"Những nhà toán học chúng tôi tất cả đều hơi điên rồ."
Lev Landau
Bạn đang ở: Trang chủToán Olympic

Toán Olympic

Spain Mathematical Olympiad 2014

Ngày 1.

Bài 1. Có thể đặt các số $0,1,2, \cdots, 9$ thành một hình tròn sao cho tổng ba số liền nhau là a) $13$ b) $14$ c) $15$ hay không ?

Bài 2. Cho các số hữu tỉ $r,q$ và $n$ thoả mãn $ \frac{1}{r+qn}+\frac{1}{q+rn}=\frac{1}{r+q} $. Chứng minh rằng $\sqrt{ \frac{n-3}{n+1}}$ là số hữu tỉ.

Bài 3. Cho $B$ và $C$ là hai điểm cố định trên đường tròn tâm $O$ mà không đối nhau qua $O$. Cho $A$ là một điểm di động trên đường tròn khác $B$ và $C$ và không thuộc đường trung trực của $BC$. Cho $H$ là

Netherlands BxMO/EGMO TST 2014

Ngày 21 tháng 3 năm 2014

Bài 1. Tìm mọi số nguyên không âm $n$ sao cho tồn tại hai số nguyên $a,b$ sao cho $n^2=a+b,n^3=a^2+b^2$.

Bài 2. Tìm mọi hàm số: $ f:\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R} $ khi $xf(xy)+f(-y)=xf(x)$ với mọi số thực $x,y$ khác $0$.

Bài 3. Trong tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Một đường tròn tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và đi qua $B$. Đường tròn này cắt $AB$ tại $P$ và $BC$ tại $Q$. Đường thẳng $QI$ cắt $AC$ tại $R$. Chứng minh $|AR| \cdot |BQ|=|PI|^2$.

Bài 4. Cho $m \ge 3$ and $n$ là các...

Netherlands IMO Team Selection Tests 2014

TST I 

Ngày 6 tháng 6 năm 2014

Bài 1. Tìm cặp số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^2+b|a^2b+a$ và $b^2-a|ab^2+b$.

Bài 2. Cho $\triangle ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ là điểm nằm trên cạnh $AB$. $AM$ cắt $CD$ tại $E$. Gỉa sử rằng $|AD|=|DE|$. Chứng minh rằng $|AB|=|CE|$.

Bài 3. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ với $a+bc,b+ac$ và $a+b$ là các số khác $0$ thỏa mãn $$\frac{1}{a+bc}+ \frac{1}{b+ac}= \frac{1}{a+b}.$$

Chứng minh rằng $\sqrt{(c-3)(c+1)}$ là số hữu tỉ.

Bài 4. Cho $\triangle ABC$ với $|AC|=2|BA|$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. $D$ là giao điểm...

Đề thi IMO 2014

Ngày thi thứ nhất 

Bài toán 1.

Cho dãy số nguyên dương vô hạn $a_0<a_1<a_2<.....$, chứng minh rằng tồn tại duy nhất chỉ số $n\geq 1$ sao cho :

$$a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_{n}}{n}\leq a_{n+1}$$

Bài toán 2.

Cho số nguyên dương $n\geq 2$, và bảng ô vuông $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông nhỏ. 1 cấu hình $n$ ô vuông nhỏ được gọi là "thanh bình" nếu mỗi hàng và mỗi cột của bảng chứa đúng 1 ô vuông nhỏ. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho với mỗi cấu hình $n$ ô vuông nhỏ "thanh bình"  luôn tồn tại 1 hình vuông $k\times k$ của bảng không chứa 1 ô vuông...

Junior Balkan MO 2014

Bài 1. Tìm các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $3p^4- 5q^4-4r^2=26$.

Bài 2. Cho tam giác nhọn $ABC$ có diện tích $S$. Lấy $CD \perp AB \; (D \in AB), DM \perp AC$ và $DN \perp BC \; (N \in BC)$. Kí hiệu $H_1,H_2$ thứ tự là trực tam giác $MNC$ và $MND$. Tìm diện tích tứ giác $AH_1BH_2$ theo $S$.

Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh $\sum \left( a+ \frac 1b \right)^2 \ge 3(a+b+c+1)$.

Bài 4. Cho số nguyên dương $n$, hai người chơi $A$ và $B$ cùng chời một trò chơi nhặt tiền: Có $s$ tờ 1 đôla hai...

Trang 1 trên 30

Chuyên mục phụ

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...