"Logic sẽ đưa anh từ điểm A tới điểm B. Trí tưởng tượng sẽ đưa anh tới mọi nơi."
Albert Einstein
Bạn đang ở: Trang chủToán Olympic

Toán Olympic

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Đồng Nai lần 2 năm học 2014-2015

Ngày thi thứ nhất.

Câu 1 (5 điểm)
Giải phương trình :
$$(5x-4)\sqrt{2x-3}-(4x-5)\sqrt{3x-2}=2$$

Câu 2 (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả :
$$g\left [ g(x)-x^2+yz \right ]=g(x)\left [ g(x)-2x^2+2yz \right ]+z^2\left [ y^2-g(y) \right ]+y^2\left [ z^2-g(z) \right] -2x^2yz+x+g(y)g(z)+x^4,\;\forall x,y,z\in \mathbb{R}$$

Câu 3: (5 điểm)
Một số tự nhiên được gọi là "số may mắn" nến tổng các chữ số của nó là $7$. Gọi $a_1,a_2,...,a_n,..$ là dãy tất cả các "số may mắn" được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Hỏi :
1. Số $2014$ là số hạng thứ mấy của dãy...

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Bình Phước năm học 2014-2015

 

Câu 1.

Cho n là số nguyên dương và các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x^{n}+y^{n}=1$.

Chứng minh rằng: $$\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}} \right). \left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1+y^{2k}}{1+y^{4k}} \right)< \frac{1}{(1-x)(1-y)}$$

Câu 2.

Cho 4028 số thực $a_{1},a_{2},...,a_{2014},b_{1},b_{2},...,b_{2014}$. Xét dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau:

$$x_{n}=\sum_{i=1}^{2014}\left [ a_{i}.n+b_{i} \right ],(n=1,2,...)$$

Biết dãy số $(x_{n})$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{2014}a_{i}$ là số nguyên ( với $\left [ a \right ]$ là phần nguyên của số thực a)

Câu 3.

Cho đa thức $P\left ( x \right )=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},(n=1,2,...)$,$P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ với $a_{0}$ chẵn và $a_{n-k}+a_{k}$ chẵn, với mọi $k=1,2,...,n-1$. Giả sử $P(x)=Q(x).R(x)$

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Cà Mau năm học 2014-2015

 

Câu 1: Giải phương trình: $$\sqrt{3-2\sqrt{3-4sinx}}=2sinx$$

Câu 2: Cho các số x, y thỏa mãn: $0<x\le 1,0<y\le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$F=\frac{x^5+y+4}{x} +\frac{y^4-2y^3+x}{y^2}$$

Câu 3: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1, u_{n+1}=3u_n+a, \forall n\in \mathbb{N}, n\ge 1$ và a là số nguyên tố. Xét dãy $(v_n): v_n=u_n+b, b\in \mathbb{N}$. Tìm a và b sao cho $(v_n)$ là một cấp số nhân. Từ đó tìm số hạng tổng quát của $(v_n)$.

Câu 4: Cho đa thức $P(x)=x^4+ax+a, a\in \mathbb{R}$. Xác định a để P(x) có nghiệm thực và chứng minh rằng với $a\ge \frac{256}{27}$ thì nghiệm $x_0$

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Hải Dương năm học 2014 - 2015

Câu 1:(5 điểm) Cho các số thực $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn $4^x+4^y+4^z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của: 

$$S=2^{x+2y}+2^{y+2z}+2^{z+2x}-2^{x+y+z}$$

Câu 2: (5 điểm) Cho tam giác không cân $ABC$ có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ và $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $AM$, $P_1$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN$ và đường tròn đường kính $AB$ ($P_1\neq H$). Như vậy ta dựng được điểm $P_1$ tương ứng với đỉnh $A$, tương tự ta dựng điểm $P_2$ tương ứng với đỉnh $B$

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Long An năm học 2014 - 2015

NGÀY I

Câu 1 (5,0 điểm)

Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$$

Câu 2 (5,0 điểm)

Tìm số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$ biết rằng: $$\begin{cases}x_0=1, x_1=5, x_2=125\\x_{n+2}x_nx_{n-1}=3(x_{n+1})^2x_{n-1}+10x_{n+1}(x_n)^2\end{cases}(n\in\mathbb{N^*})$$

Câu 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB$. Gọị $d_1$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $OA$, $d_2$ là đường thẳng qua $N$ và song song với $OB$, $d_3$ là đường thẳng qua $P$ và song song với...

Trang 1 trên 36

Chuyên mục phụ

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...