằng $\sqrt{(c-3)(c+1)}$ là số hữu tỉ.

Bài 4. Cho $\triangle ABC$ với $|AC|=2|BA|$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. $D$ là giao điểm...

Trang 1 trên 30

Chuyên mục phụ

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...