Đăng nhập

Bạn có thể sử dụng tài khoản GMail để đăng nhập.

Toán Olympic

Vietnam TST 2015 (cập nhật ngày 2)

Ngày thứ nhất

Bài 1

Gọi $\alpha $ là nghiệm dương của phương trình ${{x}^{2}}+x=5$. Với số nguyên dương $n$ nào đó, gọi ${{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}}, \ldots ,{{c}_{n}}$ là các số nguyên không âm thỏa mãn đẳng thức

$${{c}_{0}}+{{c}_{1}}\alpha +{{c}_{2}}{{\alpha }^{2}}+...+{{c}_{n}}{{\alpha }^{n}}=2015.$$
a) Chứng minh rằng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}\equiv 2\text{ }(\bmod 3).$
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng ${{c}_{0}}+{{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{n}}$.

Bài 2.

Cho đường tròn $(O)$, dây cung $BC$ cố định và điểm $A$ chạy trên $(O)$. Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm cạnh $BC$ và trực tâm tam giác $ABC$, tia $IH$ cắt $(O)$ tại $K$, $AH$ cắt $BC$ tại $D$, $KD$ cắt $(O)$ tại $M$. Từ $M$ vẽ đường vuông góc với $BC$ cắt $AI$ tại $N$.
a) Chứng minh $N$ thuộc đường tròn cố định.
b) Đường tròn tiếp xúc với $AK$ tại $A$ và đi qua $N$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$. Gọi $J$ là trung điểm $P,Q$. Chứng minh rằng: $AJ$ qua điểm cố định.

Bài 3
Một số nguyên dương $k$ có tính chất “$t-m$” nếu với mọi số nguyên dương $a$, tồn tại số…

Read more: Vietnam TST 2015 (cập nhật ngày 2)

Bình luận (0) Lượt xem: 294
China National Olympiad 2015
Ngày 1
Câu 1.  Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là các số phức thỏa mãn $|z_i - 1| \leq r$ với một số số $r \in (0,1)$. Sao cho:
\[ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).\]
 
Câu 2. Cho $ A, B, D, E, F, C $ theo thứ tự là sáu điểm nằm trên một đường tròn sao cho $ AB=AC $.
Giả sử $ P=AD \cap BE, R=AF \cap CE, Q=BF \cap CD, S=AD \cap BF, T=AF \cap CD $ .
Gọi $ K $ là điểm nằm trên $ ST $ sao cho $ \angle QKS=\angle ECA $ .
Chứng minh rằng $ \frac{SK}{KT}=\frac{PQ}{QR} $
 
Câu 3
Cho $n \geq 5$ là một số nguyên dương, đặt $A$ và $B$ là tập hợp các số nguyên dương thoản mãn đồng thời các tính chất:
i) $|A| = n$, $|B| = m$ và $A$ là tập con của $B$
ii) Với bất kì  hai số phân biệt $x,y \in B$, $x+y \in B$ iff $x,y \in A$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $m$.
 
Ngày 2
Câu 4.Xác định tất cả…

Read more: China National Olympiad 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 218
Đề thi VMO 2015, đáp án và bình luận
Ngày thi thứ nhất.
Câu 1. Cho $a$ là một số thục không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi $$u_1=3,\, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\text{ với mọi } n\geq 1.$$

a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.

Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$

Câu 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.

Câu 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và…

Read more: Đề thi VMO 2015, đáp án và bình luận

Bình luận (0) Lượt xem: 318

VMO 2015 sắp đến gần, để cùng nhau ôn lại và kiểm tra năng lực trước 1 kì thi, BBT xin trân trọng giới thiệu Đề thi các nước và khu vực năm 2012 - 2013 và 2013 - 2014.

Mời bạn download bản pdf:

Đề thi năm 2013 - Đề thi năm 2014 - Đề thi năm 2012 - 2013 

Mời bạn thảo luận thêm tại đây

Read more: Đề thi Olympic các nước và khu vực năm 2013 - 2014

Bình luận (1) Lượt xem: 389
Hướng tới VMO 2015

Nhằm chuẩn bị cho VMO 2015, mời bạn hãy cùng tham gia ôn luyện VMO tại Diễn đàn toán học. Dưới đây là một số bài toán tiêu biểu từ topic ôn luyện VMO 2015

Bài 1: Cho hai dãy số dương $(x_n),(y_n)$ xác định bởi $x_1=y_1=\dfrac{3}{\sqrt{2}}$ và :

$$\left\{\begin{matrix} 9x_{n+1}=4x_{n+1}y_{n+1}^2-9x_n\\ 9y_{n+1}=4y_{n+1}x^2_{n+1}+9y_n \end{matrix}\right.,\;\forall n\in \mathbb{N}^*$$

Chứng minh hai dãy này có giới hạn hữu hạn và tính các giới hạn này.

Bài giải:

Ta chứng minh quy nạp theo $n$ rằng $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}=9$     $(*)$

* Với $n=1$, hiển nhiên $(*)$ đúng

* Giả sử $(*)$ đúng với $n$, tức là $x_{n}^{2}+y_{n}^{2}=9$

 Ta có

$$(9x_{n})^{2}+(9y_{n})^{2}=\left ( 9x_{n+1}-4x_{n+1}y_{n+1}^{2} \right )^{2}+\left ( 9y_{n+1}-4y_{n+1}x_{n+1}^{2} \right )^{2}$$

$\Rightarrow \left ( x _{n+1}^{2}+y_{n+1}^{2}-9\right )\left ( 16x_{n+1}^{2}y_{n+1}^{2} +81\right )=0$

Điều này khẳng định $(*)$ đúng với $n+1$, theo nguyên lí quy nạp $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$

Từ $(*)$ ta thấy với mỗi $n$ thì $-3\leq x_{n},y_{n}\leq 3$

 Cũng bằng quy nạp ta có được

$$\left\{\begin{matrix} x_{n}=3 \sin \frac{\pi }{4.3^{n-1}}\\ y_{n}=3 \cos \frac{\pi }{4.3^{n-1}} \end{matrix}\right.$$

Kết luận: $\boxed {\lim x_{n}=0, \lim y_{n}=3}$

 

Bài 2: Cho tam…

Read more: Hướng tới VMO 2015

Bình luận (0) Lượt xem: 429

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...

Go to top