"Hãy luôn thay cái bị định nghĩa bởi cái định nghĩa."
Leonhard Euler
Bạn đang ở: Trang chủToán Olympic

Toán Olympic

Korean NMO 2014

Ngày 1 (22/03/2014)

Câu 1

Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:

\[ \frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)}\ge\left(\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}}+\frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}}+\frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}}\right)^2. \]

 

Câu 2. 
Cho $ABC$ là một tam giác cân có $AC=BC>AB$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AC,AB$ và $l$ là đường trung trực của $AC$. Gọi $K$ là giao điểm của $l$ và $AB$, đường thẳng đi qua $B$ song song với $KC$ cắt $AC$ tại $L$, đường thẳng $FL$ cắt $l$ tại $W$. Gọi $P$ là trung điểm $BF$, $H$ là trực tâm của tam giác $ACP$, đường thẳng $BH$ cắt đường thẳng...

Đề thi Olympic 30/04 môn toán lớp 11 năm 2014

Câu 1: (4 điểm). Giải hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 1\\ 125{y^8} - 125{y^2} + 6\sqrt {15}  = 0 \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,(x,y \in \mathbb{R})\]

Bài 2: (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi :

\[\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 1}},\forall n \ge 1 \end{array} \right.\]

a. Chứng minh $u_{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n},\forall n\ge 1$

b. Chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3: (3 điểm)

Hai đường tròn $(O_1,R_1)$ và $(O_2,R_2) \; (R_1>R_2)$ cắt nhau tại hai điểm $M$ và $M'$. Một tiếp tuyến chung $T_1T_2$ của hai...

Đề thi Olympic 30/04 môn toán lớp 10 năm 2014

Bài 1 (4 điểm ) Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+2xy+5y^2}=3(x+y)\\ \sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5 \end{matrix}\right.$$

 

Bài 2 (4 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, $C$ là điểm di động trên $(O)$ không trùng $A$ và $B$. Các tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $N$. Giao điểm khác $A$ của $AN$ với $(O)$ là $D$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$ cắt $CN$ tại $P$. Chứng minh rằng $P$ di động trên một đường cố định khi điểm $C$ di động trên $(O)$

 

Bài 3 (3 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$$

 

Đường tròn Lester xuất phát từ một tính chất của đường hyperbol chữ nhật

Định lý Lester: 

Hai điểm Fermat, tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên một đường tròn.

Nhà hình học người Pháp là Gibert mở rộng định lý trên và phát biểu như sau: 

Tất cả mọi đường tròn với đường kính là một dây cung của đường hyperbola Kiepert và đường kính này vuông góc với đường thẳng Euler đều đi qua hai điểm Fermat.

Bài báo này chỉ ra rằng định lý Lester là một tính chất của đường hyperbola chữ nhật. 

 

Định lý: Cho hai điểm  $H,G,F_+,F_-, K+,K_-$ nằm trên...

Đề thi "Nhà toán học trẻ" của Pháp năm 2014

Dưới đây là đề thi của cuộc thi HSG “Nhà Toán Học Trẻ” (Tournoi des Jeunes Mathématiciennes et Mathématiciens) cho học sinh phổ thông ở Pháp năm 2014. Thể lệ cuộc thi và đề bài bằng tiếng Pháp có thể xem ở trang web:

http://www.tfjm.org/problemes

Cuộc thì này không phải kiểu thi olympic giải mấy bài toán trong thời gian mấy tiếng, mà là thi khám phá khoa học theo kiểu thời gian rất dài (thí sinh có 2 tháng để chuẩn bị lời giải và có quyền trao đổi với người khác và nhờ thầy gợi ý hướng làm),

Trang 1 trên 27

Chuyên mục phụ

Cộng đồng Toán học

Là cộng đồng Toán học trực tuyến lâu đời nhất Việt Nam, Diễn đàn Toán học là nơi quy tụ của học sinh, giáo viên và những người yêu Toán ở trong nước và nước ngoài. 

Tham gia...

Sách và tài liệu tham khảo

Diễn đàn Toán học và nơi tập trung hàng trăm ngàn tài liệu miễn phí phục vụ cho học tập và nghiên cứu, trong đó có rất nhiều chuyên đề, bài viết được chính các thành viên của diễn đàn tham gia soạn thảo.

Xem và tải về...

Các cuộc thi Toán học online

Nhiều cuộc thi về Toán dành cho học sinh các cấp đang diễn ra sôi động. Hãy tham gia thi tài với bạn bè từ khắp nơi trên đất nước để giao lưu học hỏi và nâng cao kiến thức !

Tham gia...