"Chính trị chỉ cho hiện tại, nhưng phương trình là cho mãi mãi."
Albert Einstein
Bạn đang ở: Trang chủToán Olympic

Toán Olympic

Cono Sur Olympiad 2014

Cono Sur Olympiad 2014

Ngày 1: 18/08/2014

Bài 1. Viết các số từ $1$ đến $2014$ trên bảng. Ta định nghĩa một phép biến đổi cho phép ta xóa hai số $a$ và $b$ bất kỳ ở trên bảng và thay chúng bằng Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất của cặp $(a,b)$.

Chứng minh rằng, bất kể số lần ta thực hiện biến đổi, tổng của tất cả các số hiện trên bảng luôn lớn hơn $2014\times \sqrt[2014]{2014!}$.

Bài 2. Một cặp số $(a,b)$ được gọi là charrúa nếu tồn tại một số nguyên dương $c$ sao cho cả hai...

Saudi Arabia IMO Team Selection Test 2014

Ngày 1: 23/5/2014

Bài 1. Tarik và Sultan cùng chơi với nhau một trò chơi như sau: Tarik nghĩ về một số nguyên lớn hơn $100$; và Sultan sẽ phải đoán lần lượt các số lớn hơn $1$. Nếu số Tarik đang nghĩ tới chia hết cho con số mà Sultan đoán, Sultan sẽ thắng; nếu ngược lại, Tarik phải lấy số của mình trừ bớt cho số của Sultan và Sultan tiếp tục đoán. Theo luật, Sultan không được lặp lại con số mà mình đã đoán và cậu ta sẽ thua nếu số của Tarik trở nên nhỏ hơn...

Đề thi Trại Hè Phương Nam 2014

Câu 1. Cho bộ gồm $8$ số $D=\begin{Bmatrix}T,R,A,I,H,E,P,N\end{Bmatrix}$ và

$$T=\begin{Bmatrix}\dfrac{T+R}{2},\dfrac{R+A}{2},\dfrac{A+I}{2},\dfrac{I+H}{2},\dfrac{H+E}{2},\dfrac{E+P}{2},\dfrac{P+N}{2},\dfrac{N+T}{2}\end{Bmatrix}$$

là một hoán vị của $D.$ Biết rằng $T+R+A+I+H+E+P+N=2014.$ Hãy xác định các giá trị của $N.$

Câu 2. Giải phương trình: $$x^2+x-3=\sqrt{3-2x}$$

Câu 3. Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{12-2x^2}=4+y\\\sqrt{1-2y-y^2}=5-2x \end{matrix}\right.$$
 
Câu 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O.$ Phân giác trong của góc $\widehat{A}$ cắt $BC$ tại $A_1$ và cắt đường tròn tâm $O$ tại $A_2.$ Tương tự ta thu được cái điểm $B_1,B_2,C_1,C_2$ tương ứng.  Chứng minh rằng : 
$$\frac{A_1A_2}{BA_2+A_2C}+\frac{B_1B_2}{CB_2+B_2A}+\frac{C_1C_2}{AC_2+C_2B}\geq \frac{3}{4}$$
Câu 5, Cho số nguyên tố có $4$ chữ số

India Tean Selection Test 2014

Ngày 1: 07/5/2014

Bài 1. Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ với hệ số nguyên sao cho $f(n)$ và $f(2^n)$ là các nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên $n$.

Bài 2. Cho $n$ là một số nguyên dương. Hãy tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất với tính chất sau:
Với mọi số thực $a_1,...,a_d$ sao cho $a_1+a_2+...+a_d=n$ và $0\le a_i\le 1$ $(i=\bar{1,d})$, ta luôn có thể chia $d$ số trên thành $k$ nhóm, và tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.

Bài 3. Bắt đầu với bộ ba $(1007\sqrt{2}, 2014\sqrt{2} ,1007\sqrt{14})$, ta định nghĩa dãy...

Đề thi Trại hè Hùng Vương 2014

Câu 1. Cho dãy số $\left( u_n \right)$ được xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2014\\u_{n+1}=u_{n}^{2}+(1-2a)u_{n}+a^{2} \end{matrix}\right.$$
Tìm điều kiện của $a \in \mathbb{R}$ để dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
 
Câu 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với hai cạnh $AC, BC$ lần lượt tại $E, F$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $P$. Một đường thẳng song song với $AB$ và tiếp xúc với $(I)$ tại $Q$ nằm trong tam giác $ABC$
 
a) Gọi $K,L$ lần lượt là

Trang 1 trên 31

Chuyên mục phụ

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...